甘肃兰州三年（2021-2023）中考数学真题分题型分类汇编-03解答题②

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甘肃兰州三年（2021-2023）中考数学真题分题型分类汇编-03解答题②

一、解答题
1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．
    
请写出平分的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
  
2．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得、，．求“龙”字雕塑的高度．（B，C，D三点共线，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）
    
3．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．
  
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
4．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接．
  
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)当时，求的长．
5．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）人口问题是“国之大者”．以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：
（数据分成6组：，，，，，）

信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；
信息三：2010——2021年全国大陆人口数及自然增长率；

请根据以上信息，解答下列问题：
(1)普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为______百万人．
(2)下列结论正确的是______．（只填序号）
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
③2010-2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．
(3)请写出2016-2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．
6．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．

(1)问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在上，，且，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在上，，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________．
7．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在中，，，，M为AB边上一动点，，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．

小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
(1)列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：
x/cm
0
0.5
1
1.5
1.8
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y/cm
4
3.96
3.79
3.47
a
2.99
2.40
1.79
1.23
0.74
0.33
0
请你通过计算，补全表格：______；
(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数y关于x的图像；

(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：______．
(4)解决问题：当时，AM的长度大约是______cm．（结果保留两位小数）
8．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．

(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
9．（2021·甘肃兰州·统考中考真题）如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积．
10．（2021·甘肃兰州·统考中考真题）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的长度（，，三点共线），在水平地面点测得，，点与大楼底部点的距离，求避雷针的长度．（结果精确到．参考数据：，，，，，）

11．（2021·甘肃兰州·统考中考真题）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，，分别表示小军与观光车所行的路程与时间之间的关系．
根据图象解决下列问题：

（1）观光车出发______分钟追上小军；
（2）求所在直线对应的函数表达式；
（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．
12．（2021·甘肃兰州·统考中考真题）2021年2月25日，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告中国脱贫攻坚取得了全面胜利，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，根据2021年4月7日《人民日报》刊登的“人类减贫的中国实践”的相关数据进行收集和整理，信息如下：
信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量

信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入

信息三：脱贫攻坚以来贫困地区农村居民和全国农村居民年人均可支配收入及增长率
年份、统计量
名称
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
平均数
贫困地区农村居民年人均可支配收入/元
6079
6852
7653
8452
9377
10371
11567
12588
9117
贫困地区农村居民年人均可支配收入增长率/％









全国农村居民年人均可支配收入增长率/％









请根据以上信息，解决下列问题：
（1）2019年底中国农村贫困人口数量为______万人．
（2）2013年底至2020年底，贫困地区农村居民年人均可支配收入的极差为______元．
（3）下列结论正确的是______（只填序号）．
①脱贫攻坚以来中国农村贫困人口数量逐年减少，最终全部脱贫；
②脱贫攻坚以来我国贫困地区农村居民人均可支配收入年平均增长率为％，增长持续快于全国农村；
③2016－2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．

参考答案：
1．（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析；
【分析】（1）先证明，可得，从而可得答案；
（2）先证明，可得，可得是的角平分线；
（3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
故答案为：
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
（3）如图，点即为所求作的点；
  ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．
2．“龙”字雕塑的高度为．
【分析】在和中，分别求得和的长，据此求解即可.
【详解】解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴,
答：“龙”字雕塑的高度为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．(1)y关于x的函数表达式为；
(2)运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．

【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解；
（2）令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，
设抛物线的表达式为，
∴，解得，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：令，则，
解得（负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
4．(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)．

【分析】（1）证明和是等边三角形，即可推出四边形是菱形；
（2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得和的长，利用菱形的性质得到，在中，解直角三角形求得的长，据此求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，理由如下，
∵矩形的对角线与相交于点O，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵直线是线段的垂直平分线，且，
∴，，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
5．(1)40
(2)①②

(3)答案见解析

【分析】（1）根据已知发现中位数在第二组内，从小到大排列找出处在中间位置的一个数或两个数的平均数即可求出中位数；
（2）从频数分布直方图可知，比95亿元多的省份有5个，因此处在第六名；
①根据频数分布直方图进行判断即可；
②根据条形图与折线图即可判断；
③根据折线图即可判断；
（3）根据条形图与折线图可写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，根据变化趋势写出看法即可．
【详解】（1）解：将这31个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是40百万人，因此中位数是40百万人，
故答案为：40；
（2）解：①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区，故原结论正确，符合题意；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正确，符合题意；
③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率的情况是：2010﹣2012，2013﹣2014，2015﹣2016年增长率持续上升；2012﹣2013，2014﹣2015，2016﹣2021年增长率持续降低，
故原结论错误，不符合题意．
所以结论正确的是①②．
故答案为：①②；
（3）解：2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．
看法：放开计划生育的政策，鼓励多生优育，以免人口负增长的情况出现.
【点睛】本题考查频数分布直方图、条形统计图、折线统计图，中位数，理解统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
6．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）作∠ABD=90°，　BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，即可；
（2）作∠ABD=90°，　BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，即可；
（3）作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，即可，则垂径定理得出确定圆心的理由即可．
【详解】（1）解：如图所示，点O就是圆的圆心．

作∠ABD=90°，　BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，
∵∠CAB=∠ABD=90°，
∴BC、AD是圆的直径，
∴点O是圆的圆心．
（2）解：如图所示，点O就是圆的圆心．

