2022-2023学年陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学高二下学期5月质量检测数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学高二下学期5月质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．已知点的极坐标为，则点的直角坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接由极坐标和直角坐标的转化求解即可.

【详解】由，可得点的直角坐标为.

故选：A.

2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是（    ）

A．s≥t B．s>t

C．s≤t D．s<t

【答案】A

【解析】由做差，然后对差式进行配方可得结果.

【详解】

故选：A.

【点睛】本题主要考查做差法比较大小，关键是对做差以后的式子进行化简.

3．不等式的解集是（　　）

A．或 B．或

C．或 D．

【答案】C

【分析】根据绝对值不等式的解法，直接求解即可．

【详解】因为，

所以或，

解得或，

所以不等式的解集是或，

故选：C．

4．设，且，则必有

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由 且可得；

由且可得

【详解】（1）

（当且仅当时等号成立）

又且 则得

（2）

（当且仅当时等号成立）

又且 则得

综上

故选：B

【点睛】本题考查利用基本不等式的变形比较不等式大小.

熟记几个重要的不等式，可快速判断.

, , ,

 ,(以上不等式当且仅当 时等号成立)

5．若实数，则的最小值为（   ）

A．1 B．6 C．11 D．

【答案】D

【分析】利用柯西不等式进行判断即可．

【详解】解：

，

，当且仅当时等号成立，

的最小值；

故选：D.

6．不等式的解集为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分三种情况讨论：，以及，去绝对值，解出各段不等式，即可得出所求不等式的解集.

【详解】当时，成立，此时；

当时，，解得，此时；

当时，，原不等式不成立.

综上所述，不等式的解集为，故选B.

【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，常用零点分段法，利用取绝对值进行分段讨论，进而求解不等式，也可以采用绝对值的几何意义来进行求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.

7．已知点的极坐标是，则过点且垂直极轴的直线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】把极坐标化为直角坐标，求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程．

【详解】的直角坐标是，∴过且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为，

其极坐标方程为，即．

故选：C．

【点睛】本题考查求直线的极坐标方程，解题时利用极坐标与直角坐标的互化求解．

8．直线与圆的位置关系是（    ）．

A．相交但不过圆心 B．相交且过圆心 C．相切 D．相离

【答案】C

【分析】直线化为直角坐标方程，圆化为直角坐标方程，求出圆心到直线距离，与半径比较即可得结论.

【详解】解：直线可化成,

 所以，,即，

圆可化成,即，

所以，圆心到直线的距离，

所以圆与直线相切．

故选：．

9．已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用绝对值三角不等式可求得最小值，由此可得的范围.

【详解】（当且仅当时取等号），，

若在上恒成立，则，即的取值范围为.

故选：A.

10．设曲线的参数方程为，直线的方程，则曲线上到直线的距离为的点的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】将圆C化为普通方程，计算圆心到直线l的距离，通过比较所求距离与的关系即可得到满足条件的点的个数．

【详解】化曲线C的参数方程为普通方程：，

圆心到直线的距离，

所以直线和圆相交，过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，

与l平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意，

故选C

【点睛】解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．

11．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.当与有两个公共点时，实数的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求得曲线的普通方程、曲线的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得的取值范围.

【详解】，，两边平方相加得，

所以表示圆心为，半径为的圆的下半部分.

，，

，即，

依题意，与有两个公共点，

所以，，

两边平方得，

解得，

结合图象可知.

故选：D

12．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为（    ）

A． B．12 C． D．3

【答案】A

【分析】建立平面直角坐标系，设出，分别表达出和，即可计算出的最大值

【详解】解：由题意

建立平面直角坐标系如下图所示：

则，，，

∵圆（后轮）的半径为

∴圆

设

∴，

∴

当即，时最大，

∴最大值为

故选：A.

二、填空题

13．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的离心率为       .

【答案】/0.6

【分析】根据给定的参数方程求出椭圆的长短半轴长，再利用离心率公式计算作答.

