2022-2023学年江西省寻乌中学高二下学期第二次阶段性测试（6月）数学试题含答案

2022-2023学年江西省寻乌中学高二下学期第二次阶段性测试（6月）数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.

【详解】直线可化为，

则斜率，又倾斜角，满足，

所以倾斜角为.

故选：D

2．已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（    ）

A．127 B．128 C．63 D．64

【答案】A

【分析】根据条件求出，然后可算出答案.

【详解】等比数列的前n项和为，，，

∴，解得，

则，

故选：A．

3．若等差数列满足，，则当的前项和最大时，的值为（   ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质可得，分析即得解

【详解】∵等差数列满足

∴等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数，

∴当的前项和最大时的值为8

故选：B

4．已知函数在单调递增，在单调递减，则函数在的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意可得，解得，再利用导数判断时单调递减；当单调递增，从而求出最值.

【详解】由，由已知可得，则

，，

当，单调递减，

当，单调递增，

则，，

，，

综上：.

故选：A

【点睛】本题考查了根据极值点求参数值、利用导数求函数的最值，属于基础题.

5．已知函数在区间（1，3）上有最大值，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求导，令，由函数在区间（1，3）上有最大值，则在区间（1，3）上有零点，则必需，解出即可得出.

【详解】解：.

令，

由韦达定理可得若函数有零点，则必有一个负零点和一个正零点，

又由函数在区间（1，3）上有最大值，

则在区间（1，3）上有零点，

由零点存在性定理可得，

解得.

∴实数a的取值范围是.

故选：A.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值，关键是零点存在性定理的应用，属于中档题.

6．对于实数，定义表示不超过的最大整数，已知正项数列满足：，，其中为数列前项和，则（    ）

A．20 B．19 C．18 D．17

【答案】C

【解析】由题意已知正数数列满足：，，利用已知数列的前项和求其得通项，再求出，利用不等式的性质简单放缩即可．

【详解】由题意已知正数数列满足：,

,

因为所以，，由于各项为正项，所以，

故：

，

令，则

又因为

所以,即,从而

故选:C.

7．已知椭圆的一个焦点为，椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】不妨设，设，表示出，，依题意可得有解，根据数量积的坐标表示得到方程在上有解，根据得到关于的不等式，解得即可.

【详解】解：依题意不妨设为椭圆的左焦点，则，

设，则，，，则，

若存在点使得，则存在点使得，

即在上有解，

即在上有解，

令，显然，，

所以，即且，

由，即，解得或，

由，即，解得或，

又，所以，即.

故选：B

8．已知函数f(x)＝kx2－ln x，若f(x)＞0在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出原函数的导函数，利用导数求得函数的最小值，由最小值大于0，可求出k的范围．

【详解】因为

所以，

当时，，函数在上为减函数，

又当时，，不满足在定义域内恒成立；

当时，由，解得，

当时，，当时，，

所以当时，函数为减函数，当时，函数为增函数．

=

＝

由，得，即

所以k的取值范围是，答案选D．

【点睛】本题考查恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，是中档题．

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）

A．函数既是偶函数又在区间上是增函数

B．函数的最小值为2

C．“”是“”的充要条件

D．

【答案】CD

【分析】根据函数的奇偶性，基本不等式，算术平方根的性质，取特值，即可得出结论.

【详解】当时，，当时，，

所以不是偶函数，选项错误；

令根据对勾函数的单调性可得，

在是增函数，的最小值为，

即的最小值为，选项错误；

，选项正确；

当时，成立，选项正确.

故选:CD.

【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到函数的性质、对勾函数、以及特称命题的判断，属于中档题.

10．已知直线和直线，则（    ）

A．始终过定点 B．若在x轴和y轴上的截距相等，则

C．若，则或2 D．若，则或

【答案】AC

【分析】结合直线所过定点的求法、直线的截距、直线平行和垂直等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】化为，

由且解得，

即直线恒过定点，故A正确；

若在x轴和y轴上截距相等，则过原点或其斜率为，则或，故B错误；

若，则解得或2，故C正确；

若，则先由解得或，

再检验当时重合，故D错误.

