2022-2023学年陕西省渭南市白水中学高二上学期第一次质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省渭南市白水中学高二上学期第一次质量检测数学试题

一、单选题

1．已知数列…，则是这个数列的（   ）

A．第六项 B．第七项 C．第八项 D．第九项

【答案】B

【详解】由数列前几项归纳可知通项公式为,

时,,为数列第七项，故选B.

【解析】数列通项公式

2．在数列中，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知确定数列是等比数列，由等比数列的通项公式得结论．

【详解】∵，∴，．是公比为的等比数列，

∴．

故选：B．

3．在中，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用余弦定理直接求解即可.

【详解】因为，

所以由余弦定理得，

因为，

所以，

故选：C

4．已知正项等比数列中，成等差数列，其前n项和为，若，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差等比数列的性质，列出相应的方程，求出，进而利用等比数列通项公式即可求解.

【详解】设等比数列的公比为q，．因为成等差数列，所以．又因为；，所以．所以．

故选B．

5．对于，有如下命题：①若，则为等腰三角形；②若，则为直角三角形；③若，则为钝角三角形．其中正确命题的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．③ D．②③

【答案】C

【分析】对于①，由可得为等腰三角形或直角三角形, 故错误；

对于②，取特殊角验证即可；

对于③，由可得，，即，再由余弦定理判断<0即可判断．

【详解】解:对于①，由可得或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误；

对于②，取，满足，但不是直角三角形，故错误；

对于③，由可得，，所以，

即，所以，所以，所以为钝角三角形，故正确.

故选：C.

6．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，…，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，则（    ）

A．189 B．252 C．324 D．405

【答案】D

【分析】利用等差数列的性质和求和公式直接求解即可

【详解】因为数列为等差数列，，

所以，

故选：D

7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（    ）

A．若，则为锐角三角形

B．若为锐角三角形，则

C．若，则为等腰三角形

D．若，则是等腰直角三角形

【答案】B

【分析】利用余弦定理、诱导公式、三角函数、三角恒等变换的知识进行判断.

【详解】对于A，若，则，则B为锐角，

不能判定为锐角三角形，故A错误；

对于B，若为锐角三角形，则，且，

所以，故B正确；

对于C，若，则，所以，

所以或，即或，不一定是等腰三角形，故C错误；

对于D，若，则，即，即，

因为A，B是三角形的内角，所以A-B=0，即A=B. 是等腰三角形，故D错误.

故选：B.

8．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.

【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，

依题意可得，，

，

，解得，

.

故选:A.

【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.

9．在中，内角的对边分别为，且，则的形状为（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】B

【分析】根据已知条件，利用正弦定理进行边角转化，整理化简即可得到，从而确定三角形形状.

【详解】由已知，在中，，由正弦定理可知，，

所以,

整理得，，

即，

所以或（舍去）.

所以为等腰三角形.

故选：B.

10．已知是面积为的等边三角形，点在线段的延长线上，若，则（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】C

【分析】先利用三角形的面积公式求出的边长，再利用正弦定理进行求解.

【详解】设的边长为，

则，解得，

在中，，，，

由正弦定理得，

即，解得．

故选：C.

11．若数列满足且，则使()成立的值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由递推式得出是等差数列，求出的通项公式，代入不等式可得结果.

【详解】由得，

∴是等差数列，∴，

得，，

解得，又，则，

故选：D．

12．在中，内角所对的边分别为a、b、c，给出下列四个结论：①若，则；②等式一定成立；③；④若，且，则为等边三角形；以上结论正确的个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】①在三角形中“大角对大边”，可以得到，再根据正弦定理化简，进一步可以得到答案；

②在三角形中利用化简，利用正弦定理轻松可以得到答案；

③利用正弦定理化简得带入化简，就可以得到答案；

④根据表示， 再根据可以得到°,进一步得到答案.

【详解】①∵，∴，

又∵

∴

∴

故①成立；

②∵

∴

∴

∴；

故②成立；

③∵

∴

∴

∴ ；

故③成立；

④∵表示为边的单位向量， 表示为边的单位向量，

∴所以（）.表示，

又∵，

∴°

所以为等边三角形

故④成立.

