第4章 相似三角形-九年级数学上册高分拔尖提优单元密卷（浙教版）（解析版）

2020–2021学年九年级数学上册高分拔尖提优单元密卷（浙教版）

第4章  相似三角形

姓名：__________班级：__________成绩：__________

一、选择题（每题3分，共30分）

1.下列各组中的四条线段成比例的（        ）

A.、、、        B.、、、

C.、、、       D.、、、

【答案】C

2.如果，那么下列等式中不一定成立的是（        ）

A. B. C. D.

【解析】根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可．

【解答】

解：、∵   ，∴   ，即，正确，不符合题意；
、∵   ，∴   ，，∴   ，错误，符合题意，
、∵   ，两边平方得：，正确，不符合题意；
、∵   ，两边都乘以得：，正确，不符合题意.
故选．

3. 如果两个相似多边形面积的比为，则它们的相似比为（    ）

A. B. C. D.

【解析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答．

【解答】

解：∵   两个相似多边形面积的比为，
∴   它们的相似比为．
故选．

4.在中华经典美文阅读中，刘明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为，则它的宽约为       

A. B. C. D.

【解析】根据黄金分割的比值约为列式进行计算即可得解．

【解答】

解：∵   书的宽与长之比为黄金比，书的长为，
∴   书的宽约为．
故选．

5.如图，，，，为上一点，且，若在上取一点，使以，，为顶点的三角形与相似，则等于(        )

A. B.
C.或 D.以上答案都不对
 

【解析】与相似，则存在两种情况，即，也可能是，应分类讨论，求解．

【解答】

解：当时，

即，
则；
当时，

，
∴   ，即，
，
综上，或.      故选．

6.如图，已知中，是边上的一点，连接，以下条件不能判定的是（      ）

A. B. C. D.

【解析】本题考查的是相似三角形的判定方法，已知了和中有一个公共角，那么可再找出一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例，即可得出的结论．

【解答】

解：由图得：，
∴   当或或时，．
故选

7.如图，小正方形的边长均为，则图中三角形（阴影部分）与相似的是        

A. B.
C. D.
 

【解析】利用中，，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定．

【解答】

解：在中，，，，
在，，选项中的三角形都没有，而在选项中，
三角形的钝角为，它的两边分别为和，
因为，所以选项中的三角形与相似．
故选．

8.如图，中，为上的一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足和相似的条件是(        )

A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③

【解析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．

【解答】

解：∵   ，
∴   ①，②时都相似；
∵   ③，
∴   .
∴   两三角形相似；
④此两个对应边的夹角不是，所以两三角形不相似．
所以能满足与相似的条件是①②③．    故选．

9.如图，已知点，点，以点为位似中心，把放大为原来的倍，则点的对应点的坐标为(        )

A.或 B. C. D.或

【解析】以为位似中心，按比例尺，把放大，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以或．

【解答】

解：根据题意可知，点的对应点的坐标是的坐标同时乘以或．
所以点的坐标为或．   故选．

 10.如图，在轴的上方，直角绕原点按顺时针方向旋转，若的两边分别与函数，的图象交于，两点，则的大小的变化趋势为(       )

A.逐渐变小 B.逐渐变大 C.时大时小 D.保持不变

【解析】如图，作辅助线；首先证明，得到；设，，得到，，＝，＝，进而得到，，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知为定值，即可解决问题．

【解答】

解：如图，分别过点，作轴、轴；

∵   ，
∴   ，
∴   ，
∵   ＝，
∴   ，
∴   ；
设，，
则，，，，
∴   ，即；
∵   ，
∴   ①；
∵   ，
∴   ②，
由①②知为定值，
∴   的大小不变.       故选.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.  在比例尺是的地图上，测得甲乙两地的距离是厘米，那么甲乙两地的实际距离是________千米．

