第1章 二次函数单元测试（B卷·能力提升）（解析版）-九年级数学上册同步单元AB卷（浙教版）

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第1章 二次函数单元测试（B卷·能力提升）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2020秋•福州期末）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，下列叙述中正确的是（　　）
A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线x＝1
C．函数有最小值 D．当x＞﹣1时，函数值y随自变量x的增大而减小
【思路点拨】根据二次函数的性质即可进行判断．
【答案】解：∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，故A错误；
∴函数有最大值，故C错误；
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，故B错误；
∴当x＞﹣1时，函数值y随自变量x的增大而减小，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键．
2．（2020秋•桐城市期末）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，且﹣1≤x≤1，下列说法正确的是（　　）
A．此函数的最大值为3 B．当x＝﹣1时，函数有最大值﹣6
C．函数y的取值范围是2≤y≤3 D．函数y的取值范围是﹣6≤y≤2
【思路点拨】根据二次函数的性质，逐项判断即可．
【答案】解：A、二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，当x＝2时，最大值为3，但x＝2不满足﹣1≤x≤1，故不符合题意；
B、抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的对称轴为直线x＝2，且﹣1＜0，开口向下，在﹣1≤x≤1时，y随x的增大而增大，因此x＝1时，函数最大值为2，故不符合题意；
C、二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，在﹣1≤x≤1时，y随x的增大而增大，而x＝﹣1时，y＝﹣6，x＝1时，y＝2，所以函数y的取值范围是﹣6≤y≤2，故不符合题意；
D、由以上分析知，当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣（x﹣2）2+3的取值范围是﹣6≤y≤2，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数在给定范围内的最大（小）值，解题的关键是掌握二次函数在对称轴两侧，x增大，函数值y是增大还是减小．
3．（2021•北仑区一模）已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（　　）
A．y3最小，y1最大 B．y3最小，y4最大 C．y1最小，y4最大 D．无法确定
【思路点拨】根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．
【答案】解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，
∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，
∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，
∴y3最小，y1最大，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判定对称轴的位置是解题的关键．
4．（2020秋•宜昌期末）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝2（1+x）2 B．y＝（2+x）2 C．y＝2+2x2 D．y＝（1+2x）2
【思路点拨】设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有y人患了这种传染病，即可得出y与x的函数关系式．
【答案】解：根据题意可得，y与x的函数关系式为：y＝2+2x+（2+2x）x＝2（1+x）2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，正确表示出传染人数是解题关键．
5．（2021春•九龙坡区校级期末）关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2
【思路点拨】函数与x轴的交点横坐标就是令y＝0时的一元二次方程的解，可以用Δ＞0解题．
【答案】解：∵关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不同的解，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（m﹣2）×1＞0，且m﹣2≠0，
解得：m＜3且m≠2．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与方程之间的关系，即函数图象与x轴的交点横坐标就是y＝0时的一元二次方程的解．值得注意的是，二次项系数不能为0，这是同学们解题时容易忽略的点．
6．（2020秋•东阳市期末）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝﹣x2﹣（3m+n）x+n关于x轴对称，则符合条件的m，n的值为（　　）
A．m＝，n＝ B．m＝5，n＝﹣6 C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣2
【思路点拨】根据关于x轴对称，函数y是互为相反数即可求得．
【答案】解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝﹣x2﹣（3m+n）x+n关于x轴对称，
∴﹣y＝x2+（3m+n）x﹣n，
∴x2+（3m+2n）x﹣n＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4，
∴，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据关于x轴对称的坐标特征把抛物线y＝﹣x2﹣（3m+n）x+n化成关于x轴对称的抛物线的解析式是解题的关键．
7．（2020秋•蜀山区期末）已知点A（1，1）、B（3，1）、C（4，2）、D（2，2），若抛物线y＝ax2（a＞0）与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为（　　）
A．＜a＜1 B．＜a＜1 C．a＞1或0＜a＜ D．a＞1或0＜a＜
【思路点拨】分别画出当抛物线y＝ax2（a＞0）过四边形ABCD的四个顶点时的图象，观察图象可得．
【答案】解：分别画出当抛物线y＝ax2（a＞0）过四边形ABCD的四个顶点时的图象，如图所示：

结合图形可知，当|a|越大时，抛物线开口越小，离y轴越近，当|a|越小时，抛物线开口越大，离y轴越远，