故选：AC

11．已知数列满足：函数的图象经过点，设数列的前n项和为，则下列命题中的真命题是（    ）

A．若是等差数列，则是等比数列

B．若是等比数列，则是等差数列

C．若是单增数列，则是单增数列

D．若是单增数列，则是单增数列

【答案】AB

【分析】根据等差数列，等比数列的定义可判断AB，利用特值可判断CD.

【详解】若为等差数列，则有，则有，

故为等比数列，所以A正确；

若为等比数列，因为，所以，

则有，则有，

则有，故为等差数列，所以B正确；

设，则有，可知单增，但不单增，故C错误；

设，则有，则为单增数列，但，所以是单增数列不成立，故D错误.

故选：AB.

12．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ）

A．的最小值为

B．椭圆的短轴长可能为2

C．椭圆的离心率的取值范围为

D．若，则椭圆的长轴长为

【答案】ACD

【解析】利用椭圆定义替换为后易得最小值，判断A；假设短轴长为2，得椭圆方程，确定点在椭圆外，判断B；由在椭圆内得，求出的范围，从而可得离心率的范围，判断C；由得点坐标，利用代入椭圆方程求得，判断D．

【详解】A.因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；

B．若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；

C．因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；

D．若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以，所以椭圆的长轴长为，故正确．

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程，本题还用到了两个知识点：

设椭圆方程为（，

（1）在椭圆内部，在椭圆上，在椭圆外部；

（2）求椭圆上点到椭圆内定点和一个焦点的距离之的最小值问题，一般把椭圆上运动到一个焦点的距离利用椭圆定义转化为到另一焦点的距离，然后易得最小值．

三、填空题

13．已知数列为等差数列，其前项和为，则           .

【答案】55

【分析】根据等差数列性质可求得，化简，即可求得答案.

【详解】由题意知数列为等差数列，设公差为d，，

则，即，

所以，

故答案为：55

14．若函数f(x)＝在x＝3处取得极值，则a＝        .

【答案】－3

【分析】先对函数求导，再解方程f′(3)＝0即得a的值，再检验即得解.

【详解】f′(x)＝，x∈R，

由题意f′(3)＝0，即－32＋2×3－a＝0，∴a＝－3.

检验知a＝－3符合题意．

故答案为－3

【点睛】(1)本题主要考查函数的极值的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)

是函数在存在极值的必要非充分条件，所以本题需要检验.

15．若圆与圆（）相内切，则         ．

【答案】1

【分析】由两圆相内切知圆心距等于半径差的绝对值，列方程求解即可.

【详解】解：圆的圆心为，半径为2；

圆的圆心为，半径为1．

所以两圆圆心间的距离为，

由两圆相内切得，解得：．

由于，所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系，属于基础题.

16．已知函数有三个零点，则实数m的取值范围是      ．

【答案】

【分析】求导得到导函数，构造，确定，排除的情况，确定函数的单调性，确定，，，根据零点存在定理得到答案.

【详解】，，，

设，，

当时，恒成立，即恒成立，单调递增，不满足；

故，即或，

当时，在上恒成立，

单调递增，不满足，故，

现证明时满足条件：

设方程的两个解为，，不妨取，，，

当和时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

，故，，

当趋近时，趋近，当趋近时，趋近，

故在和上分别有一个零点，满足条件.

综上所述：实数m的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据的大小分类讨论的取值范围是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要灵活掌握.

四、解答题

17．已知数列的前项和为，且满足

(1)求数列的通项公式；

(2)设 ，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：（Ⅰ）依题意，当时，，，

，再检验 时，是否适合，以确定是分是合，从而可得数列的通项公式；

（Ⅱ）由可得，分组求和即可．

试题解析：(1)当时，，，

当时，由得，

显然当时上式也适合，∴

(2)∵，

∴

.

18．如图，设在直三棱柱中，，，E，F依次为的中点．

(1)求异面直线、EF所成角的余弦值；

(2)求点到平面AEF的距离．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线夹角余弦作答.

