人教版五年级上册7 数学广角——植树问题教学设计

植树问题（二）    

[课程内容] 人教版五年级上册 第108页 例3及练习二十四11—15题。

[教学目标]

1.建立封闭图形植树中“间隔数=棵数”的数学模型；能利用数学模型解决简单的实际问题。

2.学会画图来分析理解问题，体会“一一对应”和“化繁为简”的数学思想方法。

3.通过不同植树情况的对比，建立联系，明确差异，培养学生具体问题具体分析的能力。

[教学重点、难点]

学会画图来分析理解问题，体会“一一对应”和“化繁为简”的数学思想方法。

通过不同植树情况的对比，建立联系，明确差异，培养学生具体问题具体分析的能力。

[脚本正文]

同学们，大家好。今天我们一起来学习人教版小学数学五年级上册第七单元的第二课时---植树问题（二）。

一、自主探索，学习新知

图1

同学们，在上节课的学习中，我们学习了“两端都栽”与“两端不栽”的植树问题。哪位同学能带领大家再来回顾一下？

图2

我们借助画图策略，化繁为简。当两端要栽时，通过画线段图，这样一棵树对应一个间隔连一连，最后发现：棵数比间隔数多1，所以当两端要栽时，间隔数＋1=棵数。

图3

当两端不栽时，通过画线段图，这样一棵树对应一个间隔连一连，最后发现：棵数比间隔数少1，所以当两端不栽时，间隔数－1=棵数。

图4

除了这两种情况，关于植树问题在生活中还有哪些类型呢？ 

图5

我们一起来看这个问题。小明家门前有一条35m的小路，绿化队要在路旁栽一排树。每隔5m栽一棵树（一端栽，一端不栽），一共要栽多少棵树？

大家发现这个植树问题中的关键信息了吗？小丽你来说一说吧。

总长是35m，间距是5m，要求是一端栽、一端不栽。

那一共要栽多少棵树呢？大家先猜一猜。

当两端要栽时，棵数比间隔数多1；两端不栽时，棵数比间隔数少1；那么我们猜测：当只栽一端时，棵数等于间隔数。用总长除以间距，求出间隔数为7，所以一共要栽7棵。

小丽的猜想正确吗？大家还是画线段图来验证一下吧。

图6

因为只栽一端，我们在这条小路的左端栽第一棵树，像这样每隔5m画一棵，右端不栽。这样一棵树对应一个间隔连一连，发现7棵树对应7个间隔，棵数与间隔数相等，所以一共要栽7棵。

图7

我们再来看看小雪是怎样思考的。

我们也可以在这条小路的右端栽树，左端不栽，像这样每隔5m画一棵。一棵树对应一个间隔连一连，也发现7棵树对应7个间隔，棵数与间隔数相等，一共要栽7棵。

感谢两位同学的精彩讲解。

图8

通过画图验证，我们发现：当只栽一端时，间隔数=棵数。

图9

生活中还有其它类型的植树问题吗？我们继续探究。

图10

张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵树？

这个问题与之前的植树问题相比，哪里不同呢？大家发现了吗？

这道题是在圆形池塘周围植树，之前学习的都是在一条道路上植树。

小林说得对，植树的路线不同，之前学习的是在一条线段上植树的问题，这道题是在一个封闭图形的周围植树。那与之前的植树问题相比，又有哪些相同点呢？

都是相隔相同的距离进行栽树，在这个问题中，圆形的周长120m是总长，间距是10m。

那一共要栽多少棵树呢？大家先猜一猜。小林猜是12棵，小雪猜是11棵，小丽猜是13棵。到底哪个答案是对的呢？我们还是画图试试看吧。

120m太长了，可以先从简单的数试试看，先假设周长是40m、50m或60m。

小林想到了化繁为简，现在，大家在练习本上画一画图，算一算棵数，找一找规律，看看在封闭图形的植树问题中，间隔数与棵数又有怎样的关系呢？动手开始吧。

图11

假设周长是40m，这样一棵树对应一个间隔连一连，发现4棵树对应4个间隔，棵数与间隔数相等。用总长40m除以间距10m，得出间隔数为4，所以当周长是40m时可以载4棵树。

图12

假设周长是50m，这样一棵树对应一个间隔连一连，发现5棵树对应5个间隔，棵数与间隔数也相等。用总长50m除以间距10m，得出间隔数为5，所以当周长是50m时可以栽5棵树。

图13

如果假设周长是60m，这样一棵树对应一个间隔连一连，发现6棵树对应6个间隔，棵数与间隔数还是相等。用总长60m除以间距10m，得出间隔数为6，所以当周长是60m时可以栽6棵树。

