2022-2023学年陕西省渭南市三贤中学高二下学期期中数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省渭南市三贤中学高二下学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．已知是虚数单位，则的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数除法的运算法则和虚部的概念求解即可.

【详解】由题意得，，虚部为.

故选：C

2．用反证法证明“自然数中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是（    ）．

A．假设都是奇数或至少有两个偶数 B．假设都是偶数

C．假设至少有两个偶数 D．假设都是奇数

【答案】D

【分析】根据反证法的基本概念求解即可.

【详解】若用反证法证明“自然数中至少有一个偶数”，

则假设为“假设都是奇数”.

故选：D

3．已知函数 的导函数为，且满足，则 （   ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】求得函数的导数，令，即可求解.

【详解】由，可得，所以 ，则 .

故选：B.

4．已知函数的导函数的图象如图，则（    ）

A．函数有个极大值点，个极小值点

B．函数有个极大值点，个极小值点

C．函数有个极大值点，个极小值点

D．函数有个极大值点，个极小值点．

【答案】B

【分析】根据导函数值的正负判断原函数的单调性，再根据单调性的改变判断极值点.由单调递增变为单调递减为极大值，单调递减变为单调递增为极小值.

【详解】由的图象可知，

当时，，所以单调递增，

当时，，所以单调递减，

当时，，所以单调递增，

所以在为极大值，在时为极小值.

故选：B.

5．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由导数法求出切线方程，再求出截距，即可求所围三角形面积.

【详解】，在点处的切线为，截距分别为，故切线与坐标轴所围三角形的面积为.

故选：D

6．下列等于1的积分是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用微积分基本定理依次计算每个选项的定积分，得到答案.

【详解】对选项A：，不满足；

对选项B：，不满足；

对选项C：，满足；

对选项D：，不满足.

故选：C.

7．设，那么等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据的表达式得，即可相减求解.

【详解】由题意可得,

所以，

故选：D

8．物体运动的方程为，则时的瞬时速度为（    ）

A．5 B．25 C．125 D．625

【答案】C

【分析】根据导数实际意义与导数运算法则求解即可.

【详解】物体运动的方程为，则，

代入，得时的瞬时速度为.

故选：C

9．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用导数研究函数的单调区间即可.

【详解】由，故时，时，

所以时递减，时递增，

综上，的递增区间为.

故选：C

10．函数的图象在处的切线方程是，则等于（    ）

A．10 B．8 C．3 D．2

【答案】D

【分析】根据切线方程可求的值.

【详解】因为函数的图象在处的切线方程是，所以 ，，所以，

故选：D.

11．函数的图象大致是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的解析式，根据定义在上的奇函数图像关于原点对称可以排除，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果

【详解】当时，

故函数图像过原点，排除

又，令

则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除

故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化

结合四个选项，只有符合要求

故选

【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证．

12．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b， 若 a<b，则必有

A．af(a)≤f(b) B．bf(b)≥af(a)

C．af(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b)

【答案】C

【详解】令,则，所以在(0，＋∞)上为减函数，

又正数a，b，满足a<b，所以，即bf(b) <af(a)，

因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，所以.

所以，即.

当时，，所以.

综上：.

故选C.

二、填空题

13．曲线，绕x轴旋转所得的旋转体体积是       ．

【答案】

【分析】根据积分的几何意义得出曲线与围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体体积.

【详解】由题意可得曲线，绕x轴旋转所得的旋转体体积为

，

故答案为：

14．观察下列不等式

，

……

照此规律，第五个不等式为

【答案】：

【详解】试题分析：照此规律，第个式子为，第五个为．

【解析】归纳推理．

【名师点睛】归纳推理的定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．是由部分到整体、由个别到一般的推理．

15．曲线在处的切线的斜率       ．

【答案】

【分析】根据导数的概念以及复合函数的导数计算法则求解即可.

【详解】由求导得，

代入，得.

故答案为：

16．函数在处取得极值10，则           .

【答案】

【分析】由在处取得极值10，求得解得或，再结合函数的极值的概念进行检验，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

因为在处取得极值10，可得，

解得或，

检验知，当时，可得，

此时函数单调递增，函数为极值点，不符合题意，（舍去）；

当时，可得，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减，

当时，函数取得极小值，符合题意.

所以.

故答案为：.

【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：

1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；

2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；

3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.

三、解答题

17．有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人．

(1)如果每人得两本，则有多少种不同的分法？

(2)如果一个人得1本，一个人得2本，一个人得3本，则有多少种不同的分法？

(3)如果把这6本书分成三堆，每堆两本，则有多少种不同分法？

【答案】(1)90

(2)360

(3)15

【分析】（1）根据平均分配的方法直接求解；

（2）根据不平均分配的方法直接求解；

（3）根据平均分组的方法直接求解.

【详解】（1）有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人，

如果每人得两本，即每人依次拿两本，则共有种方案

（2）有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人，

如果一个人得1本，一个人得2本，一个人得3本，则共有种方案

（3）有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人，

如果把这6本书分成三堆，每堆两本，则共有种方案

18．已知曲线方程

(1)求以点为切点的切线方程；

(2)求过点与曲线相切的直线方程．

【答案】(1)

(2)和

【分析】（1）根据函数求导得到以点为切点的切线方程的斜率进而求解；

（2）设出切点，将代入切线方程求解切点进而求解答案.

【详解】（1）由求导得，

则，所以以点为切点的切线方程是

（2）设切点坐标为，

则切线方程为，即，

代入，则，即，

解得或，

当时，所求直线方程为；

当时，切点，斜率为，所求直线方程为.

所以过点与曲线相切的直线方程为和

19．设函数的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点（1，－11）．

(1)求a、b的值．

(2)讨论函数f（x）的单调性．

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；

（2）根据函数导函数与单调性的关系进行求解即可.

【详解】（1）由，

因为函数的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点（1，－11），

所以有，解得；

（2）由（1）可知，所以，

当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增，

所以当时，单调递增；当时，单调递减；

当时，单调递增.

【点睛】关键点睛：根据函数导函数的正负性判断函数的单调性是解题的关键.

20．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

【答案】(1)单调递减区间为，；单调递增区间为．

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，解出函数的零点，由导函数的零点对函数的定义域分段，判断导函数在各区间段内的符号，从而得出原函数的单调区间；

（2）由（1）求出的函数的单调区间，分析函数在区间,上的单调性，从而求出函数在区间,上的最大值，即可求解，进而可求解最小值.

【详解】（1）由，得：．

令，即．解得：或．

再令，即．解得．

所以该函数的单调递减区间为，；

单调递增区间为．

（2）令，得到或（舍．

由（1）知该函数在,上递减，在,上递增，

所以最大值为，

所以．

故最小值为，

所以函数的最小值为．

21．已知函数

（1）求函数在上的最大值和最小值；

（2）求证：当时，函数的图象在的下方．

【答案】（1）的最小值是，最大值是；（2）证明详见解析.

【详解】试题分析：（1）先求导数，确定导函数恒大于零，即得函数单调递增，最后根据单调性确定最值，（2）先作差函数，利用导数研究函数单调性，再根据单调性去掉函数最值，根据最大值小于零得证结论.

试题解析：(1)因为f(x)＝x2＋ln x，所以

因为x>1时，f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函数，

所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.

(2)证明：令，

所以

因为x>1，所以F′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上是减函数，

所以.所以f(x)<g(x)．

所以当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在的下方．