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湖南省湘潭市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类(含答案)
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这是一份湖南省湘潭市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类(含答案)，共23页。试卷主要包含了﹣1﹣4tan45°，•，其中x＝6，先化简，再求值，解不等式组等内容，欢迎下载使用。
湖南省湘潭市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021•湘潭）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．
二．分式的化简求值（共2小题）
2．（2023•湘潭）先化简，再求值：（1+）•，其中x＝6．
3．（2022•湘潭）先化简，再求值：÷﹣•，其中x＝2．
三．解一元一次不等式组（共1小题）
4．（2023•湘潭）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
四．反比例函数综合题（共1小题）
5．（2021•湘潭）如图，点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y＝于点B，已知AC＝2BC．
（1）求直线OA的解析式；
（2）求反比例函数y＝的解析式；
（3）点D为反比例函数y＝上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．
五．二次函数综合题（共1小题）
6．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
7．（2021•湘潭）如图，矩形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上．
（1）证明：△AEF≌△CEF；
（2）若AB＝，求折痕AE的长度．
七．弧长的计算（共1小题）
8．（2022•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：
A1 ，B1 ，C1 ；
（2）求点B旋转到点B1的弧长．
八．相似三角形的判定与性质（共2小题）
9．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
10．（2022•湘潭）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．
（1）求证：△AEC∽△DEB；
（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．
九．解直角三角形的应用（共2小题）
11．（2023•湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据≈1.414，≈1.732）
12．（2021•湘潭）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．
某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼AD的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）
一十．频数（率）分布直方图（共2小题）
13．（2023•湘潭）教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》．劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中．某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：
收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）
1 5 4 1 a 3 2 b 3 4
整理数据：
时间段
0≤x＜3
3≤x＜6
6≤x＜9
人数
3
6
m
分析数据：
统计量
平均数
中位数
众数
数据
3.4
3.5
4
请结合以上信息回答下列问题：
（1）m＝ ，并补全频数分布直方图；
（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若a＜b，则a＝ ，b＝ ；
（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．
14．（2021•湘潭）为隆重纪念中国共产党成立100周年，进一步激发师生的爱党爱国热情，某校开展了四项庆祝活动：A、感党恩•我们诵；B、听党话•我们唱；C、跟党走•我们画；D、学党史•我们写．其中C项活动全体同学参与，预计成绩95＜x≤100可获一等奖，成绩90＜x≤95可获二等奖，随机抽取50个同学的作品进行打分并对成绩进行整理、分析，得到频数分布直方图如图：
收集其中90＜x≤100这一组成绩如下：
n 93 92 98 95 95 96 91 94 96
整理该组数据得下表：
组别
平均数
中位数
众数
获奖组
94.5
95
95
根据以上信息，回答下列问题：
（1）频数分布直方图中m＝ ；
（2）90＜x≤100组中n＝ ；
（3）已知该校有1200名学生，估计本次活动获一等奖的同学有多少人？
一十一．扇形统计图（共1小题）
15．（2022•湘潭）百年青春百年梦，初心献党向未来．为热烈庆祝中国共产主义青年团成立100周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神．某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析：
数据收集
2 5 3 5 4 6 1 5 3 4
3 6 7 5 8 3 4 7 3 4
数据整理
本数
0＜x≤2
2＜x≤4
4＜x≤6
6＜x≤8
组别
A
B
C
D
频数
2
m
6
3
数据分析 绘制成不完整的扇形统计图：
依据统计信息回答问题：
（1）在统计表中，m＝ ；
（2）在扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为 ；
（3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4本以上的人数．
一十二．列表法与树状图法（共1小题）
