湖南省湘潭市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)

这是一份湖南省湘潭市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)，共30页。试卷主要包含了÷，其中x＝3，建设的发展目标，，点C为OB中点，，请根据设计方案回答下列问题，已知抛物线y＝x2+bx+c，问题情境等内容，欢迎下载使用。

湖南省湘潭市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2021•湘潭）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．
二．二元一次方程组的应用（共1小题）
2．（2021•湘潭）2020年12月30日，中共湘潭市委创造性地提出了深化“六个湘潭”（实力湘潭、创新湘潭、文化湘潭、幸福湘潭、美丽湘潭、平安湘潭）建设的发展目标．为响应政府号召，湘潭县湘莲种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售湘莲．已知线上零售40kg、线下批发80kg湘莲共获得4000元；线上零售60kg和线下批发80kg湘莲销售额相同．
（1）求线上零售和线下批发湘莲的单价分别为每千克多少元？
（2）该产地某种植大户某月线上零售和线下批发共销售湘莲2000kg，设线上零售xkg，获得的总销售额为y元：
①请写出y与x的函数关系式；
②若总销售额不低于70000元，则线上零售量至少应达到多少千克？
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2023•湘潭）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射．某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．
（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
四．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
4．（2023•湘潭）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点．将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′．
（1）反比例函数y＝的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A′两点，求该一次函数的表达式．

五．反比例函数综合题（共1小题）
5．（2022•湘潭）已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB．
（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达式；
（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．

六．二次函数的应用（共1小题）
6．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？

七．二次函数综合题（共2小题）
7．（2023•湘潭）如图，二次函数y＝x2+bx+c 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B（1，0），C（0，3）．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC＝S△ABC？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．
8．（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c．
（1）如图①，若抛物线与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．


八．三角形综合题（共1小题）
9．（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．

九．四边形综合题（共1小题）
10．（2023•湘潭）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．

特例感知：（1）当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②．根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE的形状是否发生改变？请说明理由．
一十．圆的综合题（共1小题）
11．（2021•湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图①，点C把线段AB分成两部分，如果＝≈0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点．

（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；
①作两条相互垂直的直径MN、AI；
②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；
③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB＝BC＝CD＝DE＝AQ，连接AE；
则五边形ABCDE为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
12．（2022•湘潭）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中≈0.618）：伞柄AH始终平分∠BAC，AB＝AC＝20cm，当∠BAC＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC＝90°．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：≈1.732）

一十二．列表法与树状图法（共2小题）
13．（2023•湘潭）为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．
14．（2021•湘潭）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点
疫苗种类
医院
A
新冠病毒灭活疫苗
B
重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心
C
新冠病毒灭活疫苗
D
重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．

湖南省湘潭市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2021•湘潭）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．
【答案】，．
【解答】解：（+1）÷
＝•
＝•
＝，
当x＝3时，原式＝＝．
二．二元一次方程组的应用（共1小题）
2．（2021•湘潭）2020年12月30日，中共湘潭市委创造性地提出了深化“六个湘潭”（实力湘潭、创新湘潭、文化湘潭、幸福湘潭、美丽湘潭、平安湘潭）建设的发展目标．为响应政府号召，湘潭县湘莲种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售湘莲．已知线上零售40kg、线下批发80kg湘莲共获得4000元；线上零售60kg和线下批发80kg湘莲销售额相同．
（1）求线上零售和线下批发湘莲的单价分别为每千克多少元？
（2）该产地某种植大户某月线上零售和线下批发共销售湘莲2000kg，设线上零售xkg，获得的总销售额为y元：
①请写出y与x的函数关系式；
②若总销售额不低于70000元，则线上零售量至少应达到多少千克？
【答案】（1）线上零售湘莲的单价为每千克40元，线下批发湘莲的单价为每千克30元；
（2）y＝10x+60000；
（3）线上零售量至少应达到1000千克．
【解答】解：（1）设线上零售湘莲的单价为每千克x元，线下批发湘莲的单价为每千克y元，
由题意得：，
解得：，
答：线上零售湘莲的单价为每千克40元，线下批发湘莲的单价为每千克30元；
（2）①由题意得：y＝40x+30（2000﹣x）＝10x+60000，
即y与x的函数关系式为：y＝10x+60000；
②设线上零售量应达到x千克，
由①得：10x+60000≥70000，
解得：x≥1000，
答：线上零售量至少应达到1000千克．
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2023•湘潭）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射．某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．
（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
【答案】（1）y＝1000x﹣50000；
（2）4000．
【解答】解：（1）y＝1000（x﹣50）＝1000x﹣50000；
（2）设该商店继续购进了m件航天模型玩具，
（60﹣50）（1000+m）×20%＝10000，
解得m＝4000，
答：该商店继续购进了4000件航天模型玩具．
四．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
4．（2023•湘潭）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点．将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′．
（1）反比例函数y＝的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A′两点，求该一次函数的表达式．