【答案】

【解析】首先设这两地的实际距离是，然后根据比例尺的定义，即可得方程，解此方程即可求得答案，注意统一单位．

【解答】设这两地的实际距离是，
根据题意得：，
解得：＝，
∵   ＝，
∴   这两地的实际距离是．

12.如果两个相似三角形对应高的比为，那么它们的面积比为________．

【解析】相似三角形的相似比等于其对应高的比，面积比等于其对应边长、对应高的平方比．

【解答】

解：因为相似三角形对应高的比为，
则三角形面积比等于其对应高的平方比即为．
故答案为：．

13.如图，中，交于点，交于点，＝，＝，＝，则的长为________．

【答案】

【解析】根据平行线分线段成比例解答即可．

【解答】

∵   ，
∴   ，
即，
即，
解得：＝．

14.如图，，添加一个条件使得________．

【解析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得．

【解答】解：∵   ，
∴   ，
即．
当时，．
故答案为：（答案不唯一）.

15.如图，平行四边形中，是边上一点，交于，若，，则的值为________．

【解析】

由四边形是平行四边形，可得，＝，继而可判定，根据相似三角形的对应边成比例，即可得＝问题得解．

【解答】

解：∵   四边形是平行四边形，
∴   ，，
∵   ，，
∴   ，
∵   ，
∴   ，
∴   ，
即.      故答案为：.

 16.如图，在中，，，，则________．

【解析】根据射影定理得到，即，则可求出，然后计算即可．

【解答】

解：∵   在中，，
∴   ，即，
∴   ，
∴   ．
故答案为．

 17.如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若，则点的坐标为________．

【解析】首先利用等腰直角三角形的性质得出点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形和以原点为位似中心，相似比是，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可．

【解答】

解：∵   ，，，等腰与等腰是位似图形，点的坐标为，
∴   ，则，
∴   ，
∵   等腰与等腰是位似图形，为位似中心，相似比为，
∴   点的坐标为：．故答案为：．

 18.如图，矩形中，＝，＝，为边上的动点，当与相似时，＝________．

【解析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质．

【解答】

解：①当时，，
即，
解得：＝，或＝；
②当时，，
即，
解得：＝．
综上所述，的长度是或或．
故答案为：或或.

三、解答题（共6小题，共46分）

19.（6分）如图，已知，，，，求．

【解析】由，得到，根据平行线分线段出比例定理得到比例式，代入数据即可得到结果．

【解答】

解：∵   ，
∴   ，
∴   ，
即，
∴   ．

20．（6分）如图，在中，，于点，，，求的长．

【解析】

根据射影定理可以得到．

【解答】

解：如图，∵   ，，
∴   ．
又∵   在中，，，
∴   ，即．

21.（8分）如图，． 

求证：；

如果，，求的长．
 

【答案】

证明：∵   ，，
∴   ．

∵   ，
∴   ，
∴   ，
∴   ，
∴   ．

22.（8分）如图，在中，点，分别在边，上，，的延长线相交于点，且．
 

求证： ；

当，，时，求的长.

【答案】

证明：∵   ,
∵   ，
∴   .
∴   .
∴   .
∵   ，
∴   ；
解：由知，
.
∴   .
∴   ，
∴   ，. 

23.（8分）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．
 

求证：；

若，，，求的长．

【解析】

（1）和中，易知（平行线的内错角），而和是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；

（2）在中，由勾股定理易求得的长，即可求出的值；从而根据相似三角形得出的成比例线段求出的长．

【解答】

证明：∵   四边形是平行四边形，
∴   ，，
∴   ，.
∵   ，，
∴   ，
∴   ；

解：∵   ，，
∴   ；
在中，
，
∵   ，
∴   ；
∴   ，
解得．

24.（10分）在 中，  ，现有动点从点出发，沿线段向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是  ，点的速度是  ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为秒．求：
 

若  的面积为，求的值；

当为多少秒时，以为顶点的三角形与 相似.

【答案】

解：由题意得，，，则，
当的面积为时，
有，
解得：.
故当的面积为时，为；

由得，，
当时，
有，即，
解得：秒；
当时，
有，即，
解得：秒.
故为秒或秒时，以为顶点的三角形与  相似.