16．（2022•湘潭）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由A1、A2、A3三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
（2）若A1、A2两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、B、C的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由A1随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由A2随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
湖南省湘潭市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021•湘潭）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．
【答案】0．
【解答】解：原式＝2﹣1+3﹣4×1
＝2﹣1+3﹣4
＝0．
二．分式的化简求值（共2小题）
2．（2023•湘潭）先化简，再求值：（1+）•，其中x＝6．
【答案】2．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝6时，
原式＝＝2．
3．（2022•湘潭）先化简，再求值：÷﹣•，其中x＝2．
【答案】x+2，4．
【解答】解：原式＝•（x+3）（x﹣3）﹣•
＝x+3﹣1
＝x+2，
当x＝2时，
原式＝2+2＝4．
三．解一元一次不等式组（共1小题）
4．（2023•湘潭）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】﹣2＜x≤2；数轴见解答过程．
【解答】解：，
由①得7x≤14，
则x≤2，
由②得2x+6＞x+4，
则x＞﹣2，
故原不等式组的解集为：﹣2＜x≤2，
在数轴上表示其解集如下：
四．反比例函数综合题（共1小题）
5．（2021•湘潭）如图，点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y＝于点B，已知AC＝2BC．
（1）求直线OA的解析式；
（2）求反比例函数y＝的解析式；
（3）点D为反比例函数y＝上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．
【答案】（1）y＝x；
（2）y＝；
（3）3．
【解答】解：（1）∵点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴2＝，解得a＝2，
∴A（2，2），
设直线OA解析式为y＝mx，
则2＝2m，解得m＝1，
∴直线OA解析式为y＝x；
（2）由（1）知：A（2，2），
∵AB∥x轴，且交y轴于点C，
∴AC＝2，
∵AC＝2BC，
∴BC＝1，
∴B（﹣1，2），
把B（﹣1，2）代入y＝得：2＝，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数y＝的解析式为y＝；
（3）设D（t，），而A（2，2），
∴AD中点E（，+1），
而E在y轴上，
∴＝0，解得t＝﹣2，
∴D（﹣2，1），E（0，），
∴S△DOE＝OE•|xD|＝××2＝，
S△AOE＝OE•|xA|＝××2＝，
∴△OAD面积S＝S△DOE+S△AOE＝3．
五．二次函数综合题（共1小题）
6．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣；
（2）（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．
【解答】解：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，﹣），
∵二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点，
∴，解得，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；
（2）存在，理由如下：
由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，
设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B（0，﹣），
∵C与B关于直线x＝1对称，
∴C（2，﹣），
①当BC、PQ为对角线时，如图：
此时BC的中点即是PQ的中点，即，
解得，
∴当P（1，﹣），Q（1，﹣）时，四边形BQCP是平行四边形，
由P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB2＝＝PC2，
∴PB＝PC，
∴四边形BQCP是菱形，
∴此时Q（1，﹣）；
②BP、CQ为对角线时，如图：
同理BP、CQ中点重合，可得，
解得，
∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCPQ是菱形，
∴此时Q（﹣1，0）；
③以BQ、CP为对角线，如图：
BQ、CP中点重合，可得，
解得，
∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCQP是菱形，
∴此时Q（3，0）；
综上所述，Q的坐标为：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．
六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
7．（2021•湘潭）如图，矩形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上．
（1）证明：△AEF≌△CEF；
（2）若AB＝，求折痕AE的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上，
∴∠AFE＝∠B＝90°，AF＝CF，
∵∠AFE+∠CFE＝180°，
∴∠CFE＝180°﹣∠AFE＝90°，
在△AEF和△CEF中，
，
∴△AEF≌△CEF（SAS）．
（2）解：由（1）知，△AEF≌△CEF，
∴∠EAF＝∠ECF，
由折叠性质得，∠BAE＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠EAF＝∠ECF，
