2022-2023学年陕西省渭南市合阳中学高二下学期5月质量检测数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省渭南市合阳中学高二下学期5月质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数满足（为虚数单位），则共轭复数等于

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由复数相等，利用复数的除法、乘法运算求复数z，进而可得.

【详解】由题意，，

所以.

故选：D

2．曲线在点处的切线的斜率为（     ）

A． B．0 C． D．1

【答案】C

【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率．

【详解】，

所以，

故选：C．

3．某兴趣小组有5名学生，其中有3名男生和2名女生，现在要从这5名学生中任选2名学生参加活动，则选中的2名学生的性别相同的概率是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意结合古典概型计算公式和排列组合公式计算可得满足题意的概率值.

【详解】由题意可知，选中的2名学生的性别相同的概率是：

.

故选A.

【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，排列组合的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312

【答案】A

【详解】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A．

【解析】次独立重复试验．

5．观察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4 ，a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10=（  ）

A．28 B．76 C．123 D．199

【答案】C

【详解】由题观察可发现，

，

，

，

即,

故选C.

【解析】观察和归纳推理能力.

6．由直线及曲线所围成的封闭图形的面积为

A．3 B． C． D．

【答案】A

【详解】如图所示，  

曲边四边形OABC的面积为.

故选A.

点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．

7．第届冬季奥林四克运动会（北京冬奥会）计划于年月日开幕，共设个大项．现将甲、乙、丙名志愿者分配到个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（     ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【分析】先将三名志愿者分成两组，两组人数分别为、，然后将这两组人分配给个大项目中的两个，利用分步计数原理可得结果.

【详解】将甲、乙、丙名志愿者分配到个大项中参加志愿活动，

每名志愿者只能参加个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项，

则将甲、乙、丙名志愿者分为两组，两组人数分别为、，

然后将这两组人分配给个大项目中的两个，

因此，不同的分配方法种数为种.

故选：D.

8．的展开式中，项的系数为（     ）

A．－23 B．17 C．20 D．23

【答案】B

【分析】利用二项式定理逐项计算即可.

【详解】展开可得，

要得到项，则需分别求展开式中的项的系数，

由二项式定理可知的展开式中含的项分别为，

其系数分别为，

所以展开式中含项的系数为，

故选：B

9．已知函数的极值点为，若有且只有一个，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题可得在上有且只有一个变号零点，然后利用对勾函数的性质结合条件可得，即得.

【详解】因为函数在上有且只有一个极值点，

所以在上有且只有一个变号零点，

由，得，

令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，，．

由，解得．

故选：B.

10．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是   

A．2日和5日 B．5日和6日 C．6日和11日 D．2日和11日

【答案】C

【详解】试题分析：这12天的日期之和，，甲、乙、丙的各自的日期之和是，对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，可能是4日，5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日，故答案为C.

【解析】等差数列的前项和.

11．我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、 宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中至少有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用古典概型的概率公式求出和，再利用条件概率公式计算作答.

【详解】依题意，，

所以.

故选：D

12．已知函数，，若存在，对任意，都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】先分别求出和的值域，由题意可知存在，对任意，

都有等价于的值域是的值域的子集，由此列出不等式组解出的取值范围即可.

【详解】由题意可得，

令，得，

而，，，

，，

，

，令，得，

而，，，

，，

，

由题意可知存在，对任意，

都有等价于，即，

.

故选：C

【点睛】本题考查函数的图象与性质及利用导函数解不等式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.

二、填空题

13．展开式中的常数项为            ．

【答案】3360

【分析】利用二项式定理计算即可.

【详解】由，

设其通项，

则当时，.

故答案为：3360

14．若函数,则的值为          ．

【答案】

【详解】试题分析：.

【解析】导数的运算.

15．将6名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有            种.

【答案】540

【分析】由题意知将6名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，只有三种分法3，2，1和2，2，2以及1，1，4，先分组再分配,即可求解.

【详解】解：将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，

只有三种分法3，2，1和2，2，2以及1，1，4，

分为3，2，1，共有种结果，

分为2，2，2，共有种结果，

分为1，1，4，共有种结果，

所以共有540种.

故答案为：．

16．某图书出版公司到某中学开展奉献爱心图书捐赠活动，某班级获得了某一品牌的图书共4本，其中数学、英语、物理、化学各一本.现将这4本书随机发给该班的甲、乙、丙、丁四个人，每人一本，并请这四个人在看自己得到的赠书之前进行预测，结果如下：甲说：乙或丙得到物理书； 乙说：甲或丙得到英语书； 丙说：数学书被甲得到； 丁说：甲得到物理书.最终结果显示：甲、乙、丙、丁四个人的预测均不正确，那么甲得到的书是    

【答案】化学

【分析】利用推理可得，乙、丙、丁均提到甲的信息，所以可以推得甲所获得的图书.

【详解】因为甲、乙、丙、丁四个人的预测均不正确，乙不正确说明甲没有得到英语书；丙不正确说明甲没有得到数学书；丁不正确说明甲没有得到物理书，综上可知甲得到的是化学书.