∴若抛物线y＝ax2（a＞0）与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为a＞1或0＜a＜．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系中a的大小与开口大小的关系，当|a|越大时，抛物线开口越小，离y轴越近，当|a|越小时，抛物线开口越大，离y轴越远．
8．（2021•江夏区校级模拟）已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（　　）
A．9 B．8 C．1 D．
【思路点拨】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．
【答案】解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，
∴b＝2﹣a，c＝3a+4，
∵b，c都是非负数，
∴，
解不等式①得，a≤2，
解不等式②得，a≥﹣，
∴﹣≤a≤2，
又∵a是非负数，
∴0≤a≤2，
S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，
＝a2+2a+6，
∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1，
∴a＝0时，最小值n＝6，
a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，
∴m﹣n＝14﹣6＝8．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，用a表示出b、c并求出a的取值范围是解题的关键，难点在于整理出s关于a的函数关系式．
9．（2020秋•自贡期末）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣4a），其大致图象如图所示，下列结论：
①abc＞0； ②4a+2b+c＜0；
③若方程a（x+1）（x﹣3）＝1有两个根x1，x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3；
④若方程|ax2+bx+c|＝m有四个根，则这四个根的和为4．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系；当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；然后由二次函数与一元二次函数之间的关系确定③和④．
【答案】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；故②错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣4a），
∴抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3＝a（x+1）（x﹣3），
∴抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x＝﹣1，x＝3；
∴若方程a（x+1）（x﹣3）＝1有两个根x1，x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3，故③正确；
若方程|ax2+bx+c|＝m有四个根，由函数图象的对称性可知，这四个根的和为4，故④正确．
综上，有2个说法正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；|a|的值越大，开口越小，反之，则越大；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
10．（2020•杭州模拟）已知二次函数y＝（x﹣m+3）（x+m﹣5）+n，其中m，n为常数，则（　　）
A．m＞1，n＜0 时，二次函数的最小值大于 0 B．m＝1，n＞0 时，二次函数的最小值大于 0
C．m＜1，n＞0 时，二次函数的最小值小于 0 D．m＝1，n＜0 时，二次函数的最小值小于 0
【思路点拨】先取m＝1，代入二次函数的解析式，并写成顶点式，然后可判断B和D是否正确；再取m＝3，可判断A是否正确，然后取m＝0，可判断C是否正确．则本题得解．
【答案】解：∵二次函数y＝（x﹣m+3）（x+m﹣5）+n，
∴当m＝1时，y＝（x﹣1+3）（x+1﹣5）+n
＝（x+2）（x﹣4）+n
＝x2﹣2x﹣8+n
＝（x﹣1）2﹣9+n
∴当m＝1，n＞0时，二次函数的最小值为y＝﹣9+n，当0＜n≤9时，﹣9+n≤0，故B错误；
当m＝1，n＜0时，二次函数的最小值为y＝﹣9+n＜0，故D正确；
选项A：当m＞1，n＜0时，不妨取m＝3，
则y＝x（x﹣2）+n＝x2﹣2x+n＝（x﹣1）2﹣1+n，此时二次函数的最小值为﹣1+n，小于0，故A错误；
选项C：当m＜1，n＞0时，不妨取m＝0，
则y＝（x+3）（x﹣5）+n＝x2﹣2x﹣15+n＝（x﹣1）2﹣16+n，此时二次函数的最小值为﹣16+n，
当n≥16＞0时，﹣16+n≥0，故C 错误；
综上，只有D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练运用配方法并明确二次函数的相关性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2020秋•天桥区期末）若点（﹣2，y1）和（，y2）在函数y＝x2的图象上，则y1　＞　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【思路点拨】可先求二次函数y＝x2的对称轴为y轴，根据两点到y轴的距离的大小即可判断．
【答案】解：由函数y＝x2可知，图象开口向上，对称轴为y轴，
∵点（﹣2，y1）到y轴的距离比点（，y2）到y轴的距离远，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．（2020秋•娄星区期末）如图所示为抛物线y＝ax2+2ax﹣3的图象，则一元二次方程ax2+2ax﹣3＝0的两根为　x1＝1，x2＝﹣3　．

【思路点拨】根据抛物线的解析式可求对称轴为直线x＝﹣1，由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），因此另一个交点坐标为（1，0），进而可求一元二次方程ax2+2ax﹣3＝0的两根．
【答案】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴一元二次方程ax2+2ax﹣3＝0的两根为x1＝1，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，本题的关键是通过数形结合找到与x轴的一个交点坐标，通过解析式求出对称轴．
13．（2020秋•中站区期末）已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是　4　．
【思路点拨】把点P（m，n）代入抛物线的解析式，得到n＝﹣m2﹣3m+3，等式两边同加m得m+n＝﹣m2﹣2m+3，得到m+n关于m的二次函数解析式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答．
【答案】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2﹣3x+3上，
∴n＝﹣m2﹣3m+3，
∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，
∴当m＝﹣1时，m+n有最大值4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，整理成用m表示m+n的形式是解题的关键．