故选：D.

【点睛】本题考查正弦定理在三角形中的应用，以及利用向量来解三角形的相关知识点，命题体现了数学基本运算的核心素养，属于比较常见的题型.

二、填空题

13．已知函数的图像过点，令，．记数列的前n项和为，则__________．

【答案】

【分析】由题待定系数得，进而得，再求和即可.

【详解】解：由函数的图像过点得：，解得，

所以，；

所以，，

所以．

故答案为：

14．在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c．若的面积为，则__________．

【答案】

【分析】由三角形面积公式求得，再由余弦定理求得，最后由正弦定理计算可得．

【详解】解：，，的面积为，，解得，

由余弦定理得，，则，

由正弦定理，即，解得.

故答案为：.

15．已知数列的各项均为正数，其前项和为，，，则_________．

【答案】

【分析】先由求出，再由，可求出，则，从而可得，变形可得数列为等比数列，从而可求得结果.

【详解】当时，，，

当时，，

，解得或（舍），

，

当时，，

即， ，

，

．

故答案为：

16．如图，一辆汽车以每秒20米的速度在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北15°的方向上，行驶到达处时，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，已知山的高度米，则汽车从到行驶了______小时.

【答案】0.1

【分析】在中，求出，再在中，利用正弦定理求解即可.

【详解】由题意可知，

，，，

，,

在中，，

，

在中，由正弦定理可得，

解得

（米），

又汽车以每秒20米的速度行驶，即千米/小时行驶，

则汽车行驶的时间（小时），

故答案为：0.1

三、解答题

17．在中，内角的对边分别为，且.

(1)求；

(2)若，的面积为，求，.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）利用正弦定理角化边可配凑出余弦定理的形式，求得，由此可得；

（2）利用三角形面积公式和（1）中等式可构造不等式组求得的值.

【详解】（1）由正弦定理得：，即，，

，.

（2），；

由（1）知：，；

由得：.

18．已知在等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式：

（2）设，求数列的前n项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设等差数列的公差为，根据，列出和的方程组，进而求出和，即可求出的通项公式；

（2）由（1）可知，根据裂项相消法即可求出结果.

【详解】设等差数列的公差为，

由，可得

解得，

所以等差数列的通项公式可得;

（2） 由（1）可得，

所以.

【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式的求法，以及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题.

19．在数列中，，当时，其前n项和满足．

(1)求证：是等差数列；

(2)设，求的前n项和．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）利用可将已知等式整理为，结合可证得结论；

（2）由（1）得到，进而求得，再采用裂项相消法求得结果.

【详解】（1）证明：∵当时，，

，即：

，又

数列是以为首项，为公差的等差数列

（2）解：由（1）知：

∴

20．如图，在中，点在边上，，，.

（1）求边的长；

（2）若的面积是，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）在中，利用余弦定理以及题中条件可解得，可得是等边三角形，进而得到边的长；

（2）由已知可求得，利用三角形面积公式可求得，再在中，由余弦定理求出，最后由正弦定理可求的值.

【详解】（1）在中，因为，，，

由余弦定理得，即，

解得，而，，

可知是等边三角形，因而.

（2）由是等边三角形，知，则.

而的面积，得.

在中，由余弦定理，，

得.

在中，由正弦定理：，

可得.

21．已知各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项．

(1)求数列，的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用基本量代换列方程组求出的通项公式，进而求出的首项和公比，即可求出的通项公式；

（2）利用分组求和法直接求和.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，

则由已知得：，即，

又，

解得或（舍去），所以.

，

又，，

，；

（2），

.

22．在锐角中，角所对的边分别是a，b，c，.

（1）求角A的大小；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由已知得，利用同角三角函数基本关系式可求，结合的范围可求的值．

（2）利用三角函数恒等变换的应用可求，由题意可求范围，进而利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．

【详解】解：（1）∵，结合余弦定理，可得：

，∴，∴

又∵，∴

（2）因为，，所以，所以，

所以

∵是锐角三角形，所以，解得

∴,

∴

∴,

∴

综上，的取值范围是

【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.