【点睛】本题主要考查合情推理，结合逻辑进行推理，属于简单题.

三、解答题

17．已知复数，若；

(1)求z及；

(2)求实数a，b的值；

【答案】(1)，

(2)，

【分析】（1）根据复数的除法运算法则及模长公式计算即可；

（2）根据复数相等的条件待定系数即可.

【详解】（1），∴；

（2）∵，∴结合（1）有.

18．请从下列两个条件中任选一个，补充在下面已知条件中的横线上，并解答问题

①第2项与第3项的二项式系数之比是；②第2项与第3项的系数之比的绝对值为；

已知在的展开式中， ．

(1)求展开式中的常数项，并指出是第几项；

(2)求展开式中的所有有理项．

(3)求展开式中系数绝对值最大的项.

【答案】(1)常数项为60，第5项；

(2)

(3)

【分析】（1）先选条件可求出，再由二项式展开式通项求解即可；

（2）由展开通项，有理项即，求出r依次代入即可；

（3）假设系数绝对值最大，则它的系数的绝对值不小于前一项的系数的绝对值，并且不小于后一项的系数的绝对值，利用不等式组求解即可.

【详解】（1）选①，，则，∴，

则，

令，得，

即：为常数项,所以常数项为60，为第5项.

选②，，

，则，

即，∴，

，

令，得

即：为常数项,所以常数项为60，为第5项.

（2）由（1）知，，

，则，2，4，6，

,，,，

,，,，

故有理项为.

（3）假设系数绝对值最大，

则，

解得：，又，∴，

∴.

19．在安全常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关安全常识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．设每人回答问题正确与否相互独立的．

(1)求乙，丙各自答对这道题的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中，至少有两人答对这道题的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式，结合对立事件的概率公式求解即可；

（2）分两种情况，甲、乙、丙三人中，有两个人答对一个人答错以及三个人都答对，分别求出概率相加即可.

【详解】（1）设A＝“甲答对,”B＝“乙答对”，C＝“乙答对”

∵，∴，

又∵，

∴，∴，

又∵，

∴

（2）甲、乙、丙三人中，至少有两人答对这道题，分两种情况：

甲、乙、丙三人中，有两个人答对一个人答错，概率为；

三个人都答对，概率为，

所以，甲、乙、丙三人中，至少有两人答对这道题的概率为：

.

20．某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为，三步篮投中的概率为，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次．

(1)求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率；

(2)求该同学的总得分X的分布列

【答案】(1)

(2)分布列见解析

【分析】（1）由独立事件的概率求解即可；

（2），1，2，3，4，求出概率，表示出分布列.

【详解】（1）用A表示“罚球位上余位投中”，B表示“三步篮投中”，C表示“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”，

，，.

（2），1，2，3，4.

，

，

，

，

.

则X的分布列为：

21．已知函数，其中e为自然对数的底数．

(1)若在处取到极值，求a的值及函数的最值；

(2)若有极值点，求a的取值范围．

(3)若当时，恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)，，无最大值

(2)

(3)．

【分析】（1）根据极值点先计算参数值，再利用导数求最值即可；

（2）根据函数有极值可得导函数有异号零点，求参数范围即可；

（3）法一、含参讨论求恒成立问题，法二，分离参数，利用导数研究其单调性和最值求参数范围.

【详解】（1）（1）由题知，，

∴．经检验满足，

∴，

当时，，即在上单调递减，

当时，，即在上单调递增，

∴，函数无最大值．

（2）由题知在有变号零点，

即在有解．即与在有交点，

∴；

（3）法一：由题意可知，在时恒成立，

∵，令，得，

当即，，∴在单调递增，

∴，

∴，

当即时，在上单调递减，在上单调递增，

∴，

∴，不符合题意，

综上，．

法二：由恒成立，，

当时，显然恒成立，∴，

当时，原式等价于恒成立，

令，即恒成立，

易得，

令，则在成立，

∴在上单调递增，

故，

∴，在上单调递增，

∴，

又，

∴．

22．已知函数（）．

(1)当时，试确定函数在其定义域内的单调性；

(2)求函数在上的最小值；

(3)试证明：（；）．

【答案】(1)单调递减区间，单调递增区间；

(2)答案见解析；

(3)证明见解析.

【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间作答.

（2）利用导数结合分类讨论思想，求出函数在上的最小值作答.

（3）利用（1）的结论可得，再赋值推理作答.

【详解】（1）当时，定义域为，求导得，

当时，，当时，，即在上递减，在递增，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2），，求导得，

当时，恒成立，即函数在上单调递减，

因此；

当时，由，得，

当，即时，，函数在上单调递减，

因此；

当，即时，由，得，由，得，

即函数在上单调递减，在上单调递增，

因此，

所以当时，，当时，.

（3）由（1）知，当时，在处取得最小值，

即，于是，

，令，则有，

因此，即，

所以．