【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝；
（2）该一次函数的表达式为y＝x+．
【解答】解：（1）∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点，
∴OA＝3，OB＝4，
∴BC＝2，
将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′，
∴C′（2，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点C′，
∴k＝2×4＝8，
∴该反比例函数的表达式为y＝；
（2）作A′H⊥y轴于H．
∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵OA＝3，OB＝4，
∴BH＝OA＝3，A′H＝OB＝4，
∴OH＝1，
∴A′（4，1），
设一次函数的解析式为y＝ax+b，
把A（﹣3，0），A′（4，1）代入得，，
解得，
∴该一次函数的表达式为y＝x+．

五．反比例函数综合题（共1小题）
5．（2022•湘潭）已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB．
（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达式；
（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．

【答案】（1）y＝；
（2）y＝﹣x+．
【解答】解：（1）作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，

则四边形OCPD是矩形，
∵以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，
∴PC＝PD，
∴矩形OCPD是正方形，
设PD＝PC＝x，
∵A（3，0）、B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴BD＝4﹣x，
∵PD∥OA，
∴△PDB∽△AOB，
∴，
∴，
解得x＝，
∴P（，），
设过点P的函数表达式为y＝，
∴k＝xy＝＝，
∴y＝；
（2）方法一：∵将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，
∴ON＝NM，MN⊥AB，
由勾股定理得，AB＝5，
∴S△AOB＝S△AON+S△ABN，
∴＝+，
解得，ON＝，
∴N（0，），
设直线AN的函数解析式为y＝mx+，
则3m+＝0，
∴m＝﹣，
∴直线AN的函数解析式为y＝﹣x+．
方法二：利用△BMN∽△BOA，求出BN的长度，从而得出ON的长度，
与方法一同理得出答案．
六．二次函数的应用（共1小题）
6．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？

【答案】（1）8m，4m；
（2）m，m2．
【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），
设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
即CG的长为8m、DG的长为4m；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，
∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴当x＝时，总种植面积有最大值为m2，
即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m2．
七．二次函数综合题（共2小题）
7．（2023•湘潭）如图，二次函数y＝x2+bx+c 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B（1，0），C（0，3）．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC＝S△ABC？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；
（2）P（2，﹣1）或 或 ；
（3）＜a＜5或﹣1＜a＜．
【解答】解：将点B（1，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c，则
，
解得，
∴抛物线解析式为 y＝x2﹣4x+3；
（2）∴y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，1），
当 y＝0时，x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴A（3，0），则 OA＝3，
∵C（0，3），则 OC＝3，
∴△AOC 是等腰直角三角形，
∵S△PAC＝S△ABC，
∴p到AC的距离等于B到AC的距离，
∵A（3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+3，
∴3k+3＝0，
解得k＝﹣1，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
过点B作AC的平行线，交抛物线于点P，

设BP的解析式为 y＝﹣x+d，将点 B（1，0）代入得，
﹣1+d＝0，
解得：d＝1，
∴直线BP的解析式为 y＝﹣x+1，

解得：或，
∴P（2，﹣1），
∵，，AB＝3﹣1＝2，
∴PA2+PB2＝AB2，
∴△ABP 是等腰直角三角形，且∠APB＝90°，
如图所示，延长PA至D，使得AD＝PA，过点D作AC的平行线DE，交x轴于点E，则DA＝PA，则符合题意的点P在直线DE 上，
∵△APB是等腰直角三角形，DE∥AC，AC⊥PD，
∴∠DAE＝∠BAP＝45°，PD⊥DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴，
∴E（5，0）设直线DE的解析式为y＝﹣x+e，
∴﹣5+e＝0，
解得：e＝5，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x+5，
联立 ，
解得： 或，
∴ 或 ，
综上所述，P（2，﹣1） 或 ；
（3）①当a＞0时，如图所示，过点C作 CG⊥AC 交 x＝2 于点G，当点Q与点G重合时，△ACQ是直角三角形，当∠AQC＝90° 时，△ACQ是直角三角形，