∵∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∴3∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝30°，
在Rt△ABE中，AB＝，∠B＝90°，
∴AE＝＝＝2．
七．弧长的计算（共1小题）
8．（2022•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：
A1 （1，1） ，B1 （0，4） ，C1 （2，2） ；
（2）求点B旋转到点B1的弧长．
【答案】（1）（1，1），（0，4），（2，2）；
（2）2π．
【解答】解：（1）由图知，A1（1，1），B1（0，4），C1（2，2），
故答案为：（1，1），（0，4），（2，2）；
（2）由题意知，点B旋转到点B1的弧所在的圆的半径为4，弧所对的圆心角为90°，
∴弧长为：＝2π．
八．相似三角形的判定与性质（共2小题）
9．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）3.6．
【解答】（1）证明：∵AD是斜边BC上的高，
∴∠BDA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠BAC，
又∵∠B为公共角，
∴△ABD∽△CBA；
（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，
∴，
∴，
∴BD＝3.6．
10．（2022•湘潭）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．
（1）求证：△AEC∽△DEB；
（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）3．
【解答】（1）证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB，
∴△AEC∽△DEB；
（2）解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
∵AB是⊙O的直径，AD＝3，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝6，
∴⊙O的半径为3．
九．解直角三角形的应用（共2小题）
11．（2023•湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据≈1.414，≈1.732）
【答案】（1）45°；
（2）0.3米．
【解答】解：（1）由于筒车每旋转一周用时120秒．所以每秒转过360°÷120＝3°，
∴∠BOM＝360°﹣3°×95﹣30°＝45°；
（2）如图，过点B、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C、D，
在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米，
∴OD＝OA＝（米）．
在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米，
∴OC＝OB＝（米），
∴CD＝OD﹣OC＝﹣≈0.3（米），
即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米．
12．（2021•湘潭）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．
某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼AD的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）
【答案】万楼主楼AD的高度约为52米．
【解答】解：由题意可得，
在Rt△ABE中，
∵AB＝120米，∠ABE＝60°，
∴BE＝＝＝60（米），AE＝sin60°•AB＝（米），
在Rt△CDE中，
∵∠DCE＝30°，CE＝BE+CB＝60+30＝90（米），
∴DE＝tan30°•CE＝＝30（米），
∴AD＝AE﹣DE＝60＝30≈52（米）．
答：万楼主楼AD的高度约为52米．
一十．频数（率）分布直方图（共2小题）
13．（2023•湘潭）教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》．劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中．某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：
收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）
1 5 4 1 a 3 2 b 3 4
整理数据：
时间段
0≤x＜3
3≤x＜6
6≤x＜9
人数
3
6
m
分析数据：
统计量
平均数
中位数
众数
数据
3.4
3.5
4
请结合以上信息回答下列问题：
（1）m＝ 1 ，并补全频数分布直方图；
（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若a＜b，则a＝ 4 ，b＝ 7 ；
（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．
【答案】（1）m＝1，补全统计图详见解答；
（2）4，7；
（3）1400．
【解答】解：（1）m＝10﹣3﹣6＝1，补全频数分布直方图如下：
（2）样本中1、3、4都出现2次，若这组数据的众数是4，因此漏掉的两个数中必有一个是4，而a＜b，因此a＝4，
这10个数的中位数是3.5，平均数是3.4，因此漏掉的另一个数是7，即b＝7，
故答案为：4，7；
（3）2000×＝1400（人），
答：该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数大约有1400人．
14．（2021•湘潭）为隆重纪念中国共产党成立100周年，进一步激发师生的爱党爱国热情，某校开展了四项庆祝活动：A、感党恩•我们诵；B、听党话•我们唱；C、跟党走•我们画；D、学党史•我们写．其中C项活动全体同学参与，预计成绩95＜x≤100可获一等奖，成绩90＜x≤95可获二等奖，随机抽取50个同学的作品进行打分并对成绩进行整理、分析，得到频数分布直方图如图：
收集其中90＜x≤100这一组成绩如下：
n 93 92 98 95 95 96 91 94 96
整理该组数据得下表：
组别
平均数
中位数
众数
获奖组
94.5
95
