第3章 圆的基本性质-九年级数学上册高分拔尖提优单元密卷（浙教版）（解析版）
展开2020–2021学年九年级数学上册高分拔尖提优单元密卷（浙教版）
第3章 圆的基本性质
姓名：__________班级：__________成绩：__________
一、选择题（每题3分，共30分）
1.下列说法正确的是
A.直径是圆的对称轴 B.经过圆心的直线是圆的对称轴
C.与圆相交的直线是圆的对称轴 D.与半径垂直的直线是圆的对称轴
【答案】B
【解析】如图，直线与相交，直线过圆心直线 ，直线垂直于的半径.
项，对称轴是一条直线，直径是一条线段，直径所在的直线才是圆的对称轴，故项错误；
项，经过圆心的直线是圆的对称轴，故项正确；
项，与圆相交的直线不一定是圆的对称轴，不过圆心就不是对称轴，
如图，直线 不是的对称轴，故项错误；
项，与半径垂直的直线不一定是圆的对称轴，不过圆心就不是对称轴，
如图，直线不是的对称轴，故项错误. 故选.
2. 的半径为，点到圆心的距离＝，则点与圆的位置关系为（ ）
A.点在圆上 B.点在圆内 C.点在圆外 D.无法确定
【答案】B
【解析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】
∵ 的半径为，点到圆心的距离为，
即点到圆心的距离小于圆的半径，
∴ 点在内．
3.如图，内接于，是的直径，＝，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】首先连接，由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得的度数，继而求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数．
【解答】
连接，
∵ 是的直径，
∴ ＝，
∵ ＝，
∴ ＝＝，
∴ ＝＝．
4.如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．
【解答】
解：连接，
设，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 由垂径定理可知：，
由勾股定理可知：
∴ ，
∴ ， 故选
5.如图，的半径为，弦的长为，是弦上的动点，则线段长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据垂线段最短知，当时，有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】
解：根据垂线段最短知，当时，有最小值，
此时，由垂径定理知，点是的中点，
连接，，
由勾股定理知，．
故选：．
6.如图，是的直径，点，是圆上两点，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由＝，可求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数．
【解答】
解：∵ ＝，
∴ ＝＝，
∵ ＝． 故选.
7. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理解答．
【解答】
解：∵ 四边形是的内接四边形，
∴ ，
∴ ，
由圆周角定理得，. 故选．
8.如图，的两弦、相交于点，，是的中点，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算．
【解答】
解：∵
∴
又，是的中点
∴
由相交弦定理得：
即
解得
∴ ．
故选．
9. 如图，已知的周长为，的长为，则图中阴影部分的面积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】首先根据的周长为，求出的半径是多少；然后根据的长为，可得的长等于的周长的，所以；最后用的面积的减去的面积，求出图中阴影部分的面积为多少即可．
【解答】
解：∵ 的周长为，
∴ 的半径是，
∵ 的长为，
∴ 的长等于的周长的，
∴ ，
∴ ．
故选．
10.如图，在中，，以点为圆心，为半径的与相切于点，交于点，交于点，点是上的一点，且，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据圆周角定理可以求得的度数，即可求得扇形的面积，根据阴影部分的面积的面积-扇形的面积即可求解．
【解答】
解：的面积是：，
．
则扇形的面积是：．
故阴影部分的面积的面积扇形的面积．
故选．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 一个点到一个圆的最短距离为，最长距离为，则这个圆的半径为________．
【答案】或
【解析】答题时要考虑该点在圆外和圆内两种情况，然后作答．
【解答】
解：由题意知，应分点在圆内与圆外两种情况，如图所示：
当点在内时，此时，，，
因此半径为；
当点在外时，此时，，
直线过圆心，直径，
因此半径为．
故答案为：或.
12.直角三角形的两条直角边分别为和，则其外接圆半径长为________．
【答案】
【解析】利用勾股定理可以求得该直角三角形的斜边长为，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三形外接圆半径．
【解答】
∵ 直角三角形的两条直角边分别为和，
∴ 根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为＝；
∴ 其外接圆半径长为；
13.如图所示，的半径为，为弦，半径，垂足为，如果，那么的长是________．
【答案】
【解析】连接，由于半径，利用垂径定理可知＝，又＝，＝，易求，在中利用勾股定理易求，进而可求．
【解答】
解：连接，如图，
∵ 半径，
∴ .
