2022-2023学年陕西省西安市第三中学高二下学期第二次月测评数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市第三中学高二下学期第二次月测评数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算，，再计算交集得到答案.

【详解】，，

故.

故选：B

2．设，向量．则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】分别先化简“”和“，再根据充分必要条件的判断方法判断即可.

【详解】若，则，所以；

若，则，所以；

所以，而，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

3．已知命题，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.

【详解】命题，则为.

故选：C

4．随机变量X的分布列如下：

则的最大值是：（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据分布列即可求得，结合分布的方差，利用均值不等式即可求得.

【详解】由分布列可知：，又因为，

故可得.

故选：A.

【点睛】本题考查分布的方差计算，以及利用均值不等式求乘积的最大值.

5．设命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，若为真，则实数的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据椭圆定义求出命题为真时的范围，根据双曲线定义求出命题为真时的范围，再根据命题和命题均为真求解即可.

【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆，则，

解得，

即命题为真时，；

方程表示焦点在轴上的双曲线，则，

解得，

即命题为真时，；

若为真，则命题和命题均为真，

，

故选：A.

6．某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响．设随机变量X为该射手在n次射击中击中目标的次数，若，则P的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意结合二项分布的期望和方差公式运算求解.

【详解】由题意可得：，

则，解得.

故选：C.

7．已知，若，则的值为

A． B．0 C．1 D．2

【答案】A

【分析】先根据定积分的几何意义求得的值，再分别令和，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，定积分表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，

则，所以，

令可得，即，

令，可得，

即，故选A.

【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及定积分的应用，其中解答合理赋值求解二项展开式的系数问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

8．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中偶数的个数为

A．7200 B．2880 C．120 D．60

【答案】B

【分析】分两步完成：第一步，计算出选数字的不同情况种数，第二步，计算出末尾是偶数的排法种数，再利用分步计算原理即可求解．

【详解】从1，3，5，7，9中任取3个数字再从2，4，6，8中任取2个数字，有种选法，

再将选出的5个数字排成五位偶数有种排法，

所以组成没有重复数字的五位偶数有个.

故选B

【点睛】本题主要考查了排列与组合的简单应用等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，分类讨论思想，属于中档题．

9．3个老师和5个同学照相，老师不能坐在最左端，任何两位老师不能相邻，则不同的坐法种数是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】先排学生,有种方法,再排教师,在学生之间去掉最左端的5个间隔中选3个排列,有种方法,故共有种排法,选C.

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

二、多选题

10．已知函数，则（    ）

A．在上单调递增 B．在上的最大值为

C．在上单调递减 D．的图像关于直线对称

【答案】BD

【分析】为复合函数，结合二次函数及定义域判断单调性|.

【详解】，定义域为，

令，则，

二次函数的图像的对称轴为x=4，

∴的图像关于直线x=4对称，且在(2，4)上递增，在(4，6)上递减,

当x=4时，,

故选：BD.

三、单选题

11．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.

详解：因为是定义域为的奇函数，且，

所以,

因此，

因为，所以，

，从而，选C.

点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

12．已知函数，若函数恰有5个零点，且，，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将看成整体解出或，作出的大致图象，将式子化为，然后转化为的范围进行分类讨论即可判断.

【详解】当时，，此时，，

令，解得：，令，解得：，

可得在上单调递减且恒负，在上单调递增且恒负，且，

当时，，作出的大致图象如图所示，

函数恰有5个零点，

等价于方程有5个不同的实数根，

解得：或，，该方程有5个根，

且，则，，

当时，，

，故，

所以

；

当时，，

，故，

所以

，

综上：的取值范围是：.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是对的理解，将看成一个，解出其值，然后通过图象分析，转化为直线与图象的交点情况.

四、填空题

13．把20个相同的小球放到三个编号为1､2､3的盒子里，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有          种放法．

【答案】

【分析】根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的14个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案．

【详解】解：根据题意，20个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，

先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，

则原问题可以转化为将剩下的14个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，

将剩下的14个球排成一排，有13个空位，在13个空位中任选2个，插入挡板，有种不同的放法，

即有个不同的符合题意的放法；

故答案为：．

14．某地区高二理科学生有28000名，在一次模拟考试中，数学成绩服从正态分布，已知，则本次考试中数学成绩在120分以上的大约有      人

【答案】

【分析】根据题意，利用正态分布曲线的对称性，求得，再求出120分以上的人数即可.

【详解】由模拟考试中，数学成绩服从正态分布，且，

根据正态分布曲线的对称性，可得，

所以本次考试中数学成绩在120分以上的大约有人.

故答案为：.

15．老师布置了两道数学题，学生做对第一题的概率是，做对第二题的概率是，两题都做对的概率是，现在抽查一个学生，该生在第一题做对的前提下，第二题做对的概率是      .

【答案】

【分析】利用条件概率公式结合题意直接求解即可.

【详解】记事件为“学生做对第一题”，事件为“学生做对第二题”，则

，

所以，

即该生在第一题做对的前提下，第二题做对的概率是，

故答案为：

16．若，，，，使则实数a的取值范围是        ．

【答案】

【分析】原问题等价于g(x)的值域是f(x)值域的子集，据此即可求解﹒

【详解】原问题等价于函数的值域是函数值域的子集．

在上，二次函数的值域是，

单调递增的一次函数的值域是，

则，

则且，解得．

故答案为：．

五、解答题

17．已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞)．

（1）当a＝时，求函数f（x）的最小值；

（2）若对任意x∈[1，＋∞)，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）(－3，＋∞).