95
根据以上信息，回答下列问题：
（1）频数分布直方图中m＝ 12 ；
（2）90＜x≤100组中n＝ 95 ；
（3）已知该校有1200名学生，估计本次活动获一等奖的同学有多少人？
【答案】（1）12；
（2）95；
（3）72人．
【解答】解：（1）m＝50﹣4﹣10﹣24＝12，
故答案为：12；
（2）90＜x≤100这一组成绩如下：n 93 92 98 95 95 96 91 94 96，其中95，96都出现了2次，
∵该组数据的众数是95，
∴n＝95，
故答案为：95；
（3）抽取50个同学的作品成绩95＜x≤100的人数为3，
∴1200×＝72（人），
答：估计本次活动获一等奖的同学有72人．
一十一．扇形统计图（共1小题）
15．（2022•湘潭）百年青春百年梦，初心献党向未来．为热烈庆祝中国共产主义青年团成立100周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神．某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析：
数据收集
2 5 3 5 4 6 1 5 3 4
3 6 7 5 8 3 4 7 3 4
数据整理
本数
0＜x≤2
2＜x≤4
4＜x≤6
6＜x≤8
组别
A
B
C
D
频数
2
m
6
3
数据分析 绘制成不完整的扇形统计图：
依据统计信息回答问题：
（1）在统计表中，m＝ 9 ；
（2）在扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为 108° ；
（3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4本以上的人数．
【答案】（1）9；（2）108°；（3）90人．
【解答】解：（1）由已知数据得B组的频数m＝20﹣（2+6+3）＝9，
故答案为：9；
（2）在扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为360°×＝108°，
故答案为：108°；
（3）200×＝90（人），
答：估计该校八年级学生读书在4本以上的有90人．
一十二．列表法与树状图法（共1小题）
16．（2022•湘潭）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由A1、A2、A3三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
（2）若A1、A2两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、B、C的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由A1随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由A2随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
【答案】（1）6种等可能的情况数；
（2）．
【解答】解：（1）这三名同学讲故事的顺序是：A1、A2、A3；A1、A3、A2；A2、A1、A3；A2、A3、A1；A3、A1、A2；A3、A2、A1；共6种等可能的情况数；
（2）根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的有3种，
则A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率是＝．
湖南省湘潭市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021•湘潭）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．
二．分式的化简求值（共2小题）
2．（2023•湘潭）先化简，再求值：（1+）•，其中x＝6．
3．（2022•湘潭）先化简，再求值：÷﹣•，其中x＝2．
三．解一元一次不等式组（共1小题）
4．（2023•湘潭）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
四．反比例函数综合题（共1小题）
5．（2021•湘潭）如图，点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y＝于点B，已知AC＝2BC．
（1）求直线OA的解析式；
（2）求反比例函数y＝的解析式；
（3）点D为反比例函数y＝上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．
五．二次函数综合题（共1小题）
6．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
7．（2021•湘潭）如图，矩形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上．
（1）证明：△AEF≌△CEF；
（2）若AB＝，求折痕AE的长度．
七．弧长的计算（共1小题）
8．（2022•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：
A1 ，B1 ，C1 ；
（2）求点B旋转到点B1的弧长．
八．相似三角形的判定与性质（共2小题）
9．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
10．（2022•湘潭）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．
（1）求证：△AEC∽△DEB；
（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．
九．解直角三角形的应用（共2小题）
11．（2023•湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据≈1.414，≈1.732）
12．（2021•湘潭）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．
某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼AD的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）
一十．频数（率）分布直方图（共2小题）
