中职数学基础模块上册4-7余弦函数的图像和性质教案
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4.7 余弦函数的图像和性质 | 选用教材 | 高等教育出版社《数学》 （基础模块上册） | |||
授课 时长 | 2 课时 | 授课 类型 | 新授课 | |||
教学提示 | 本课通过类比正弦函数的图像和性质，学习余弦函数的图像和性质，借助代数运算与几何直观，认识余弦函数的图像与性质，学习运用 “五点法”可以画出余弦函数在一个周期上的简图． | |||||
教学目标 | 学会借鉴正弦函数的图像与性质的研究方法，研究余弦函数的图像与性质，能根据余弦曲线理解余弦函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性，逐步提升逻辑推理等核心素养；能用“五点法”作出余弦函数在［0，2π］上的图像；逐步提升直观想象等核心素养；能根据余弦函数的性质解决简单的相关问题，逐步提升逻辑推理和直观想象等核心 素养． | |||||
教学 重点 | 余弦函数的性质． | |||||
教学 难点 | 用五点作图法作出函数在一个周期内的图像． | |||||
教学 环节 | 教学内容 | 教师 活动 | 学生 活动 | 设计 意图 | ||
情境导入 | 我们用描点法作出了正弦函数 y＝sinx 在 [0,2π]上的图像, 通过不断向左、向右平移(每次移动 2π 个单位长度)得到了正弦函数 y＝ sinx, x∈R 的图像, 并通过正弦曲线研究了正弦函数的性质． 对于余弦函数 y＝cosx, x∈R, 可否用同样 的方法来研究？ |
提问启发引导 |
思考作答交流 | 通过类比强调知识间的联系 | ||
探索新知 | 用描点法作出余弦函数 y＝cosx 在 [0,2π] 上的图像. (1)列表.把区间[0,2π]分成 12 等份, 分别求出函数 y=cosx 在各分点及区间端点的正弦函数值. | 讲解 | 理解 | 数形结合说明问题 | ||
| (2)描点作图.根据表中 x，y 的数值在平面直角坐标系内描点(x, y)，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数 y＝cosx 在 [0,2π]上的图像.
不难看出，下面五个点
(0,1)， ,0 ， ，1 ， ，0 ， ，1 , 2 2 是确定余弦函数 y＝cosx 在[0,2π]上的图像的关键点．因此，余弦函数的图像也可以用五点法画出简图． 由诱导公式 cos(2kπ+x)＝cosx (k∈Z)可知， 将函数 y＝cosx 在[0,2π]上的图像沿 x 轴向左或向右平移 2π，4π，…，就得到了余弦函 y＝cos x，x∈ R 的图像．余弦函数的图像也称为余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
将正弦函数的图像和余弦函数的图像放在同一个坐标系内，可以看出：把正弦函数 y＝ |
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学生通 |
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| 过观察 | ||
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| 思考参 | ||
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| 与知识 | ||
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| 形成过 | ||
助 | 观察 | 程感受 | ||
形 | 图形 | 探索和 | ||
明 | 思考 | 发现的 | ||
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| 乐趣 | ||
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强调函 | ||
讲解 | 领会 | 数周期 | ||
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| 性在余 | ||
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| 弦函数 | ||
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| 作图中 | ||
说明 | 理解 | 的重要 | ||
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| 作用 | ||
讲解 |
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借助 |
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图形 | 思考 |
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说明 |
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多角度 |
| sinx，x∈R 的图像向左平移 个单位长度，就得 2 到余弦函数 y＝cos x，x∈R 的图像．
温馨提示
若将正弦函数 y＝sinx, x∈R 的图像向右平移, 是否也可以得到余弦函数 y＝cos x, x∈R 的图像, 如果是, 需平移多少？
观察余弦曲线，类比正弦函数 y＝sinx，x∈ R 的性质，得到余弦函数 y＝cos x，x∈R 的性质： (1)定义域.余弦函数的定义域是实数集 R. (2) 值域. 余弦函数的值域是[-1, 1]. 当 x=2kπ(k∈Z)时, y 取最大值, ymax=1;当 x=π+2kπ(k ∈Z)时, y 取最小值, ymin=1. (3)周期性.余弦函数是周期为 2π 的周期函数． (4)奇偶性.由图像关于 y 轴对称和诱导公式 cos(−x)=cosx 可知, 余弦函数是偶函数． (5) 单调性.余弦函数 y＝cos x 在每一个闭区间[(2k-1)π, 2kπ] (k∈Z) 上都是增函数, 函数值从-1 增大到 1; 在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π] (k∈Z)上是减函数, 函数值从 1 减小到-1． |
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| 思考问 |
| 观察 | 题 | ||
| 图形 | 类比正 | ||
| 理解 | 弦函数 | ||
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| 知识强 | ||
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| 调知识 | ||
提出 |
| 之间的 | ||
问题 |
| 联系，用 | ||
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| 已有知 | ||
| 思考 | 识解决 | ||
