2021-2022学年陕西省渭南市尚德中学高二下学期第一次教学质量检测数学（理）试题含答案

尚德中学2021—2022学年度下学期高二年级第一次教学质量检测

数学（理）试题

（考试时间：150分钟  试卷满分：150分）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.复数的虚部是                                                  （   ）

A. B. C. D.

2．设函数在处存在导数为2，则              （   ）

A． B．6 C． D．

3．用反证法证明命题：“若，则函数至少有一个零点”时，要作的假设是                                                             （    ）

A．函数至多有一个零点   B．函数没有零点

C．函数至多有两个零点   D．函数恰好有一个零点

4．下列求导运算正确的是                                           （    ）

A． B．

C． D．

5．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式

                                                                 　(　　)

A．      B．      C．    D．

           (　　)                                 

A．0            B．﹣2             C．﹣3           D．3 

7．.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，则f(x)的图像可能是         (　　)

A                B            C                 D

8.设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为                                                           (　　)

A．    B．   C．   D．

9.函数的图象在的点处的切线方程是，则等于(    ) 

A．10              B．8             C．3              D．2

10．若点P是曲线上任意一点，则P到直线的距离的最小值为（  ）

A．1     B．     C．      D．

11.已知在R上是增加的，则的取值范围是         (　　)

A.            B.           C. 或   D. 或

12．已知定义在上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为                                     （    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷 （非选择题90分）

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是_______________.

14．已知f (x)＝lnx-x2，则的单调增区间________.

15．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）.今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：

甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；

丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖.

游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是_____．

16．曲线与直线相切，则______．

三、解答题（共6小题，共70分）

17. （本小题满分10分）求下列函数的导数：

（1）

（2）

18.（本小题满分10分）证明：  

19.（本小题12分）当实数m为何值时，
（1）为纯虚数；    
（2）为实数；
（3）对应的点在复平面内的第二象限内．
 

20．（本小题12分）在数列中，

（1）求出，并猜想的通项公式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想.

21.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.

（1）求f(x)的单调区间；

（2）若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

22．(本小题满分14分)已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

数学答案（理科）

一．选择题（每小题5分，共60分）

二．填空题（每小题5分，共20分）

13.   5米/秒                 14.  15 .甲　       16. 1

三．解答题（5小题，共70分）

（17）（10分）

（1）

（2）

（18）（10分）证明：课本P10.

19.（12分）

解：由，解得，当时，复数z为纯虚数；
由，得或，当或时，复数z为实数；
由，解得，当时，复数z对应的点在第二象限内．

20．(12分)

解：(1) ∵∴

∴ 猜想: ；

(2)证明：①当时，左边＝，右边＝，等式成立；

　　　  　②假设时，等式成立，即，

　　　　则当时，，

即当时，等式也成立；

综上所述，对任意自然数，.

21.（12分）

解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9，令f′(x)<0，解得x<－1或x>3，

∴函数f(x)的单调减区是为(－∞，－1)，(3，＋∞)．

令f′(x)>0，解得－1<x<3.

∴函数f(x)的单调递增区间为(－1,3)．

(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

∴f(2)>f(－2)，

∵f(x)在(－1,3)上f′(x)>0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增，

又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，

∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－1,2]上的最大值和最小值，

∴22＋a＝20，则得a＝－2.

f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.

21.（14分）

解：(1)当时，，则.

当时，；当时，.

所以在单调递减，在单调递增.

(2).

当时，，所以在单调递增，故至多存在1个零点，不合题意.

当时，由可得，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故当时，取得量小值，最小值为.

若，则，在至多存在1个零点，不合题意.

若，则.

由于，所以在存在唯一零点.

由(1)知，当时，，所以当且时，

.

故在存在唯一零点.从而在有两个零点.

综上，的取值范围是.