2020-2021学年2.1 圆的方程练习

这是一份2020-2021学年2.1 圆的方程练习，共4页。

1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为( )
A．(1，－1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1))
C．(－1，2) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1))
解析：选D 将圆的方程化为标准方程，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋(y＋1)2＝eq \f(45,4)，所以圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1)).
2．(多选)方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件可以是( )
A．m<1 B．m>1
C．m解析：选ACD 方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，
表示圆的条件是42＋(－2)2－4×5m>0，解得m<1.
3．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，则必有( )
A．D＝E B．D＝F
C．E＝F D．D＝E＝F
解析：选A 由D2＋E2－4F＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线y＝x上，故D＝E.
4．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：选B 设动点P的轨迹坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，知 eq \r(（x＋2）2＋y2)＝2eq \r(（x－1）2＋y2)，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，eq \r(5)为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析：选C 直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x－y＋1＝0，,x＋1＝0))得C(－1，2)．
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.
6．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________．
解析：设P(x，y)是轨迹上任一点，
圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1，0)，
则|PA|2＋1＝|PB|2，∴(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
解析：∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，
∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5；
当a＝2时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋eq \f(5,2)＝0，
此时D2＋E2－4F＝1＋4－4×eq \f(5,2)＝－5<0，方程不表示圆．
答案：(－2，－4) 5
8．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________．
解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(－2,2)，－\f(－4,2)))，即(1，2)，故圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝eq \f(|3×1＋4×2＋4|,\r(32＋42))＝eq \f(15,5)＝3.
答案：3
9．已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．
解：设△ABC外接圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2D＋2E＋F＋8＝0，,5D＋3E＋F＋34＝0，,3D－E＋F＋10＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12.))
即△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
10．点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程．
解：(1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式得点P坐标为P(2x－2，2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
[B级 综合运用]
11．(多选)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为eq \r(2)，则( )
A．D＝2 B．D＝－2
C．E＝－4 D．E＝4
解析：选AC 圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－eq \f(D,2)－eq \f(E,2)－1＝0，即D＋E＝－2，①
又r＝eq \f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq \r(2)，所以D2＋E2＝20，②
由①②可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝2，,E＝－4，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－4，,E＝2.))
又圆心在第二象限，所以－eq \f(D,2)<0，即D>0，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝2，,E＝－4.))
12．已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16
解析：选B 设M(x，y)，则M满足eq \r(（x－8）2＋y2)＝2eq \r(（x－2）2＋y2)，整理得x2＋y2＝16.
13．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则b＝________，a的取值范围是________．
解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1，2)，代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a＜5.
答案：4 (－∞，5)
14.如图，在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝3，且AB∥CD，AD＝BC，AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
解：法一：由题意可知A(－3，0)，B(3，0)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3)).
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9－3D＋F＝0，,9＋3D＋F＝0，,\f(9,4)＋9＋\f(3,2)D＋3E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝0，,E＝－\f(3,4)，,F＝－9.))故所求圆的方程为x2＋y2－eq \f(3,4)y－9＝0，其圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,8)))，半径长为eq \f(1,2) eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))\s\up12(2)－4×（－9）)＝eq \f(3\r(65),8).
法二：由题意，可得点B的坐标是(3，0)，点C的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3)).
线段BC的中点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，\f(3,2)))，直线BC的斜率kBC＝－2.线段BC的垂直平分线的方程是y－eq \f(3,2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,4)))，与方程x＝0联立，解得y＝eq \f(3,8).
所以四边形ABCD外接圆的圆心E的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,8))).
半径长|EB|＝ eq \r(（0－3）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)－0))\s\up12(2))＝eq \f(3\r(65),8).
所以四边形ABCD的外接圆的方程是x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,8)))eq \s\up12(2)＝eq \f(585,64)，
这个圆的圆心坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,8)))，半径长是eq \f(3\r(65),8).
[C级 拓展探究]
15．讨论方程λ(x2＋y2)＝(x－3)2＋y2表示的是怎样的图形．
解：将原方程整理为(λ－1)x2＋(λ－1)y2＋6x－9＝0，①
当λ＝1时，方程①是一元一次方程6x－9＝0，表示与x轴垂直的直线．
当λ≠1时，方程①可进一步整理为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,λ－1)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(9λ,（λ－1）2).②
当λ<0时，方程②无解，故原方程不表示任何图形；
当λ＝0时，方程②只有一组解eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝0，))故原方程表示一个点(3，0)；
当λ>0且λ≠1时，原方程表示一个圆心在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,λ－1)，0))，半径为eq \f(3\r(λ),|λ－1|)的圆．