2022-2023学年陕西省渭南市蒲城中学高二下学期期中数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省渭南市蒲城中学高二下学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．已知i为虚数单位，复数z满足，则（    ）

A．1 B．3 C．2 D．4

【答案】C

【分析】通过计算可得，进而可得.

【详解】.

故选：C.

【点睛】本题考查复数乘除运算，以及复数的模，是基础题.

2．函数的导数为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据导数的运算法则和求导公式计算可得答案．

【详解】，答案为B

【点睛】本题考查了导数的计算，属于简单题.

3．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据定积分的计算方法，计算出定积分.

【详解】，

其中由于在区间上的图像关于原点对称，所以；而表示单位圆的上半部分，面积为.

所以.

故选：D

【点睛】本小题主要考查定积分的计算，属于基础题.

4．若复数，则的虚部是（    ）

A．－2 B．1 C．2 D．

【答案】C

【分析】根据复数的定义求解．

【详解】复数的虚部是2．

故选：C．

5．在复平面内，若复数z对应的点为，则（    ）

A．2 B．2i C． D．

【答案】D

【分析】由复数的几何意义可得复数，利用复数的乘法可求得结果.

【详解】由复数的几何意义可知，

故.

故选：D.

6．设集合，，从集合中随机地取出一个元素，则的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用直线与抛物线的方程作出集合描述的图像，结合定积法与几何概型即可得解.

【详解】如图，集合是正方形内部（含边界），个顶点是，

则，的直线方程为，

集合是抛物线下方的点（含边界），抛物线与正方形的交点为，

，

所以正方形内部且在抛物线下方区域的面积为，

故所求概率为．

故选：B.

7．已知，，，…，，，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据基本初等函数的导函数分析可得，，进而可得结果.

【详解】因为，，，

可得：，

即，，

所以.

故选：A.

8．为虚数单位，复数（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】根据复数的乘法运算,展开化简即可求解.

【详解】由复数的乘法运算可得

故选:B

【点睛】本题考查了复数的乘法与加法运算,属于基础题.

9．已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】结合充分、必要条件定义及极值点的概念即可可判断.

【详解】只有当在上有两个变号零点时，在上才有两个极值点，故充分性不成立；若在上有两个极值点，则在上有两个变号零点，则在上至少有两个零点，故必要性不成立.综上，“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，

故选：D.

10．观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】观察九宫格中的图形变化规律，发现图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据些规律得到正确的答案．

【详解】观察已知的8个图象，

每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，

根据这些规律观察四个答案，

发现B符合要求．

故选B．

【点睛】本题主要考查了归纳推理，它的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．

11．已知函数.若对任意，都存在满足，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，结合导数得出实数的取值范围.

【详解】令，

所以，即在上恒成立

故在上恒成立

令，则

令，，则

即函数在上单调递增，故

即函数在上单调递增，故

所以

故选：B

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，从而得出参数的范围.

12．设定义在R上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，利用导数求得函数的单调性，结合，把不等式转化为，即可求解.

【详解】设函数，

可得，

因为，且，

所以，所以在上单调递增，

又由，可得

因为不等式，可得化为，

即，可得，即不等式的解集为.

故选：B.

二、填空题

13．函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积等于     .

【答案】

【分析】根据定积分及微积分基本定理即得.

【详解】由,得或，

因此，所围成的封闭图形的面积为.

故答案为：.

14．复数满足，           .

【答案】

【分析】根据复数的四则运算可得，再利用模长公式直接得解.

【详解】由，

则，

所以，

故答案为：.

15．已知函数，则          ．

【答案】

【分析】首先计算，当时，即可求值.

【详解】，

，

.

故答案为：

16．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为              .

【答案】

【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.

【详解】设切线的切点坐标为，

，所以切点坐标为，

所求的切线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

三、解答题

17．(1)在复平面内，若、对应的复数分别为、，求；

(2)复数满足，求；

(3)已知，复数，当为何值时，

①；②是纯虚数.

