甘肃省兰州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)

这是一份甘肃省兰州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)，共21页。试卷主要包含了解方程，解不等式组，综合与实践等内容，欢迎下载使用。
甘肃省兰州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．解一元二次方程-配方法（共1小题）
1．（2021•兰州）解方程：x2﹣6x﹣1＝0．
二．解一元一次不等式组（共1小题）
2．（2023•兰州）解不等式组：．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
3．（2023•兰州）如图，反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的表达式；
（2）当OD＝1时，求线段BC的长．

4．（2021•兰州）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象分别交于点A（﹣2，m），B（4，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求一次函数y＝﹣x+b和反比例函数y＝（x＞0）的表达式；
（2）求△AOB的面积．

5．（2021•兰州）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）图象分别交于A（﹣2，m），B（4，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝﹣x+b的表达式；
（2）求△AOB的面积．

四．二次函数的应用（共1小题）
6．（2022•兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名学生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
五．切线的判定与性质（共2小题）
7．（2022•兰州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，∠ADO＝∠BOC，AC与OD相交于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠OAC＝，AD＝，求⊙O的半径．

8．（2021•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD＝AC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠ACE＝，OE＝3，求BC的长．

六．圆的综合题（共2小题）
9．（2023•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，，DE⊥AC于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD＝2∠F，连接BD．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）判断△DGB的形状，并说明理由；
（3）当BD＝2时，求FG的长．

10．（2022•兰州）综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎（wèi）范、芯组成的铸型（如图1），它的端面是圆形．如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB＝AC，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．

问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB＝AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是⊙O上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：　 　．

七．解直角三角形的应用（共1小题）
11．（2023•兰州）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”、“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸、某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过程如下，如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m．求“龙”字雕塑CD的高度，（B，C，D三点共线，BD⊥AB，结果精确到0.1m）（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin53°≈080，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2022•兰州）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC＝31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC＝42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE，AC⊥CD，CD＝BE，BC＝DE．结果精确到0.1m）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

甘肃省兰州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．解一元二次方程-配方法（共1小题）
1．（2021•兰州）解方程：x2﹣6x﹣1＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0，
移项得：x2﹣6x＝1，
配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，
开方得：x﹣3＝±，
则x1＝3+，x2＝3﹣．
二．解一元一次不等式组（共1小题）
2．（2023•兰州）解不等式组：．
【答案】3＜x＜4．
【解答】解：，
由①得：x＞3，
由②得：x＜4，
则不等式组的解集为3＜x＜4．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
3．（2023•兰州）如图，反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的表达式；
（2）当OD＝1时，求线段BC的长．

【答案】（1）反比例函数为y＝﹣，一次函数为y＝﹣2x+2；
（2）BC＝4．
【解答】解：（1）∵反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），
∴4＝，4＝﹣2×（﹣1）+m，
∴k＝﹣4，m＝2，
∴反比例函数为y＝﹣，一次函数为y＝﹣2x+2；
（2）∵BC⊥y轴于点D，
∴BC∥x轴，
∵OD＝1，
∴B、C的纵坐标为1，
∴B（﹣4，1），C（，1），
∴BC＝＝4．
4．（2021•兰州）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象分别交于点A（﹣2，m），B（4，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求一次函数y＝﹣x+b和反比例函数y＝（x＞0）的表达式；
（2）求△AOB的面积．

【答案】（1）一次函数解析式为y＝x+4，反比例函数解析为y＝．
（2）12．
【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝上，
∴﹣2m＝﹣10，
解得m＝5，
∴点A坐标为（﹣2，5）．
把（﹣2，5）代入y＝﹣x+b得5＝1+b，
解得b＝4，
∴一次函数表达式为y＝x+4，
把B（4，n）代入y＝x+4得n＝﹣2+4＝2，
∴点B坐标为（4，2），
∵点B在反比例函数y＝图象上，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数表达式为y＝．
（2）把x＝0代入y＝x+4得y＝4，
∴点C坐标为（0，4），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×4×2+×4×4＝12．
5．（2021•兰州）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）图象分别交于A（﹣2，m），B（4，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝﹣x+b的表达式；
（2）求△AOB的面积．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，m）在y＝﹣的图象上，
∴m＝＝5，
∴A（﹣2，5），
∵点A（﹣2，5）在y＝﹣x+b上，
∴5＝﹣×（﹣2）+b，
∴b＝4，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+4，
∵点B（4，n）在y＝﹣x+4的图象上，
∴n＝﹣×4＝2，
∴B（4，2），
∵点B在y＝的图象上，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝（x＞0）；
（2）∵直线y＝﹣x+4与y轴交于C点，
∴当x＝0时，y＝4，
∴点C（0，4），
即OC＝4，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝OC•（|xA|+|xB|）＝×4×（2+4）＝12．
∴△AOB的面积为12．
四．二次函数的应用（共1小题）
6．（2022•兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名学生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
【答案】（1）y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3；
（2）该女生在此项考试中是得满分，理由见解答．
【解答】解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，
把（0，）代入解析式得：＝a（0﹣3）2+3，
解得：a＝﹣，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3；
（2）该生在此项考试中是得满分，理由：
令y＝0，则﹣（x﹣3）2+3＝0，
解得：x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去），
∵7.5＞6.70，
∴该生在此项考试中是得满分．
五．切线的判定与性质（共2小题）
7．（2022•兰州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，∠ADO＝∠BOC，AC与OD相交于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠OAC＝，AD＝，求⊙O的半径．