【分析】（1），利用作差法判断[1，＋∞)上的单调性，即可求得；

（2）f（x）＞0恒成立，等价于f（x）的最小值大于零，令y＝x2＋2x＋a，求y的最小值即可.

【详解】（1）当a＝时，，

设1≤x1＜x2，则，

∵1≤x1＜x2，

∴2x1x2＞2，2x1x2-1>0，>0，

∴，

∴f（x）在区间[1，＋∞)上为增函数，

∴f（x）在区间[1，＋∞)上的最小值为f（1）＝，

（2）在区间[1，＋∞)上f（x）＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立，

设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数，

∴当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，

于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，

故a＞－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞)．

【点晴】（1）判断函数单调性的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）四则运算法；（4）复合函数法；（5）导数法；此题也可以利用对勾函数的图像解决；

（2）恒成立等价于.

18．设a∈R，函数；

(1)求a的值，使得f（x）为奇函数；

(2)若对任意x∈R成立，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由奇函数性质可得a的值，然后验证奇偶性可得；

（2）将恒成立问题转化为函数最值问题，通过分类讨论可解.

【详解】（1）因为为奇函数，所以，可得

因为，

所以时为奇函数，所以

（2）

当时， 恒成立，

，，

当时， 恒成立，所以

当时， 恒成立，，显然不满足题意.

综上所述，

19．已知（且，）

(1)设，求中含项的系数；

(2)化简：；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出的通项，则中含项的系数为，由组合数的性质求解即可.

（2），两边求导得：，令结合所求式的通项即可得出答案.

【详解】（1）由题意知，，

因为的通项为

因为中含项的系数为：

.

（2）,

两边求导得：，令得到，

又且所求式子的通项为，

所以.

20．最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为．

(1)证明：；

(2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．

【答案】(1)证明见解析；

(2)应该投资，理由见解析

【分析】（1）由题意，，，列出分布列，列出，乘公比错位相减法求和，分析可证明；

（2）由（1）可得，分析即得解

【详解】（1）由题意，

故

分布列如下：

所以的数学期望，

记，

，

作差可得，，

则；

（2）由（1）可知，则试验成本的期望小于元，

试验成功则获利元，且，则该公司应该投资该产品

21．地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；

(3)转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得等级的人数不少于2人的概率.

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，数学期望为；

(3).

【分析】（1）根据频率和为列方程计算求解；（2）由分层抽样判断得抽取的成绩在的三组人数为，根据超几何分布计算取对应的概率，从而写出分布列并计算期望；（3）根据频率分布直方图判断出成绩为A,B,C等级的频率分别为，可判断出从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B等级的人数服从二项分布，利用二项分布计算获得B等级的人数不少于2人的概率.

【详解】（1）由频率和为可得，

解得.

（2）由频率分布直方图可得，成绩在的三组人数比为，

根据分层抽样抽取的成绩在的三组人数为，

所以的可能取值为.

，，

，

所以的分布列为

（3）由题意，成绩为A,B,C等级的频率分别为，

设从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B等级的人数为，

则服从二项分布，

所以获得B等级的人数不少于2人的概率为

22．在某公司举行的一次真假游戏的有奖竞猜中，设置了“科技”和“生活”这两类试题，规定每位职工最多竞猜3次，每次竞猜的结果相互独立．猜中一道“科技”类试题得4分，猜中一道“生活”类试题得2分，两类试题猜不中的都得0分．将职工得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于4分就认为通过游戏的竞猜，立即停止竞猜，否则继续竞猜，直到竞猜完3次为止．竞猜的方案有以下两种：方案1：先猜一道“科技”类试题，然后再连猜两道“生活”类试题；

方案2：连猜三道“生活”类试题．

设职工甲猜中一道“科技”类试题的概率为0.5，猜中一道“生活”类试题的概率为0.6．

(1)你认为职工甲选择哪种方案通过竞猜的可能性大?并说明理由．

(2)职工甲选择哪一种方案所得平均分高?并说明理由．

【答案】（1）职工甲选择方案1通过竞猜的可能性大；（2）职工甲选择方案1通过竞猜的平均分高

【分析】(1)利用互斥概率加法公式及独立乘法公式计算出两种方案的概率，从而作出判断；

(2)分别计算出两种方案的期望值，从而作出判断.

【详解】猜中一道“科技”类试题记作事件A，猜错一道“科技”试题记作事件；

猜中一道“生活”类试题记作事件B，猜错一道“生活”试题记作事件；

则，，

（1）若职工甲选择方案1，通过竞猜的概率为：

.

若职工甲选择方案2，通过竞猜的概率为：

∵

∴职工甲选择方案1通过竞猜的可能性大.

(2) 职工甲选择方案1所得平均分高，理由如下：

若职工甲选择方案1，X的可能取值为：0,2,4，

则，

，

，

数学期望

若职工甲选择方案2，X的可能取值为：0,2,4，

，

数学期望

因为，

所以职工甲选择方案1所得平均分高.

【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.