【答案】(1)5；(2)2+i；(3)①-3；②0或2．

【分析】(1)根据复数的几何意义即可求解；(2)根据复数的运算法则和共轭复数的概念即可求解；(3)根据复数的概念即可求解．

【详解】(1) 、对应的复数分别为、，

∴，，

，；

(2)，，∴，

，∴；

(3)①∵，∴，解得；

②是纯虚数，，解得或．

18．已知函数为单调递增函数，求实数的取值范围．

【答案】.

【分析】求出函数的导数，根据可得实数的取值范围.

【详解】由已知得，

因为在上是单调增函数，

所以在上恒成立，

即对恒成立，因为，所以只需.

19．设函数在处取得极值-1.

(1)求、的值；

(2)求的单调区间.

【答案】(1)

(2)的单调递增区间为，单调递减区间为.

【分析】（1）根据极值和极值点列出方程组，求出；（2）结合第一问得到单调区间.

【详解】（1），由题意得：，，

解得：，

此时，

当时，，当或时，，

故为极值点，满足题意，

所以.

（2）由（1）可知：当时，，当或时，，

故的单调递增区间为，单调递减区间为

20．已知复数．当实数取什么值时，复数是：

(1)虚数；

(2)纯虚数．

【答案】(1)且

(2)

【分析】（1）根据复数是虚数，列出方程，解方程即可得解；

（2）根据复数是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案.

【详解】（1）

∵，∴，．

当复数为虚数时，，且，

故当实数且时，复数为虚数．

（2）当复数为纯虚数时，，解得，

故当时，复数为纯虚数．

21．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足，其中，为常数.已知销售价格为7元/千克时，每日可售出该商品11千克.

（1）求的值；

（2）若该商品成本为5元/千克，试确定销售价格值，使商场每日销售该商品所获利润最大.

【答案】（1）（2）时，利润最大.

【分析】（1）根据，以及题中条件，列出等式，即可求出的值；

（2）设利润为，根据题意得到，用导数的方法求出其最大值，即可得出结果.

【详解】（1）因为销售价格为7元/千克时，每日可售出该商品11千克，

所以有，解得.

（2）设利润为，由题意可得，

，

所以，当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以当时，取得最大值.

即，当销售价格为6时，商场每日销售该商品所获利润最大.

【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法求其最值即可，属于常考题型.

22．已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若为正常数，设，求函数的最小值；

（Ⅲ）若，证明：.

【答案】（Ⅰ）递增区间是，单调递减区间是；（Ⅱ） ；（Ⅲ）见解析

【分析】（I）先对函数y＝f（x）进行求导，根据f（x）＞0求得的区间是单调增区间，f（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．

（II）构造函数g（x）＝f（x）+f（k﹣x），（k＞0），利用导函数判断出g（x）的单调性，进一步求出g（x）的最小值为整理即可．

（III）先求出函数f（x）的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即可．

【详解】（I）f（x）＝ln x+1，f（x）＞0，得x＞；f（x）＜0，得0＜x＜，

∴f（x）的单调递增区间是（，+∞），单调递减区间是（0，）．

（II）∵g（x）＝f（x）+f（k﹣x）＝x ln x+（k﹣x）ln（k﹣x），定义域是（0，k）

∴g（x）＝ln x+1﹣[ln （k﹣x）+1]＝ln

由g（x）＞0，得＜x＜k，由g（x）＜0，得0＜x＜，

∴函数g（x）在（0，） 上单调递减；在（，k）上单调递增，

故函数g（x）的最小值是：ymin＝＝kln．

（III）∵a＞0，b＞0∴在（2）中取x＝，k＝2，

可得 ，即

⇒

⇒alna+blnb+（a+b）ln2﹣（a+b）ln（a+b）≥0

⇒f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）﹣f（b）

【点睛】本题主要考查函数的导数，单调性，利用导数求闭区间上函数的最值等知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题．