∵ ，，
∴ .
在中，，
∴ .
故答案为：.
14.如图，，，，是上的四点，且点是的中点，交于点，＝，＝，那么＝________．
【答案】
【解析】连接，求出，利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【解答】
连接．
∵ ，
∴ ＝＝，
∴ ＝，
∵ ＝，＝，
∴ ＝，
15. 如图，内接于，，，则劣弧的长度是________．
【答案】
【解析】由圆周角定理可知，，
，
，.
，
为等边三角形，
，
劣弧的长度是.
故答案为：.
16．如图，已知四边形是圆内接四边形，＝，则＝________度．
【答案】
【解析】先根据圆周角定理得到＝，然后根据圆内接四边形的性质即可得到的度数．
【解答】
∵ ＝，
∴ ＝＝．
17. 已知点在以为直径的半圆上，连结，，，，阴影部分的面积为________.
【答案】
【解析】∵ 点在以为直径的半圆上，
∴ .
在中，，设，
则，
由勾股定理得，即，
解得，
∴ ，，
∴
.
故答案为：.
18.如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距的长为________．
【答案】
【解析】连接，如图：
∵ 六边形是的内接正六边形，
∴ ，
∴ 是等边三角形.
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得，.
故答案为：.
三、解答题（共6小题，共46分）
19.（6分）如图，，，分别是半径，的中点，求证：．
【解析】连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得．
【解答】
证明：连接，如图所示.
在中，∵
∴ ，
∵ ，，分别是半径，的中点，
∴ ，
∵ （公共边），
∴ ，
∴ （全等三角形的对应边相等）．
20. （6分）已知：如图，的弦平分弦于点，过点的切线交的延长线于点，且，．求和的长．
【解析】可先根据相交弦定理求出、的长，然后根据切割线定理求出的长．
【解答】
解：由相交弦定理得：；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
由切割线定理得：，
∴ ．
21.（8分） 如图，点在的弦上，，延长交于．弦，交于．
（1）求证：； （2）求证：．
【解析】
（1）、由同角的余角相等可得，，由证得，故有；
（2）、证得，再由得到．
【解答】
证明：（1）∵ ，
∴ ．
又∵ ，，
∴ ．
∴ ．
（2）连接、，
∵ ，，
∴ ，．
∴ ，．
由知，，有．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
22.（8分）如图，是的直径，是圆心，是圆上一点，且＝，是延长线上一点，与圆交于另一点，且＝．
（1）求证：＝； （2）求的度数．
【解析】
（1）连接，再利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质得出答案；
（2）利用（1）中所求进而得出＝＝，求出答案即可．
【解答】
证明：如图，连接 ．
∵ ＝，＝，
∴ ＝，
∴ ＝，
∴ ＝＝．
又 ＝，
∴ ＝，
∴ ＝；
∵ ＝＝＝，
∴ ＝．
23.（8分）已知，如图，是的直径，弦于点，是上一点，与的延长线交于点．
如，，求的半径长；
求证：．
【解析】
（1）连接．设的半径为．在中，根据，构建方程即可解决问题；
（2）连接，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质证明即可
【解答】
解：连接．
设的半径为．
∵ ，
∴ .
在中，，
∴ ，
解得．
证明：连接.
∵ 弦，
∴ ，
∴ .
∵ 四边形是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ．
24. （10分）如图，已知是的内接三角形，，，垂足为，过点作弦交于点，交于点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解析】
（1）要证就要利用相等的圆周角所对的弧相等来证明，所以连接，根据垂径定理可知弧弧．因为，利用等腰三角形的性质及等量代换就可证明：；
（2）已知，，所以可根据相交弦定理求出，的长，然后再由已知求出的长，利用勾股定理即可求出的长．
【解答】
（1）证明：连接，
根据垂径定理可知弧弧，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
解得或，
从图中可知，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
