数学基础模块上册第4章 三角函数4.7 余弦函数的图像和性质教学设计及反思

5.6三角函数的图像和性质

创设情景 兴趣导入

问题 

观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？．

解决

每间隔12小时，当前时间2点重复出现．

推广

类似这样的周期现象还有哪些？

动脑思考 探索新知

概念

  对于函数，如果存在一个不为零的常数，当取定义域内的每一个值时,都有,并且等式成立，那么，函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的一个周期．

由于正弦函数的定义域是实数集R，对，恒有，并且，因此正弦函数是周期函数，并且 ，， ，及，，都是它的周期．

通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是．

构建问题 探寻解决

说明

由周期性的定义可知,在长度为的区间（如，,）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移上的图像得到．因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在上的图像．

问题

用“描点法”作函数在上的图像．

解决

把区间分成12等份，并且分别求得函数在各分点及区间端点的函数值，列表如下：（见教材）

以表中的值为坐标，描出点，用光滑曲线依次联结各点，得到的图像．（见教材）

推广

将函数在上的图像向左或向右平移，，，就得到的图像，这个图像叫做正弦曲线．（见教材）

动脑思考 探索新知

概念

正弦曲线夹在两条直线和之间，即对任意的角，都有成立，函数的这种性质叫做有界性．

 一般地，设函数在区间上有定义，如果存在一个正数M，对任意的都有，那么函数叫做区间内的有界函数．如果这样的M不存在，函数叫做区间上的无界函数．

显然，正弦函数是R内的有界函数．

归纳

正弦函数的定义域是实数集．具有下面的性质：

（1）是R内的有界函数，其值域为 ．当时, ；当时,．

（2）是周期为的周期函数．

（3）是奇函数．

（4） 在每一个区间()上都是增函数,其函数值由−1增大到1；在每一个区间()上都是减函数，其函数值由1减小到−1．

动脑思考 探索新知

观察发现，正弦函数在上的图像中有五个关键点：

,   ,   ,   ,   ．

描出这五个点后，正弦函数,的图像的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，经常首先描出这关键的五个点，然后用光滑的曲线把它们联结起来，从而得到正弦函数在上的简图．这种作图方法叫做“五点法”．

巩固知识 典型例题

例1 利用“五点法”作函数在上的图像．

分析 图像中的五个关键点的横坐标分别是0，，，，，这里要求出在五个相应的函数值，从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像．

解  列表

  以表5-6中每组对应的x,y值为坐标，描出点，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数在上的图像．

例2  已知, 求的取值范围．

解  因为≤，所以≤，即 

，

解得         ．

故的取值范围是．

例3  求使函数取得最大值的的集合，并指出最大值是多少．

分析 将看作正弦函数中的自变量，因此需要进行变量替换．

解  设，则使函数取得最大值1的集合是

，

由          ,  

得            ．

故所求集合为 ，函数的最大值是．

运用知识 强化练习  

教材练习5.6.1

1．利用“五点法”作函数在上的图像．

2．利用“五点法”作函数在上的图像．

3．已知 ， 求的取值范围．

4．求使函数取得最大值的的集合，并指出最大值是多少?

构建问题 探寻解决

 余弦函数的定义域是．由于对恒有并且，可知余弦函数是周期函数，其周期是．

问题

 用“描点法”作出余弦函数在上的图像．

解决

把区间分成12等份，并且分别求得函数在各分点及区间端点的函数值，列表（见教材）．

以表中的值为坐标，描出点，用光滑曲线顺次联结各点，得到函数的图像（见教材）．

推广

将函数的图像向左或向右平移，，，,就得到余弦函数的图像（见教材）．这个图像叫做余弦曲线．

动脑思考 探索新知

归纳

余弦函数的定义域是实数集R，余弦函数有如下性质：

 ⑴ 是有界函数，其值域为．当时, ；当时, ．

 ⑵ 是周期为的函数．

 ⑶ 是偶函数．

⑷ 在区间内是增函数，函数值从增加到；在区间内是减函数，函数值从减少到．

巩固知识 典型例题

例4  用“五点法”作出函数在上的图像．

分析 图像中的五个关键点的横坐标分别是0，，，，，这里要求出在这五个关键点上的相应函数值，从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像．

解  列表

以表中的值为坐标，描出点，然后用光滑的曲线顺次联结各点，得到函数的图像

运用知识 强化练习  

教材练习5.6.2

用“五点作图法”作出函数在 上的图像．