高中苏教版 (2019)2.1 圆的方程第2课时测试题

课后素养落实(十)　圆的一般方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有(　　)

A．D＋E＝0 B．D＝E

C．D＝F D．E＝F

B　[由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有－＝－，即D＝E．]

2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为，则a＝(　　)

A．0或－1 B．0

C．7 D．－1或7

D　[将x2＋y2－2x－8y＋13＝0整理得(x－1)2＋(y－4)2＝4，

所以圆的圆心坐标为(1，4)，

所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝，

整理得a2－6a－7＝0，解得a＝－1或a＝7．]

3．过三个点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　)

A．2　　B．3　　C．4　　D．5

C　[设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则解得

故圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0．

令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则|MN|＝|y1－y2|＝＝4．故选C．]

4．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)

A．π B．4π

C．8π D．9π

B　[设P(x，y)，由条件知＝2，整理得x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，故点P的轨迹所包围的图形面积等于4π．]

5．已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1，2)的直线l与圆C相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为(　　)

A．2　　B．3　　C．4　　D．5

B　[圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0化简为(x＋1)2＋(y－a)2＝a2＋1，圆心坐标为C(－1，a)，半径为．如图，

由题意可得，当弦AB最短时，过圆心与点(1，2)的直线与直线2x－y＝0垂直．

则＝－，即a＝3．故选B．]

二、填空题

6．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0，1)，则点B的坐标为________．

(2，－3)　[由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0，1)，由中点坐标公式得

解得所以点B的坐标为(2，－3)．]

7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为________．

x2＋y2－4x－5＝0　[设圆C的圆心坐标为(a，0)(a＞0)，由题意可得＝，解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圆C的半径为＝3，所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0．]

8．已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最小值是________．

3－　[|AB|＝＝2，又AB方程为＋＝1，即x－y＋2＝0，圆x2＋y2－2x＝0上的点到直线距离的最小值为d＝－1＝，∴S△ABC的最小值为×2×＝3－．]

三、解答题

9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．

(1)求t的取值范围；

(2)求这个圆的圆心坐标和半径；

(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．

[解]　(1)圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2．

由7t2－6t－1＜0得－＜t＜1．

故t的取值范围是．

(2)由(1)知：圆的圆心坐标为(t＋3，4t2－1)，半径为．

(3)r＝＝≤．

∴r的最大值为，此时t＝，圆的标准方程为＋＝．

10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2，3)．

(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；

(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．

[解]　(1)∵点P(a，a＋1)在圆上，

∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，

∴a＝4，P(4，5)，

∴|PQ|＝＝2，

kPQ＝＝．

(2)∵圆心C的坐标为(2，7)，

∴|QC|＝＝4，

圆的半径是2，点Q在圆外，

∴|MQ|max＝4＋2＝6，

|MQ|min＝4－2＝2．

11．(多选题)关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述正确的是(　　)

A．圆心在直线y＝－x上

B．圆心在直线y＝x上

C．圆过原点

D．圆的半径为|a|

ACD　[圆x2＋y2＋2ax－2ay＝0可化为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2．圆心坐标为(－a，a)适合方程y＝－x．

∴A正确，不适合y＝x，∴B错误，把(0，0)代入圆的方程适合，∴C正确，又r2＝2a2，∴r＝|a|，∴D正确．故选ACD．]

12．使方程x2＋y2－ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的实数a的可能取值为(　　)

A．－2　　B．0　　C．1　　D．

B　[该方程若表示圆，则有(－a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜，其中B项满足条件，应选B．]

13．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．

(－2，－4)　5　[由题意知a2＝a＋2，则a＝2或a＝－1．当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，即＋(y＋1)2＝－，不能表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所以圆心坐标是(－2，－4)，半径是5．]

14．M(3，0)是圆C：x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________．

x－y－3＝0　x＋y－3＝0　[由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦．易求出圆心为C(4，1)，kCM＝＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分别得到方程y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0．]

15．设△ABC的顶点坐标A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．

(1)求圆M的方程；

(2)当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由．

[解]　(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵圆M过点A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，

∴解得D＝0，E＝3－a，F＝－3a．∴圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0．

(2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0．

由

解得x＝0，y＝－3．∴圆M过定点(0，－3)．