【详解】依题意，椭圆的长半轴长，短半轴长，则该椭圆半焦距，

所以该椭圆的离心率.

故答案为：

14．若，，，则的大小关系是        ．

【答案】/

【分析】应用分析法及不等式的性质判断的大小关系.

【详解】要证，需证，

平方后化简得，即证

即证，即证，显然成立，

所以.

故答案为：

15．不等式的解集为          ．

【答案】

【分析】分，，三种情况讨论，即可求出结果．

【详解】当时，原不等式可化为，解得，所以；

当时，原不等式可化为，解得，所以；

当时，原不等式可化为，显然不成立；

综上，原不等式的解集为．

故答案为：．

16．如图，正三棱锥中，，，两两互相垂直，，设点是内一点，现定义，其中，，分别是三棱锥，，的体积，若，则的最小值为          .

【答案】

【详解】由题中定义可得，三棱锥的体积为，

且：，

据此有：，即，

则：，

当且仅当时等号成立.

综上可得的最小值为.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

三、解答题

17．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程

（2）求曲线与交点的极坐标（）

【答案】（1）  （2），.

【分析】（1）利用 对原方程进行化简，即可求出结果；

（2）联立，的直角坐标方程解得交点的直角坐标，在将直角坐标化为极坐标即可.

【详解】（1）的极坐标方程为：.

（2）的直角坐标方程为：.

联立，的直角坐标方程解得交点的直角坐标为和，

化为极坐标为，.

【点睛】本题主要考查了直角坐标和极坐标的转换，属于基础题.

18．已知函数

(1)求不等式的解集；

(2)若的最大值为，且正数，满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）分类讨论去掉绝对值号求解；

（2）根据绝对值不等式求出的最大值，利用均值不等式求解即可.

【详解】（1）当时，不等式转化为，恒成立．

当时，不等式转化为，解得．

当时，不等式转化为，无解．

综上所述，不等式的解集为．

（2）由，当且仅当时等号成立，

得．

，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为3．

19．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．

(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

(2)若，直线与曲线交于两点，是线段的中点，求的值．

【答案】(1)曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为；

(2).

【分析】（1）根据可得曲线的直角坐标方程，根据可得直线的普通方程；

（2）写出直线的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，根据参数的几何意义及韦达定理求解.

【详解】（1）由（为参数），得，即，

则曲线的直角坐标方程为．

由，得，

则直线的普通方程为．

（2）由题意可得直线的参数方程为（为参数）．

将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理得．

设A，B，M对应的参数分别为，，，则，，

从而，

故．

20．设函数．

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ），去掉绝对值符号，然后求解不等式即可．

（Ⅱ）依题意，问题等价于关于的不等式恒成立，，利用绝对值的几何意义转化求解即可．

【详解】（Ⅰ），

可转化为或或，

解得或或无解，

所以不等式的解集为．

（Ⅱ）依题意，问题等价于关于的不等式恒成立，

即，

又，当时取等号．

所以，解得或，

所以实数的取值范围是．

【点睛】解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图像法（或几何法）、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法（或几何法）求解时注意图像的正确刻画．

21．在平面直角坐标系中，圆的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）在圆上取两点，使得，点与直角坐标原点构成，求面积的最大值．

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离等于半径得到答案.

（Ⅱ）将圆方程化为极坐标方程，，，，计算得到答案.

【详解】（Ⅰ）由得，化为直角坐标方程为，

又圆C是圆心为，半径为r的圆，直线与曲线C相切，

可得：．

（Ⅱ）由（Ⅰ）圆C的极坐标方程为，

不妨设，，

则

，

当时，，

所以面积的最大值为．

【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，面积的最大值，利用极坐标方程可以简化运算.

22．已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）利用将所证不等式可变为证明：，利用基本不等式可证得，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可将式转化为，在取等条件一致的情况下，可得结论.

【详解】（1）    

当且仅当时取等号

，即：

（2），当且仅当时取等号

又，，（当且仅当时等号同时成立）

又    

【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.