引导 | 交流 | 新问题 | ||
讲解 |
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| 理解 |
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举例 |
思考 |
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交流 |
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总结 |
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结论 |
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理解 |
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| 记忆 |
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例题辨析 | 例 1 利用五点法作出函数 y=-cosx 在[0,2π]上 的图像． 解 (1)列表. | 提问 | 思考 | 强化“五点法”作 余弦函 |
| (2)根据表中 x，y 的数值在平面直角坐标系内描点(x,y)，再用平滑曲线顺次连接各点， 就得到函数 y=-cosx 在[0,2π]上的图像. 例 2 求函数 y＝3cosx＋1 的最大值、最小值及取得最大值、最小值时 x 的集合． 解 由余弦函数的性质知，-1≤cosx≤1 ，所以， -3 ≤ 3cosx ≤ 3 ，从而 -2 ≤ 3cosx+1 ≤ 4 ，即 -2≤y≤4． 故函数的最大值为 4，最小值为-2． 函数 y＝3cosx＋1 取最大值时的 x 的集合， 就是函数 y=cosx 取最大值时的 x 的集合 {x|x=2kπ, k∈Z} 函数 y＝3cosx＋1 取最小值时的 x 的集合， 就是函数 y=cosx 取得最小值时的 x 的集合 {x|x=2kπ+π, k∈Z}． 例 3 不求值，比较下列各组数值的大小： (1) cos 与cos ； 5 5 (2) cos 与cos ． 10 8 解 根据余弦函数的图像和性质可知： | 引导 | 分析 | 数图像 |
讲解 |
解决 |
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强调 |
交流 |
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| 余弦函 | ||
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| 数性质 | ||
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| 的简单 | ||
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| 应用 | ||
提问 | 思考 |
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引导 |
分析 |
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讲解 |
解决 |
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| 初步尝 | ||
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| 试利用 | ||
强调 | 交流 | 余弦函 | ||
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| 数图像 | ||
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| 和性质 | ||
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| 解决问 | ||
提问 | 思考 | 题 | ||
引导 |
分析 |
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| (1)因为0 2 4 ，余弦函数 y=cosx 5 5 在区间[0, π]上是减函数，所以 cos cos ； 5 5 (2)因为 ，余弦函数 8 10 y=cosx 在区间[-π，0]上是增函数，所以 cos cos 10 8 |
讲解
强调 |
解决
交流 |
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| 练习 4.7 1. 用五点法作出函数 y=cosx-1 在[0, 2π]上的图像． 2．求下列函数的最大值、最小值，及取得最大值、最小值时 x 的集合： (1) y=2cosx-1 ； (2) y 1 cos x ． 2 3．不求值，比较下列各组数的大小： (1) cos 与cos ； 7 7 (2) cos 与cos ． 8 7 |
提问 |
思考 |
及时掌 |
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| 握学生 | |
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| 的知识 | |
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| 掌握情 | |
巩固 练习 | 巡视 | 动手 | 况，查漏 | |
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| 求解 | 补缺 | |
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指导 |
交流 |
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| 引导 | 回忆 | 培养学 |
归纳 |
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| 生总结 | |
总结 | 提问 | 反思 | 学习过 | |
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| 程能力 | |
| 1.书面作业：完成课后习题和学习与训练； | 说明 | 记录 | 继续探 |
布置 | 2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回 |
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| 究 |
作业 | 顾; |
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| 延伸学 |
| 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. |
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| 习 |