13．（2023•湘潭）教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》．劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中．某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：
收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）
1 5 4 1 a 3 2 b 3 4
整理数据：
时间段
0≤x＜3
3≤x＜6
6≤x＜9
人数
3
6
m
分析数据：
统计量
平均数
中位数
众数
数据
3.4
3.5
4
请结合以上信息回答下列问题：
（1）m＝ ，并补全频数分布直方图；
（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若a＜b，则a＝ ，b＝ ；
（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．
14．（2021•湘潭）为隆重纪念中国共产党成立100周年，进一步激发师生的爱党爱国热情，某校开展了四项庆祝活动：A、感党恩•我们诵；B、听党话•我们唱；C、跟党走•我们画；D、学党史•我们写．其中C项活动全体同学参与，预计成绩95＜x≤100可获一等奖，成绩90＜x≤95可获二等奖，随机抽取50个同学的作品进行打分并对成绩进行整理、分析，得到频数分布直方图如图：
收集其中90＜x≤100这一组成绩如下：
n 93 92 98 95 95 96 91 94 96
整理该组数据得下表：
组别
平均数
中位数
众数
获奖组
94.5
95
95
根据以上信息，回答下列问题：
（1）频数分布直方图中m＝ ；
（2）90＜x≤100组中n＝ ；
（3）已知该校有1200名学生，估计本次活动获一等奖的同学有多少人？
一十一．扇形统计图（共1小题）
15．（2022•湘潭）百年青春百年梦，初心献党向未来．为热烈庆祝中国共产主义青年团成立100周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神．某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析：
数据收集
2 5 3 5 4 6 1 5 3 4
3 6 7 5 8 3 4 7 3 4
数据整理
本数
0＜x≤2
2＜x≤4
4＜x≤6
6＜x≤8
组别
A
B
C
D
频数
2
m
6
3
数据分析 绘制成不完整的扇形统计图：
依据统计信息回答问题：
（1）在统计表中，m＝ ；
（2）在扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为 ；
（3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4本以上的人数．
一十二．列表法与树状图法（共1小题）
16．（2022•湘潭）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由A1、A2、A3三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
（2）若A1、A2两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、B、C的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由A1随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由A2随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
湖南省湘潭市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021•湘潭）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．
【答案】0．
【解答】解：原式＝2﹣1+3﹣4×1
＝2﹣1+3﹣4
＝0．
二．分式的化简求值（共2小题）
2．（2023•湘潭）先化简，再求值：（1+）•，其中x＝6．
【答案】2．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝6时，
原式＝＝2．
3．（2022•湘潭）先化简，再求值：÷﹣•，其中x＝2．
【答案】x+2，4．
【解答】解：原式＝•（x+3）（x﹣3）﹣•
＝x+3﹣1
＝x+2，
当x＝2时，
原式＝2+2＝4．
三．解一元一次不等式组（共1小题）
4．（2023•湘潭）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】﹣2＜x≤2；数轴见解答过程．
【解答】解：，
由①得7x≤14，
则x≤2，
由②得2x+6＞x+4，
则x＞﹣2，
故原不等式组的解集为：﹣2＜x≤2，
在数轴上表示其解集如下：
四．反比例函数综合题（共1小题）
5．（2021•湘潭）如图，点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y＝于点B，已知AC＝2BC．
（1）求直线OA的解析式；
（2）求反比例函数y＝的解析式；
（3）点D为反比例函数y＝上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．
【答案】（1）y＝x；
（2）y＝；
（3）3．
【解答】解：（1）∵点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴2＝，解得a＝2，
∴A（2，2），
设直线OA解析式为y＝mx，
则2＝2m，解得m＝1，
∴直线OA解析式为y＝x；
（2）由（1）知：A（2，2），
∵AB∥x轴，且交y轴于点C，
∴AC＝2，
∵AC＝2BC，
∴BC＝1，
∴B（﹣1，2），
把B（﹣1，2）代入y＝得：2＝，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数y＝的解析式为y＝；
（3）设D（t，），而A（2，2），
∴AD中点E（，+1），
而E在y轴上，
∴＝0，解得t＝﹣2，
∴D（﹣2，1），E（0，），
∴S△DOE＝OE•|xD|＝××2＝，
S△AOE＝OE•|xA|＝××2＝，
∴△OAD面积S＝S△DOE+S△AOE＝3．
五．二次函数综合题（共1小题）
6．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣；
