人教版五年级上册实际问题与方程教案设计

实际问题与方程（二）    

[课程内容] 《义务教育教科书 数学》（人教版）五年级上册第77、78、80和81页的内容，例3、例及练习十七。

[教学目标]

1．理解实际问题中有关两积之和，和倍、差倍的数量关系。

2. 掌握两积之和的方程，初步学会设一个未知数，列方程解答含两个未知数的实际问题。

3. 培养学生的比较、分析数量关系和举一反三的能力。

[教学重点、难点]

重点：列方程解两积之和、含两个未知数的实际问题。

难点：两个未知数怎么设，两个条件怎么用。

[教学准备]

多媒体教学课件、课本、练习纸。

[脚本正文]

 同学们，大家好。今天，我们要学习的是人教版五年级上册第五单元《简易方程》中《实际问题与方程》第2课时及书上练习十七的内容。

一、复习旧知

上次课我们学过实际问题与方程1，你还记得列方程解决实际问题的步骤吗？我们回顾一下。

今天我们继续学习稍复杂的实际问题与方程。

二、探索新知

刘老师这有一道解决问题你还会做吗？

图1

妈妈买了2kg苹果和2kg梨，已知梨每千克2.8元，苹果每千克2.4元，妈妈一共要付多少钱？请你找出数量关系并列式计算。

是不是很简单，小石头说，数量关系是：苹果的总价+梨的总价=总价钱。

列式为：2×2.4+2×2.8=10.4（元）。

如果刘老师对题目做一些改变，你还会做吗？我们来看例3。

和上题进行对比，你有什么发现？

小燕子说，两个题的已知数和未知数交换了位置，例3已知了总价钱10.4元，求苹果的单价。其他条件没有改变，还是求和的等量关系式。

图2

你观察的真仔细，下面请你尝试列方程解决这个问题。

小石头说：“我先假设苹果每千克x元。因为等量关系没有改变，所以列方程为2x+2.8×2=10.4，方程的解为2.4，所以苹果的单价为2.4元。”

说的非常好，还有其他列方程的方法吗？

小燕子说：“我发现此题中两种水果的质量都是2kg，找到的等量关系为，（苹果的单价+梨的单价）×数量（2）=总价钱。所以列方程为（2.8+x）×2=10.4，按照我们在解方程例5中学过的方法，算出方程的解同样为2.4。”

非常好，那我们相信看她是把什么看作一个整体了呢？天天说，因为两种水果数量相同，所以我们把两种水果的单价之和看成一个整体。

现在对比两位同学列的方程，我们发现：小石头的方程左边2x+2.8×2，有相同的因数2，可以根据乘法分配律，得到含小括号的方程。同样，小燕子的方程左边利用乘法分配律打开括号后就是两积之和，两个方程是可以相互转化的。

在列方程解决实际问题中，怎样验算呢？

小石头说：“在解决问题中要将解代入题目中检验，看是否符合已知条件。通过计算苹果的总价为4.8元，梨的总价为5.6元，总价正好是10.4元。和题目中的条件一致，所以我们作对了。”

老师对这个题进行变式你还会做吗？

图3

小燕子说：“这个题中只有一个条件改变，买梨比买苹果多花0.8元，所以是一个求差的等量关系。还是设苹果每千克x元。等量关系为，梨的总价-苹果的总价=多花的钱。列方程为2.8×2-2x=0.8。x=2.4。”小石头是这样做的：我利用两种水果的单价差×数量2=多花的钱。方程为（2.8-x）×2=0.8。

两位同学的方法都是可以的，而且把例题中掌握的找等量关系的方法，迁移到了变式中，发现了重要的关键点，刘老师给你们点赞。

接下来，我们趁热打铁，再来练习，请你先说说从图片中获得哪些数学信息？

津津说：“我从题中获得的有效信息是成人票的单价4元，4张门票一共花了11元，求儿童票的单价，而且题目中有个隐含信息，这四张票是两个大人和两个小孩的。所以解设儿童票每张x元。此题中的等量关系和例3类似，列方程为（x +4）×2=11，解方程后x=1.5。”

天天用的是另一种方法：4×2+2x=11。解方程的结果也为1.5。将解代入题目中检验，发现符合题中条件，没有问题。 也希望大家在做题时养成检验的好习惯，以提高我们解答的正确率。

其实我们上面做的题，无论是两积之和，还是两积之差。只要用对条件找准等量关系，问题就都能迎刃而解了。

接下来，我们将挑战更复杂的列方程解决问题，大家有信心吗？

请先完成填空题。

（1）女同学有x人，男同学比女同学多12人，男同学有（   ）人。

（2）女同学有x人，男同学人数是女同学的3倍，男同学有（   ）人，男女同学一共（   ）人，男同学比女同学多（   ）人。

我们先核对一下答案，小石头给大家讲讲吧，“第一题很简单，通过数量关系就能知道。第二题中因为男同学和女同学存在倍数关系，所以男同学有3x人。第二问用3x+x=4x，第三问用3x-x=2x。”

相信这都难不倒大家，因为这些是我们以前学过的用字母表示数的问题。下面请大家默读例4，并思考，如何设未知数？

小燕子说：“刘老师，我遇到了问题。题目中陆地面积和海洋面积我们都不知道，出现了两个未知的量，怎么设呢？”相信其他同学可能也有这样的疑惑，在解决问题中我们可以根据题意画线段图，想一想设哪一个未知数为x，另一个未知数怎样用含字母的式子表示？

图4

小石头说：“我发现题目中有一个条件是海洋的面积是陆地的2.4倍，那陆地面积和海洋面积存在倍数关系，所以我设1倍数的陆地面积为x亿平方千米，所以另一个未知数海洋面积可以表示为2.4x。”