（2）由（1）中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离作答.

【详解】（1）在直三棱柱中，，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，，

所以异面直线所成角的余弦值为．

（2）设平面AEF的一个法向量为，而，

则，令，得，又，

于是．

所以点到平面AEF的距离为．

19．已知在平面直角坐标系中，点，直线：.圆的半径为1，圆心在直线上.

（1）若直线与圆相切，求圆的标准方程；

（2）已知动点，满足，说明的轨迹是什么？若点同时在圆上，求圆心的横坐标的取值范围.

【答案】(1) 或（2）

【解析】(1）设圆心C为（a，2a-4)，利用直线与圆相切，求解a，得到圆心坐标，求出圆的方程.

(2)由，求出动点M的轨迹方程，说明轨迹，通过点M同时在圆C上，说明圆C与圆D有公共点，利用两个圆的位置关系，转化求解圆心C的横坐标a的取值范围即可．

【详解】（1）因为圆心C在直线l上，所以圆心C可设为(a，2a-4)，

由题意可得，即，

所以，

解得或，

所以圆心C的坐标为(3，2)或,

所以圆C的标准方程为或

(2) 由,得

化简得：，

即，

所以动点M的轨迹是以D (0，-1)为圆心，半径是2的圆，

若点M同时在圆C上，则圆C与圆D有公共点，

则，

即

整理得：

解得，

所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0，].

【点睛】关键点点睛：判断两圆位置关系式，只需求出两圆圆心的距离，比较与两圆半径的关系即可，本题根据两圆有公共点可得，解不等式即可求解,属于中档题.

20．设数列的首项，前项和为，且、、成等差数列，其中.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足：，其中，求数列的前项和及数列的最大项.

【答案】（1）；（2），的的最大项是．

【分析】(1)由题意结合递推关系可证得数列是首项为1，公比为2的等比数列，据此即可求得数列的通项公式.

（2）由题意可得，据此可得数列的前n项和为，由讨论数列的最大项即可.

【详解】(1)由、、成等差数列知，

当时，，所以，

当时，由得，

综上对任何,都有,又，

所以，

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，

所以．

（2）

∴

，

，

当时，，即；当时，也有，但；

当时，，，即.

所以数列的的最大项是．

【点睛】本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

21．已知点F1为椭圆1（a＞b＞0）的左焦点，在椭圆上，PF1⊥x轴.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线l：y＝kx+m与椭圆交于（1，2），B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）（2）是定值，定值为

【分析】（1）由PF1⊥x轴可得c＝1，即可得椭圆的左右焦点的坐标，由椭圆的定义求出a的值，由a，b，c的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；

（2）将直线l与椭圆的方程联立求出两根之积，由OA⊥OB，可得0，可得k，m的关系，求出原点到直线的距离的表达式，可得为定值.

【详解】（1）令焦距为2，依题意可得F1（﹣1，0），右焦点F2（1，0），

，所以，

所以椭圆方程为；    

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由整理可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，

.

所以y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝k2kmm2，

由，

得3m2＝2（k2+1），

所以原点O到直线l的距离为，为定值.

【点睛】本题主要考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题.

22．已知函数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若函数在上单调递增，求的取值范围．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）当时，求得切点的坐标和在该点的导数也即是切线的斜率，由此求得切线方程.（2）对函数求一阶导数后，再次求导得到二阶导数，对分成两类，通过研究二阶导数零点的分布，结合一阶导数恒为非负数，求得的取值范围.

【详解】（1）当时，. ，

所以，

则，

所以曲线在处的切线方程为．

（2）因为函数当时单调递增，所以当时，恒成立，

令则．

令，

则在上单调递增，

（i）当，即时，当时，由，

所以在上单调递增，则恒成立，

所以满足条件．

（ii）当，即时，在上存在一个零点，不妨设为，

当时，，当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增．

则，不合题意．

综上，的取值范围是．

【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数解恒成立问题，属于难题.