设AC交x＝2于点H，
∵直线AC的解析式为 y＝﹣x+3，
则H（2，1），
∴，
∴∠CHG＝∠OCH＝45°，
∴△CHG是等腰直角三角形，
∴，
∴G（2，5），
设Q（2，q），则AQ2＝12+q2，CQ2＝22+（q﹣3）2＝q2﹣6q+13，
∵AC2＝32+32＝18，
∴18＝q2﹣6q+13+12+q2，
解得： （舍去）或 ，
∴，
∵△QAC是锐角三角形，
∴；
当a＜0时，如图所示，
同理可得AQ2+QC2＝AC，
即18＝q2﹣6q+13+12+q2，
解得： （舍去）或 ，
由（2）可得AM⊥AC时，M（2，1）

∴﹣1＜a＜．
综上所述，当△OAC是锐角三角形时，
＜a＜5或﹣1＜a＜．
8．（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c．
（1）如图①，若抛物线与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．


【答案】（1）（Ⅰ）y＝x2﹣2x﹣3；
（Ⅱ）P（2，﹣3）或（，﹣）；
（2）b＞或b＜﹣．
【解答】（1）解：（Ⅰ）由题意得，
，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（Ⅱ）存在点P，使得点M是线段PH的三等分点，理由如下：
∵B（0，﹣3），A（3，0），
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），
∴PH＝﹣m2+2m+3，HM＝3﹣m，
当PH＝3HM时，
﹣m2+2m+3＝3（3﹣m），
化简得，
m2﹣5m+6＝0，
∴m1＝2，m2＝3，
当m＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴P（2，﹣3），
当m＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，
此时P（3，0）（舍去），
当PH＝HM时，
﹣m2+2m+3＝（3﹣m），
化简得，
2m2﹣7m+3＝0，
∴m3＝3（舍去），m2＝，
当m＝时，y＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，
∴P（，﹣），
综上所述：P（2，﹣3）或（，﹣）；
（2）如图1，

∵抛物线y＝x2+bx+c过点D（﹣3，0），
∴（﹣3）2﹣3b+c＝0，
∴c＝3b﹣9，
∴y＝x2+bx+（3b﹣9），
把x＝﹣3，y＝0代入y＝+n得，
0＝+n，
∴n＝4，
∴OC＝4，
∵∠COD＝90°，OD＝3，OC＝4，
∴CD＝5，
∵四边形CDFE是菱形，
∴CE＝CD＝5，
∴E（5，4），
当﹣＜0时，即b＞0时，
当x＝0时，y＝3b﹣9，
∴G（0，3b﹣9），
∵该抛物线与线段CE没有交点，
∴3b﹣9＞4，
∴b＞，
当b＜0时，
当x＝5时，y＝25+5b+3b﹣9＝8b+16，
∴H（5，8b+16），
∵抛物线与CE没有交点，
∴8b+16＜4，
∴b＜﹣，
综上所述：b＞或b＜﹣．
八．三角形综合题（共1小题）
9．（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．

【答案】（1）DE＝2；
（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由见解答部分；
（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由见解答部分；
（3）．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵l∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∠CAE＝∠ACB＝45°，
∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∵AB＝AC＝，
∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，
∴DE＝2；
（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：
在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
∴CE＝AD，BD＝AE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：
在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
∴CE＝AD，BD＝AE，
∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．
（3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE
∵∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴△ABD∽△FBA，
∴AB：FB＝BD：AB，
∵CE＝3，DE＝1，
∴AE＝BD＝4，
∴AB＝5．
∴BF＝．
∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．
九．四边形综合题（共1小题）
10．（2023•湘潭）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．

特例感知：（1）当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②．根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE的形状是否发生改变？请说明理由．
【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）△APE是等腰直角三角形；
（3）△APE仍然是等腰直角三角形．
【解答】解：（1）如图1，

延长FG，交AC于H，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴BC＝CD，FG＝BG，CD∥AE，FG∥AE，∠CGH＝∠BGF＝90°，
∴∠CHG＝45°，CD∥FG，
∴∠ACB＝∠CHG，∠CDP＝∠HFP，∠DCP＝∠FHP，
∴CG＝GH，
∴CG+BG＝GH+FG，
∴BC＝FH，
∴CD＝FH，
∴△CDP≌△HFP（ASA），
∴点P是DF的中点；
（2）如图2，