小石头说的真好，那你会列方程了吗？

小燕子说：“根据题中另一个条件地球表面积为5.1亿平方千米，所以找到等量关系为陆地面积+海洋面积=地球表面积，和为5.1，列方程为x+2.4x=5.1，方程左边x+2.4x等于3.4x，最后利用等式的性质2，两边同除以3.4，得出方程的解为1.5。”

刘老师想考考大家，方程中合并x+2.4x是运用什么运算定律做的？

小燕子补充道：“我是运用乘法分配律做的，x作为公因数提出来，乘1与2.4的和。这个知识刘老师在用字母表示数第三课时讲过。”

你的记忆力真好，那现在我们解得x的值以后，怎样去求另一个未知数呢？

小燕子说：“根据条件，地球表面积为5.1亿平方千米，用地球的表面积-陆地的面积就等于海洋的面积=3.6（亿平方千米）。”

小石头说：“因为海洋面积是2.4x，所以等于2.4×1.5=3.6。”

两位同学其实都是利用题中的条件求另一个未知数。

图5

天天说：“刘老师，其实例4这个题我还有一种解法，根据地球的表面积为5.1亿平方千米，那两个未知数的和就是5.1，所以设陆地的面积为x，海洋面积为5.1-x。在这里，我们要记得，用含字母的式子表示和或差的数量关系时，要加括号。根据另一个条件海洋面积约为陆地的2.4倍，等量关系为海洋面积=陆地面积×2.4。列方程5.1-x=2.4x。x=1.5，那陆地面积=5.1-1.5=3.6。

我们发现天天的思路也是没有问题的，对比两位同学的不同做法你有什么发现？

小石头说，小燕子先根据“倍”的条件来设两个未知数，在根据另一个“和”的条件找等量关系列方程。而天天正好相反，先利用和来设未知数，再根据倍的条件列。

你观察的真仔细，也就是说可以先根据一个条件设未知数，再根据另一个条件找等量关系。希望大家在解后面的题时能像这两位同学一样充分利用条件帮助我们解题。

这个题的最后我们记得要检验，将解代入题目中。1.5+3.6=5.1，3.6÷1.5=2.4。符合题中的条件，所以解答是正确的。

下面，刘老师要检验一下大家学会了吗？请完成做一做。

我们看津津做的，因为题中条件说杏树是桃树的3倍，所以通过画线段图，解设桃树有x棵，杏树有3x棵。在根据第一问中两个未知数的和是180，所以列方程为3x+x=180，x=45.杏树有3x=3×45=135。第二问中桃树和杏树倍数关系不变，所以还是根据倍的条件设未知数，再根据条件杏树比桃树多90，所以两个未知数的差是90，列方程为3x-x=90，x=45，同样杏树为3×45=135。检验后，发现结果没有问题。答桃树有45棵，杏树有135棵。

完成例4及做一做后，请你想想在解这种有两个未知数的问题时，注意什么？

图6

小石头说：“可以根据题目中的一个条件找到两个未知数的数量关系，画出线段图后，将标准量设为x，（比如一般设一倍数为x），在根据另一个条件找到等量关系，解方程后将解代入题目中的条件来检验结果。”希望同学们在今后列方程解决问题时，都能合理充分的利用题中的条件以及画出的线段图。

三、巩固练习

接下来，我们通过完成下面的练习，再次巩固今天的知识。

先看第一题，请小石头跟大家核对一下。

我从图片中获得的信息知道同学们收集的废品有易拉罐和饮料瓶，其中易拉罐有6个，每个都卖0.12元，一共卖了1.8元。要求的是饮料瓶的个数，所以设饮料瓶有x个。根据条件一共卖了1.8元可知等量关系为饮料瓶的总价+易拉罐的总价=总价钱。方程为：0.12x+0.12×6=1.8，解为x=9，我们把解代入题目中检验，发现0.12×9+0.12×6=1.8。证明结果正确，答：饮料瓶有9个。

小燕子有不同的做法，因为单价相同，所以用数量和×单价=总价。”两位同学回答得真好，在我们做题的时候，大家擅长解哪种就列哪种方程。

我们再看第二题。先来看天天做的，天天说：“因为鸡和兔的数量相等，所以只设一个未知数即可，设鸡和兔的数量都为x。又根据另一个条件和是48，所以列方程x+x=48，x=24。”津津马上说：“刘老师，他做错了，如果兔子有24只，兔子的腿数24×4=96，远远超出题中的48条腿。”

图7

这题是我们学过的鸡兔同笼的问题，题目中有隐含条件，一只鸡有2条腿，一只兔子4条腿。因为鸡和兔的数量相同都为x，所以鸡的腿数有2x条，兔的腿数有4x条。根据一共48条腿可知等量关系为鸡的腿数+兔的腿数=总腿数，对应的方程为2x+4x=48，x=8。

津津提醒得非常好，希望大家不要犯类似的错误，解决问题时，一定要多多挖掘题目中的隐含条件。而且方程左边相同字母相加减时，熟练后直接写结果就可以。另外，我们还可以将此题变式为大家熟悉的鸡兔同笼问题，课下请你尝试完成，你会发现以前不容易理解的问题，在列方程解的时候变得轻而易举。

四、课堂小结

回顾这节课对例3，例4的学习，我们通过列方程解决了稍微复杂的实际问题。可以发现，题中的条件变得多了起来，所以只有在深刻理解和挖掘题干信息的基础上进行解答，才能保证我们成功答题。因此，按照上次课总结的解题步骤，刘老师最后要嘱咐大家做好以下几点：1.根据所求问题设未知数x，题中有两个未知数的可以按前面总结的方法做。2.根据条件找到等量关系，并列出相应的方程。3.检验方程的解是否符合题意。

好了，今天的学习就到这里，同学们再见！