作∠ABD=90°，　BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，
∵∠CAB=∠ABC=90°，
∴BC、AD是圆的直径，
∴点O是圆的圆心．
（3）解：如图所示 ，点O就是圆的圆心．

作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，
∵DE垂直平分AB，
∴DE经过圆心，即圆心必在直线DE上，
∵MN垂直平分AC，
∴MN经过圆心，即圆心必在直线MN上，
∴DE与MN的交点O是圆心．
确定圆心的理由：弦的垂直平分线经过圆心．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理的推论，尺规作线段垂直平分线，熟练掌握直角的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．
7．(1)3.2
(2)答案见解析
(3)y随x的增大而减小
(4)1.67

【分析】（1）先求出AB边上的高，进而求出AM'，判断出点M与M'重合，即可得出答案；
（2）先描点，再连线，即可画出图像；
（3）根据图像直接得出结论；
（4）利用表格和图像估算出AM的长度．
【详解】（1）解：如图，

在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AC＝5，
过点C作CM'⊥AB于M，
∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CM'，
∴CM'＝，
在Rt△ACM'中，根据勾股定理得，AM'＝，
当a＝1.8时，点M与点M'重合，
∴CM⊥AB，
∵BN⊥CM，
∴点M，N重合，
∴a＝BN＝BM＝AB﹣AM＝3.2，
故答案为：3.2；
（2）解：如图所示，

（3）解：由图像知，y随x的增大而减小，
故答案为：y随x的增大而减小；
（4）解：如图，直线OD的解析式为，

借助表格和图像得，当BN＝2AM时，AM的长度大约是1.67cm，
故答案为：1.67．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积，函数图像的画法，画出函数图像是解本题的关键．
8．(1)y关于x的函数表达式为；
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．

【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设，
∵经过点(0， )，
∴
解得∶
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数，当y=0时，有
∴，
解得∶， (舍去)，
∵>6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键．
9．（1），；（2）12．
【分析】（1）把点A的坐标代入m的值，得出A的坐标代入，求出一次函数的解析式，进而求得点B的坐标，利用B点的坐标求得的解析式；
（2）根据一次函数解析式求得点C的坐标，再将y轴作为分割线，求得△AOB的面积；
【详解】解：（1）∵，在函数的图象上，
∴m=5，
∴A(-2，5)，
把A(-2，5)代入得：，
∴b=4，
∴一次函数的表达式为：，
∵在函数的图象上，
∴n=2，
∴，
把代入得：2=，∴k=8，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）∵C是直线AB与y轴的交点，直线AB：，
∴当x=0时，y=4，
∴点C（0，4），即OC=4，
∵A(-2，5)，，
∴=×4×2+×4×4=12；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，根据题意求出C点坐标是解题的关键．
10．
【分析】根据，然后根据即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，即，
解得：m，
∵，
∴，即，
解得：m，
∴m ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形，将实际问题转换为解直角三角形的问题是解答此题的关键．
11．（1）6；（2）；（3）观光车比小军早8分钟到达观景点，理由见解析．
【分析】（1）由图像可知，，的交点，即为两者到达同一位置，所以在21分钟时观光车追上小军，而观光车是在15分钟时出发的，所以观光车出发6分钟后追上小军；
（2）设所在直线对应的函数表达式为，将经过两点（15,0）和（21,1800）带入表达式，得；
（3）由图像可知，到达观景点需要3000m的路程，小军到达观景点的时间为33min，通过所在直线对应的函数表达式，可知，观光车到达观景点的时间为，因此观光车比小军早到达观景点．
【详解】解：（1）由图像可知，在21min时，，相交于一点，表示在21min时，小军和观光车到达了同一高度，此时观光车追上了小军, 观光车是在15min时出发,
∴,
∴观光车出发6分钟后追上小军；
（2）设所在直线对应的函数表达式为，由图像可知，直线分别经过（15,0）和（21,1800）两点，将两点带入函数表达式得：

解得：

∴函数表达式为；
（3）由图像可知，到达观景点需要3000m的路程，小军到达观景点的时间为33min，
∵观光车函数表达式为，
∴将带入，可知观光车到达观景点所需时间为，
∴，
∴观光车比小军早8分钟到达观景点．
答：（1）观光车出发6分钟追上小军；
（2）所在直线对应的函数表达式为；
（3）观光车比小军早8分钟到达观景点，理由见解析．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键．
12．（1）551；（2）6509；（3）①②③
【分析】（1）根据信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量的条形统计图即可求得；
（2）根据信息三中的表格数据，以及极差的定义即可求得，极差：一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差；
（3）根据信息一可得①正确，根据信息三中的表格数据，求得平均年增长率，并且观察每一年的数据贫困地区农村居民人均可支配收入增长率快于全国农村的可支配收入增长率，即可判断②，根据信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入，计算2016－2020年各级财政专项扶贫资金投入减去中央财政专项扶贫资金即可判断③．
【详解】（1）根据信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量的条形统计图即可知：
2019年底中国农村贫困人口数量为551万人；
故答案为：551
（2）
故答案为：
（3）根据信息一，可得，脱贫攻坚以来中国农村贫困人口数量逐年减少，最终全部脱贫，故①正确；
②，且每一年的我国贫困地区农村居民人均可支配收入年增长率持续快于全国农村；故②正确；
③2016年:，
2017年：，
2018年：，
2019年：，
2020年：，
2016－2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．故③正确
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了求极差，平均数，折线统计图，条形统计图，从表格或统计图获取信息是解题的关键．