△APE是等腰直角三角形，理由如下：
延长EG，交AD的延长线于点M，设DF和EG交于点Q，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠BEG＝45°，AD＝AB，BE＝EF，AD∥BC∥EF，∠BAC＝45°，
∴∠M＝45°，∠M＝∠GEF，∠MDQ＝∠EFQ，
∴∠M＝∠BEG，
∴AM＝AE，
∴AM﹣AD＝AE﹣AB，
∴DM＝BE，
∴DM＝EF，
∴△DQM≌△FQE（ASA），
∴DQ＝FQ，
∴点Q和点P重合，即：EG与DF的交点恰好也是DF中点P，
∵∠BAC＝45°，∠BEG＝45°，
∴∠APE＝90°，AP＝EP，
∴△APE是等腰直角三角形；
（3）如图3，

△APE仍然是等腰直角三角形，理由如下：
延长EP至Q，是PQ＝PE，连接DQ，延长DA和FE，交于点N，
∵DP＝PF，∠DPQ＝∠EPF，
∴△PDQ≌△PFE（SAS），
∴DQ＝EF，∠PQD＝∠PEF，
∴∠N+∠ADQ＝180°，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAN＝∠DAB＝90°，∠BEN＝∠BEF＝90°，AB＝AD，BE＝EF，
∴∠N+∠ABE＝360°﹣∠BAN﹣∠BEN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，DQ＝BE，
∴∠ABE＝∠ADQ，
∴△ADQ≌△ABE（SAS），
∴AE＝AQ，∠DAQ＝∠BAE，
∴∠BAE+∠BAQ＝∠DAQ+∠BAQ＝∠BAD＝90°，
∴∠QAE＝90°，
∴AP⊥EQ，AP＝PE＝，
∴△APE是等腰直角三角形．
一十．圆的综合题（共1小题）
11．（2021•湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图①，点C把线段AB分成两部分，如果＝≈0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点．

（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；
①作两条相互垂直的直径MN、AI；
②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；
③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB＝BC＝CD＝DE＝AQ，连接AE；
则五边形ABCDE为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．
【答案】（1）50﹣50；
（2）Q是线段OM的黄金分割点，理由见解答过程；
（3）．
【解答】解：（1）根据黄金分割点的意义，
得＝，
∵AB＝100，
∴AC＝50﹣50；
（2）Q是线段OM的黄金分割点，理由如下：
设⊙O的半径为r，则OP＝r，
∴PQ＝AP＝＝r，
∴OQ＝QP﹣OP＝r﹣r＝r，MQ＝OM﹣OQ＝r﹣r＝r，
∴＝＝＝＝，
即Q是线段OM的黄金分割点；
（3）如图③，作PH⊥AE于H，
由题可知，AH＝HE，
∵正五边形的每个内角都为（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠PEH＝180°﹣108°＝72°，
即cos∠PEH＝cos72°＝，
∵点E是线段PD的黄金分割点，
∴＝，
又∵DE＝AE，HE＝AH＝AE，
∴cos72°＝＝＝×＝×＝．

一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
12．（2022•湘潭）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中≈0.618）：伞柄AH始终平分∠BAC，AB＝AC＝20cm，当∠BAC＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC＝90°．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：≈1.732）

【答案】72cm．
【解答】解：作BE⊥AH于点E，

∵∠BAC＝120°，AH平分∠BAC，
∴∠BAE＝60°，
∴AE＝AB•cos60°＝20×＝10（cm），
BE＝AB•sin60°＝20×＝10≈17.32（cm），
∵BD＝CD，∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝45°，
∴DE＝BE＝17.32cm，
∴AD＝AE+DE＝10+17.32＝27.32（cm），
∵，
即，
解得AH≈72，
∴最少需要准备72cm长的伞柄．
一十二．列表法与树状图法（共2小题）
13．（2023•湘潭）为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】解：（1）所有的可能结果共有6种，分别为：AB、AC、AD、BC、BD、CD；
（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中小宇和小江选到相同社团的结果有3种，
∴他俩选到相同社团的概率为＝．
14．（2021•湘潭）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点
疫苗种类
医院
A
新冠病毒灭活疫苗
B
重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心
C
新冠病毒灭活疫苗
D
重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为＝；
（2）画树状图如图：

共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有8种，
∴居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为＝．