（2）（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．
【解答】解：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，﹣），
∵二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点，
∴，解得，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；
（2）存在，理由如下：
由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，
设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B（0，﹣），
∵C与B关于直线x＝1对称，
∴C（2，﹣），
①当BC、PQ为对角线时，如图：
此时BC的中点即是PQ的中点，即，
解得，
∴当P（1，﹣），Q（1，﹣）时，四边形BQCP是平行四边形，
由P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB2＝＝PC2，
∴PB＝PC，
∴四边形BQCP是菱形，
∴此时Q（1，﹣）；
②BP、CQ为对角线时，如图：
同理BP、CQ中点重合，可得，
解得，
∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCPQ是菱形，
∴此时Q（﹣1，0）；
③以BQ、CP为对角线，如图：
BQ、CP中点重合，可得，
解得，
∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCQP是菱形，
∴此时Q（3，0）；
综上所述，Q的坐标为：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．
六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
7．（2021•湘潭）如图，矩形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上．
（1）证明：△AEF≌△CEF；
（2）若AB＝，求折痕AE的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上，
∴∠AFE＝∠B＝90°，AF＝CF，
∵∠AFE+∠CFE＝180°，
∴∠CFE＝180°﹣∠AFE＝90°，
在△AEF和△CEF中，
，
∴△AEF≌△CEF（SAS）．
（2）解：由（1）知，△AEF≌△CEF，
∴∠EAF＝∠ECF，
由折叠性质得，∠BAE＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠EAF＝∠ECF，
∵∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∴3∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝30°，
在Rt△ABE中，AB＝，∠B＝90°，
∴AE＝＝＝2．
七．弧长的计算（共1小题）
8．（2022•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：
A1 （1，1） ，B1 （0，4） ，C1 （2，2） ；
（2）求点B旋转到点B1的弧长．
【答案】（1）（1，1），（0，4），（2，2）；
（2）2π．
【解答】解：（1）由图知，A1（1，1），B1（0，4），C1（2，2），
故答案为：（1，1），（0，4），（2，2）；
（2）由题意知，点B旋转到点B1的弧所在的圆的半径为4，弧所对的圆心角为90°，
∴弧长为：＝2π．
八．相似三角形的判定与性质（共2小题）
9．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）3.6．
【解答】（1）证明：∵AD是斜边BC上的高，
∴∠BDA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠BAC，
又∵∠B为公共角，
∴△ABD∽△CBA；
（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，
∴，
∴，
∴BD＝3.6．
10．（2022•湘潭）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．
（1）求证：△AEC∽△DEB；
（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）3．
【解答】（1）证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB，
∴△AEC∽△DEB；
（2）解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
∵AB是⊙O的直径，AD＝3，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝6，
∴⊙O的半径为3．
九．解直角三角形的应用（共2小题）
11．（2023•湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据≈1.414，≈1.732）
【答案】（1）45°；
（2）0.3米．
【解答】解：（1）由于筒车每旋转一周用时120秒．所以每秒转过360°÷120＝3°，
∴∠BOM＝360°﹣3°×95﹣30°＝45°；
（2）如图，过点B、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C、D，
在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米，
∴OD＝OA＝（米）．
在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米，
∴OC＝OB＝（米），
∴CD＝OD﹣OC＝﹣≈0.3（米），
即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米．
12．（2021•湘潭）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．
某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼AD的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）