图14

通过画图，我们发现：虽然周长不同，但是间隔数与棵数有着同样的关系，就是间隔数=棵数。大家的发现准确吗？我们可以怎样验证呢？

图15

大家看，如果我们把圆拉成线段，你能发现什么？

我发现间隔数与树一一对应；在这个封闭图形的周围植树其实相当于之前学习的一端栽、一端不栽的情况。

通过把圆拉成线段，其实我们就将封闭图形植树问题转化成了只栽一端的植树问题。所以封闭图形植树问题中：间隔数=棵数，我们刚才的发现是正确的。

图16

借助我们的发现，现在大家能解决这个问题了吗？自己赶快做一做吧。大家完成了吗？

因为封闭图形植树问题中“间隔数=棵数”，用总长120m除以间距10m，得出间隔数为12，所以一共要栽12棵树。

其他同学，你做对了吗？

图17

我们再来看这个问题，圆形滑冰场的一周全长是150m。如果沿着这一圈每隔15m安装一盏灯，一共需要装几盏灯？你发现这个问题中的关键信息了吗？

我们可以把每盏灯都看成是一棵树，“圆形滑冰场”说明是封闭图形植树问题，“一周全长是150m”是指总长，“15m”是间距，要求一共需要装几盏灯。

大家能独立完成这个问题吗？小林你说说你是怎样做的吧。

因为封闭图形植树问题中“间隔数=棵数”，用总长150m除以间距15m，得出间隔数为10，所以一共需要10盏灯。

图18

同学们，到现在我们已经学习了四种类型的植树问题，我们怎样才能分清每种类型中间隔数与棵数的关系呢？你发现它们之间的联系了吗？

图19

小丽你来说说你的发现吧。

我们知道了封闭图形植树问题其实就相当于只栽一端的情况，间隔数与棵数都相等；当两端不栽时，棵数比只栽一端时少1，那间隔数－1=棵数；当两端都栽时，棵数比只栽一端时多1，那么间隔数＋1=棵数。

小丽的发现可真棒。当我们发现这四种类型的植树问题之间的关系时，就可以分清每种类型中间隔数与棵数的关系了。

接下来我们一起来看一看，关于封闭图形植树问题在生活中还有哪些呢？

二、当堂练习，思维提升

图20

一条项链长60cm，每隔5cm有一颗水晶。这条项链上共有多少颗水晶？大家发现这个问题中的关键信息了吗？

我们可以把每一颗水晶都看成是一棵树，把这条项链近似看成是一个圆形，“长60cm”是指总长，“5cm”是间距，要求这条项链上共有多少颗水晶？

大家试着解决一下这个问题吧。

封闭图形植树问题中：间隔数=棵数，用总长60cm除以间距5cm，得出间隔数为12，所以这条项链上共有12颗水晶。

图21

我们再来看这个问题。小区花园是一个长60m、宽40m的长方形。现在要在花园四周栽树，四个角上都要栽，每相邻两棵树间隔5m。一共要栽多少棵树？

这个植树问题我们可以怎样解决呢？大家试着做一做吧。

图22

小林你介绍一下你的方法吧。

这个问题是在一个长方形的四周栽树，可以看成是封闭图形植树问题，间距是5m。如果我们把第一棵树栽到这条长的左端，然后把这个长方形拉直成线段，我们会发现：就把这个封闭图形植树问题转化成了只栽一端的植树问题，并且能够保证长方形的四个角都栽上树。总长就是长方形的周长，通过计算为200m，用总长200m除以间距5m，得出间隔数为40，在这个封闭图形植树问题中：间隔数=棵数，所以一共要栽40棵。

大家还有其他的方法吗？

图23

小丽你说说你的方法吧。

我们可以把这个长方形看成4条线段，分别研究每条线段上的植树情况。我们把沿长栽树看作只栽一端，把沿宽栽树也看作只栽一端，只栽一端时：间隔数=棵数，所以每条长上可以栽树12棵，每条宽上可以栽树8棵，所以这个长方形花园的四周一共可以栽树40棵。

图24

我们再来看看小雪的方法。

我同样是把这个长方形看成4条线段，分别研究每条线段上的植树情况。我们也可以把沿长栽树看作两端都栽，为了避免四个角上重复栽树，把沿宽栽树看作两端都不栽。两端都栽时：间隔数＋1=棵数，每条长上可以栽树13棵；两端都不栽时：间隔数－1=棵数，每条宽上可以栽树7棵，所以这个长方形花园的四周一共可以栽树40棵。

同学们真棒，想到了这么多的方法来解决这个问题。

三、梳理所学，内化提升

图25

通过本节课的学习大家，大家都有哪些收获呢？自己梳理一下吧。

本节课我们主要学习了封闭图形植树问题，通过将圆拉成线段，我们发现：转化成了只栽一端的植树问题，所以封闭图形植树问题中：间隔数=棵数。 

我们还发现了这四种植树问题之间的联系，便于我们理解与运用。

看来通过本节课的学习，同学们都有着非常丰富的收获。

图26

课下，请同学们完成这两道习题，并把今天的学习收获也分享给自己的爸爸和妈妈吧。今天的学习就到这里，期待在下节课中大家会有更加出色的表现，同学们，再见。