【答案】（1）详见解答；
（2）2．
【解答】（1）证明：∵OD⊥OC，
∴∠COD＝90°，
∴∠BOC+∠AOD＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠ADO＝∠BOC，
∴∠ADO+∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝180°﹣90°＝90°，
即OA⊥AD，
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴tan∠OAC＝＝tan∠OCA＝，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°＝∠OAD，即∠OCB+∠OCA＝90°＝∠OAC+∠DAE，
∴∠DAE＝∠OCB，
又∵∠ADO＝∠BOC，
∴∠DEA＝∠B，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE＝，
设半径为r，则OE＝r，OD＝r+，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
AD2+OA2＝OD2，
即（）2+r2＝（r+）2，
解得r＝2或r＝0（舍去），
即半径为2．

8．（2021•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD＝AC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠ACE＝，OE＝3，求BC的长．

【答案】（1）详见解答；
（2）8．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACE+∠BCE＝90°，
∵AD＝AC，BE＝BC，
∴∠ACE＝∠D，∠BCE＝∠BEC，
又∵∠BEC＝∠AED，
∴∠AED+∠D＝90°，
∴∠DAE＝90°，
即AD⊥AE，
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）由tan∠ACE＝＝tan∠D可设AE＝a，则AD＝3a＝AC，
∵OE＝3，
∴OA＝a+3，AB＝2a+6，
∴BE＝a+3+3＝a+6＝BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2＝BC2+AC2，
即（2a+6）2＝（a+6）2+（3a）2，
解得a1＝0（舍去），a2＝2，
∴BC＝a+6＝8．

六．圆的综合题（共2小题）
9．（2023•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，，DE⊥AC于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD＝2∠F，连接BD．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）判断△DGB的形状，并说明理由；
（3）当BD＝2时，求FG的长．

【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）4．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵，
∴∠BOD＝∠BOC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠BOC＝2∠A，
又∵∠BOD＝2∠F，
∴∠A＝∠F，
又∵∠AGE＝∠BGF，
∴∠AEG＝∠GBF，
∵DE⊥AC，
∴∠AEG＝90°，
∴∠GBF＝90°，
∴OB⊥BF，
∵OB为半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：△DGB为等腰三角形，
理由：∵，
∴DB＝BC，DC⊥AB，
∴∠DCB＝∠CDB，
∵OB⊥BF，
∴DC∥BF，
∴∠BDC＝∠DBF，
又∵∠BDC＝∠A，
∴∠DBF＝∠A，
又∵∠A＝∠F，
∴∠DBF＝∠F，
∵∠GBF＝90°，
∴∠F+∠DGB＝90°，∠DBG+∠DBF＝90°，
∴∠DGB＝∠DBG，
∴DB＝DG，
即△DBG为等腰三角形；
（3）解：由（2）可知，DB＝DG，∠F＝∠DBF，
∴DF＝DB，
∴DF＝DG＝DB＝2，
∴FG＝4．
10．（2022•兰州）综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎（wèi）范、芯组成的铸型（如图1），它的端面是圆形．如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB＝AC，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．

问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB＝AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是⊙O上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：　垂直平分弦的直线经过圆心　．

【答案】问题解决：
（1）画图见解答过程；
类比迁移：
（2）画图见解答过程；
拓展探究：
（3）画图见解答过程，垂直平分弦的直线经过圆心．
【解答】解：问题解决：
（1）如图：

O即为圆心；
类比迁移：
（2）如图：

O即为所求作的圆心；
拓展探究：
（3）如图：

O即为所求作的圆心，理由是垂直平分弦的直线经过圆心，
故答案为：垂直平分弦的直线经过圆心．
七．解直角三角形的应用（共1小题）
11．（2023•兰州）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”、“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸、某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过程如下，如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m．求“龙”字雕塑CD的高度，（B，C，D三点共线，BD⊥AB，结果精确到0.1m）（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin53°≈080，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

【答案】9.9m．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝18m，∠BAC＝38°，
∵，
∴BC＝AB•tan∠BAC＝18tan38°＝18×0.78＝14.04（m），
在Rt△ABD中，AB＝18m，∠BAD＝53°，
∵，
∴BD＝AB•tan∠BAD＝18tan53°＝18×1.33＝23.94（m），
∴CD＝BD﹣BC＝23.94﹣14.04＝9.9（m）．
答：“龙”字雕塑CD的高度约为9.9m．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2022•兰州）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC＝31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC＝42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE，AC⊥CD，CD＝BE，BC＝DE．结果精确到0.1m）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
【答案】凉亭AB的高约为6.9m．
【解答】解：由题意得：
BC＝FG＝DE＝1.5m，DF＝GE＝3m，∠ACF＝90°，
设CF＝xm，
∴CD＝CF+DF＝（x+3）m，
在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，
∴AC＝CF•tan42°≈0.9x（m），
在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，
∴tan31°＝＝≈0.6，
∴x＝6，
经检验：x＝6是原方程的根，
∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），
∴凉亭AB的高约为6.9m．