【答案】万楼主楼AD的高度约为52米．
【解答】解：由题意可得，
在Rt△ABE中，
∵AB＝120米，∠ABE＝60°，
∴BE＝＝＝60（米），AE＝sin60°•AB＝（米），
在Rt△CDE中，
∵∠DCE＝30°，CE＝BE+CB＝60+30＝90（米），
∴DE＝tan30°•CE＝＝30（米），
∴AD＝AE﹣DE＝60＝30≈52（米）．
答：万楼主楼AD的高度约为52米．
一十．频数（率）分布直方图（共2小题）
13．（2023•湘潭）教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》．劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中．某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：
收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）
1 5 4 1 a 3 2 b 3 4
整理数据：
时间段
0≤x＜3
3≤x＜6
6≤x＜9
人数
3
6
m
分析数据：
统计量
平均数
中位数
众数
数据
3.4
3.5
4
请结合以上信息回答下列问题：
（1）m＝ 1 ，并补全频数分布直方图；
（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若a＜b，则a＝ 4 ，b＝ 7 ；
（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．
【答案】（1）m＝1，补全统计图详见解答；
（2）4，7；
（3）1400．
【解答】解：（1）m＝10﹣3﹣6＝1，补全频数分布直方图如下：
（2）样本中1、3、4都出现2次，若这组数据的众数是4，因此漏掉的两个数中必有一个是4，而a＜b，因此a＝4，
这10个数的中位数是3.5，平均数是3.4，因此漏掉的另一个数是7，即b＝7，
故答案为：4，7；
（3）2000×＝1400（人），
答：该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数大约有1400人．
14．（2021•湘潭）为隆重纪念中国共产党成立100周年，进一步激发师生的爱党爱国热情，某校开展了四项庆祝活动：A、感党恩•我们诵；B、听党话•我们唱；C、跟党走•我们画；D、学党史•我们写．其中C项活动全体同学参与，预计成绩95＜x≤100可获一等奖，成绩90＜x≤95可获二等奖，随机抽取50个同学的作品进行打分并对成绩进行整理、分析，得到频数分布直方图如图：
收集其中90＜x≤100这一组成绩如下：
n 93 92 98 95 95 96 91 94 96
整理该组数据得下表：
组别
平均数
中位数
众数
获奖组
94.5
95
95
根据以上信息，回答下列问题：
（1）频数分布直方图中m＝ 12 ；
（2）90＜x≤100组中n＝ 95 ；
（3）已知该校有1200名学生，估计本次活动获一等奖的同学有多少人？
【答案】（1）12；
（2）95；
（3）72人．
【解答】解：（1）m＝50﹣4﹣10﹣24＝12，
故答案为：12；
（2）90＜x≤100这一组成绩如下：n 93 92 98 95 95 96 91 94 96，其中95，96都出现了2次，
∵该组数据的众数是95，
∴n＝95，
故答案为：95；
（3）抽取50个同学的作品成绩95＜x≤100的人数为3，
∴1200×＝72（人），
答：估计本次活动获一等奖的同学有72人．
一十一．扇形统计图（共1小题）
15．（2022•湘潭）百年青春百年梦，初心献党向未来．为热烈庆祝中国共产主义青年团成立100周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神．某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析：
数据收集
2 5 3 5 4 6 1 5 3 4
3 6 7 5 8 3 4 7 3 4
数据整理
本数
0＜x≤2
2＜x≤4
4＜x≤6
6＜x≤8
组别
A
B
C
D
频数
2
m
6
3
数据分析 绘制成不完整的扇形统计图：
依据统计信息回答问题：
（1）在统计表中，m＝ 9 ；
（2）在扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为 108° ；
（3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4本以上的人数．
【答案】（1）9；（2）108°；（3）90人．
【解答】解：（1）由已知数据得B组的频数m＝20﹣（2+6+3）＝9，
故答案为：9；
（2）在扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为360°×＝108°，
故答案为：108°；
（3）200×＝90（人），
答：估计该校八年级学生读书在4本以上的有90人．
一十二．列表法与树状图法（共1小题）
16．（2022•湘潭）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由A1、A2、A3三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
（2）若A1、A2两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、B、C的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由A1随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由A2随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
【答案】（1）6种等可能的情况数；
（2）．
【解答】解：（1）这三名同学讲故事的顺序是：A1、A2、A3；A1、A3、A2；A2、A1、A3；A2、A3、A1；A3、A1、A2；A3、A2、A1；共6种等可能的情况数；
（2）根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的有3种，
则A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率是＝．
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