14．（2020•萧山区二模）已知二次函数，当x＝1时有最小值，其中a，b，c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，请判断△ABC是什么特殊三角形　直角三角形　．
【思路点拨】根据顶点横坐标公式，得b+c＝2a①，由x＝1，y＝，得c＝②，①与②联立，得出用含b的代数式分别表示a、c的式子，从而根据三边关系判断△ABC的形状．
【答案】解：∵当x＝1时有最小值，
∴
∴，
解得，，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标公式，勾股定理的逆定理，熟记抛物线的顶点坐标是解答本题的关键．
15．（2020秋•河口区校级月考）函数y＝（k+1）x2﹣2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　k≤0　．
【思路点拨】根据题意吗，利用分类讨论的方法可以求得k的取值范围．
【答案】解：∵函数y＝（k+1）x2﹣2x+1的图象与x轴有交点，
∴当k+1≠0时，（﹣2）2﹣4（k+1）×1≥0，
解得k≤0且k≠﹣1，
当k+1＝0时，y＝﹣2x+1，当y＝0时，x＝，此时k＝﹣1，
由上可得，k的取值范围是k≤0，
故答案为：k≤0．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
16．（2020秋•西湖区期末）设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有m个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有n个交点，则所有可能的数对（m，n）是　（1，0）、（1，1）、（2，1）、（2，2）　．
【思路点拨】分m＝1和m＝2两种情况，利用函数和x轴交点情况，分别求解即可．
【答案】解：（1）当m＝1时，则a＝b，
当ab≠0时，则y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1＝a2x2+2ax+1，则△＝4a2﹣4a2＝0，故n＝1，
当ab＝0时，同理函数的表达式为y＝1，则n＝0；
（2）当m＝2时，则a≠b，
当ab≠0时，则y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，则△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，故n＝2，
当ab＝0时，同理函数的表达式为y＝（a+b）x+1，则n＝1；
故答案为：（1，1）、（1，0）、（2，2）、（2，1）．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（2020秋•北仑区期末）已知抛物线y＝a（x﹣4）2+2经过点（2，﹣2）．
（1）求a的值；
（2）若点A（m，y1），B（n，y2）（m＜n＜4）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
【思路点拨】（1）把点（2，﹣2）代入可求得a；
（2）由条件可知A、B两点都在对称轴左侧，利用二次函数的单调性质可比较大小．
【答案】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣4）2+2经过点（2，﹣2）．
∴﹣2＝a（2﹣4）2+2，
解得a＝﹣1；
（2）∵y＝﹣（x﹣4）2+2，
∴抛物线对称轴为直线x＝4，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜4时，x随着y的增大而增大，
∵m＜n＜4，
∴A、B在对称左侧，
∴y1＜y2．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式及二次函数图象上点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．（2020•温州）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
【思路点拨】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1解方程组即可得到结论；
（2）把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得到y1＝6，于是得到y1＝y2，即可得到结论．
【答案】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
∴y2＝12﹣y1＝6，
∵y1＝y2，且对称轴为直线x＝2，
∴m＝4﹣5＝﹣1．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解方程组，正确的理解题意是解题的关键．
19．（2021•金华）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．

【思路点拨】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同,可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离;
（3）代入x＝10求出y值，进而可得出点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上，将与1.8比较后即可得出顶部F不会碰到水柱．
【答案】解：（1）当x＝0时，y＝﹣（0﹣5）2+6＝，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同,
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（3）当x＝10时，y＝﹣（10﹣5）2+6＝，
∴点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上．
又∵≈1.83＞1.8，
∴顶部F不会碰到水柱．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线上横坐标为10的点的坐标．
20．（2021•滨城区一模）为鼓励更多的农民工返乡创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给农民工自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．王明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系满足一次函数：y＝﹣5x+400．
（1）王明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设王明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于35元，如果王明想要每月获得的利润不低于4125元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
【思路点拨】（1）求出销售量，根据政府每件补贴2元，即可解决问题；
（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可；
（3）根据条件确定出自变量的取值范围，求出y的最小值即可解决问题．
【答案】解：（1）当x＝20时，y＝﹣5x+400＝﹣5×20+400＝300，
300×（12﹣10）＝300×2＝600（元），
答：政府这个月为他承担的总差价为600元；
（2）依题意得，w＝（x﹣10）（﹣5x+400）
＝﹣5x2+450x﹣4000
＝﹣5（x﹣45）2+6125，
∵a＝﹣5＜0，
∴当x＝45时，w有最大值6125元．
答：当销售单价定为45元时，每月可获得最大利润6125元；
（3）由题意得：﹣5x2+450x﹣4000＝4125，
解得：x1＝25，x2＝65，
∵a＝﹣5＜0，抛物线开口向下，
当25≤x≤65时，4125≤w≤6125，
又∵x≤35，
∴当25≤x≤35时，w≥4125，
∴当x＝35时，政府每个月为他承担的总差价最小，y＝﹣5×35+400＝225，
225×2＝450（元），
∴政府每个月为他承担的总差价最小值450元，
答：销售单价定为35元时，政府每个月为他承担的总差价最少为450元．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、利润、销售量、单价之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数利用二次函数的增减性，解决实际问题中的最值问题．
21．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
【思路点拨】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；
（2）写出一组a，b，使得b2﹣4ac＞0即可；
（3）已知a＝b＝1，则y＝x2+x+1．容易得到P+Q＝p2+p+1+q2+q+1，利用p+q＝2，即p＝2﹣q代入对代数式P+Q进行化简，并配方得出P+Q＝2（q﹣1）2+6≥6．最后注意利用p≠q条件判断q≠1，得证．
【答案】解：（1）由题意，得，
解得，
所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）．
（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，
∵b2﹣4ac＝5＞0，
∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，
所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1
＝p2+q2+4
＝（2﹣q）2+q2+4
＝2（q﹣1）2+6≥6，
由条件p≠q，知q≠1．所以 P+Q＞6，得证．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解二次函数表达式，以及二次函数图象的顶点坐标，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围，以及利用b2﹣4ac判断二次函数图像与x轴交点个数的方法．第（3）小问的关键是利用p+q＝2，首先对代数式P+Q化简，然后配方说明P+Q的范围，另外注意q≠1．
22．（2020秋•杭州期末）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．
（2）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
【思路点拨】（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，即可求得a的值；
（2）由a＞0可知抛物线开口向上，求得对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质得到，解得m≤﹣6；
（3）分两种情况讨论，得到关于a的方程，解方程即可．
【答案】解：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，得3＝4a+8a+3a，
解得：，
∴函数y的表达式y＝x2+x+；
（2）∵抛物线得对称轴为直线x＝，a＞0，
∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小，
∵时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴，即m≤﹣6；
（3）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a，
∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3
①当a＞0 时，开口向上
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴；
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，
∴﹣a＝3，
∴a＝﹣3，
综上，或a＝﹣3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a；（2）根据二次函数的性质得到；（3）分开口向上和开口向下两种情况讨论．
23．（2021•乐清市模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，图象与x轴交于点（4，0）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若（5，y1）和（m，y2）为抛物线上不同的两点，当y2＞y1时，求出m的取值范围．
（3）若把抛物线的图象沿x轴平移n个单位，在自变量x的值满足2≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为﹣3，求n的值．

【思路点拨】（1）利用对称轴x＝﹣＝1，图像与x轴交于点（4，0）求出函数解析式；
（2）将（5，y1）和（m，y2）代入抛物线，由y2＞y1得到关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围；
（3）根据函数的性质，图像向左或向右平移，在自变量x的值满足2≤x≤3的情况下，对应的函数y的最小值求出n的值．
【答案】解：（1）由y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
即x＝﹣＝﹣b＝1，
∴b＝﹣1，
将（4，0）代入解析式y＝x2﹣x+c，
得：0＝×42﹣4+c，
∴c＝﹣4，
∴y＝x2﹣x﹣4；
（2）将（5，y1）代入得，
y1＝×552﹣5﹣4＝﹣9＝，
将（m，y2）代入得：y2＝m2﹣m﹣4，
∵y2＞y1，
∴m2﹣m﹣4＞，
解得：m＜﹣3或m＞5；
（3）由（1）可得y＝x2﹣x﹣4的对称轴为1，
且抛物线y＝x2﹣x﹣4在2≤x≤3范围内y随x的增大而增大，
∴抛物线在x＝2时有最小值为﹣4，
①向左平移n个单位，即当x＝2时，存在与其对应的函数值y的最小值﹣3，
∴﹣3＝（x+n）2﹣（x+n）﹣4，
将x＝2代入得：n2+2n﹣2＝0，
∴n＝﹣﹣1或n＝﹣1，
∵向左平移，
∴n＞0，
∴n＝﹣1；
②向右平移n个单位，当n＜时，函数在x＝2处取得最小值﹣3，
即﹣3＝（2﹣n）2﹣（2﹣n）﹣4，
解得：，都不满足n＜，
当n＞时，函数在x＝3时，存在y的最小值﹣3，
∴﹣3＝（3﹣n）2﹣（3﹣n）﹣4，
解得：n1＝+2，n2＝﹣+2，（舍去）
∴n＝+2，
综上所述，n＝﹣1或n＝+2．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论．