甘肃省兰州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类(含答案)

这是一份甘肃省兰州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类(含答案)，共38页。试卷主要包含了，A，F两点间的距离为ycm，在线段AB上，则点P是直线EF，是第一象限内一点，给出如下定义，，点P为x轴上一动点，综合与实践等内容，欢迎下载使用。
甘肃省兰州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类
一．动点问题的函数图象（共1小题）
1．（2021•兰州）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，将∠BAC绕点A顺时针旋转，角的两边分别交射线BC于D，E两点，F为AE上一点，连接CF，且∠ACF＝∠B（当点B，D重合时，点C，F也重合）．设B，D两点间的距离为xcm（0≤x≤8），A，F两点间的距离为ycm．
小刚根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小刚的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据B，D两点间的距离x进行取点，画图，测量分别得到了x与y的几组对应值；
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
6
7
8
y/cm
6.00
5.76
5.53
5.31
5.09
4.88
4.69
4.50
4.33
4.17
4.02
3.79
3.65
a
请你通过计算补全表格：a＝　 　；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；

（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：　 　；
（4）解决问题：当AF＝CD时，BD的长度大约是 　 　cm．（结果保留两位小数）

二．一次函数综合题（共2小题）
2．（2023•兰州）在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”．例如：如图1，已知点A（1，2），B（3，2），P（2，2）在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”．

（1）如图2，已知点A（1，0），B（3，0），P是线段AB上一点，直线EF过G（﹣1，0），T（0，）两点，当点P是直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标；
（2）如图3，x轴上方有一等边三角形ABC，BC⊥y轴，顶点A在y轴上且在BC上方，，点P是△ABC 上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；
（3）如图4，以A（1，0），B（2，0），C（2，1）为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”，请直接写出b的取值范围．
3．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；
（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．

三．二次函数综合题（共3小题）
4．（2022•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，BN⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．
小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：
x/cm
0
0.5
1
1.5
1.8
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y/cm
4
3.96
3.79
3.47
a
2.99
2.40
1.79
1.23
0.74
0.33
0
请你通过计算，补全表格：a＝　 　；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；

（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：　 　；
（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是 　 　cm．（结果保留两位小数）

5．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．

6．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．

（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．
①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；
②点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，直接写出点P的坐标．
四．三角形综合题（共1小题）
7．（2023•兰州）综合与实践：
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据：　 　；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

五．四边形综合题（共4小题）
8．（2023•兰州）综合与实践：
【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH＝HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．
9．（2022•兰州）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
【思考尝试】
（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
【实践探究】
（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．
【拓展迁移】
（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值．


10．（2021•兰州）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．
【探究建模】
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；
【类比应用】
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．
①（1）中的结论AE＝CF还成立吗？请说明理由；
②猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系．

11．（2021•兰州）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．

【探究建模】
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；
【类比应用】
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；
【拓展迁移】
（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若DF＝3，AE＝，求CE的长．

甘肃省兰州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．动点问题的函数图象（共1小题）
1．（2021•兰州）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，将∠BAC绕点A顺时针旋转，角的两边分别交射线BC于D，E两点，F为AE上一点，连接CF，且∠ACF＝∠B（当点B，D重合时，点C，F也重合）．设B，D两点间的距离为xcm（0≤x≤8），A，F两点间的距离为ycm．
小刚根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小刚的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据B，D两点间的距离x进行取点，画图，测量分别得到了x与y的几组对应值；
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
6
7
8
y/cm
6.00
5.76
5.53
5.31
5.09
4.88
4.69
4.50
4.33
4.17
4.02
3.79
3.65
a
请你通过计算补全表格：a＝　3.6　；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；

（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：　y的值逐渐减小　；
（4）解决问题：当AF＝CD时，BD的长度大约是 　3.50　cm．（结果保留两位小数）

【答案】（1）3.6．
（2）作图见解析部分．
（3）y的值逐渐减小．
（4）3.50．
【解答】解：（1）如图1中，连接DF．

∵∠BAC＝∠DAF，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠CFE＝∠ACF+∠CAF，∠ACF＝∠B，
∴∠CFE＝∠ADC，
∴A，F，C，D四点共圆，
∴∠AFD＝∠ACD＝90°，
当BD＝8时，如图2中，

在Rt△ACB中，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm），
∵cos∠CAF＝cos∠CAB，
∴＝，
∴AF＝＝＝3.6（cm），
∴a＝3.6，
解法二：当BD＝8时，C与D重合，
∵∠CAF＝∠CAB，∠ACF＝∠B，
∴△ACF∽△ABC，
∴＝，
∴AF＝3.6．
故答案为：3.6．

（2）函数图象如图所示：


（3）随着自变量x的不断增大，函数y的值逐渐减小．
故答案为：y的值逐渐减小．

（4）如图，因为直线CD的解析式为y＝﹣x+8，

观察图象可知，当CD＝AF时，x≈3.54，
∴BD≈3.50（cm），
故答案为：3.50．
二．一次函数综合题（共2小题）
2．（2023•兰州）在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”．例如：如图1，已知点A（1，2），B（3，2），P（2，2）在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”．

（1）如图2，已知点A（1，0），B（3，0），P是线段AB上一点，直线EF过G（﹣1，0），T（0，）两点，当点P是直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标；
（2）如图3，x轴上方有一等边三角形ABC，BC⊥y轴，顶点A在y轴上且在BC上方，，点P是△ABC 上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；
（3）如图4，以A（1，0），B（2，0），C（2，1）为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”，请直接写出b的取值范围．
【答案】（1）（3，0）；（2）2；（3）﹣1≤b≤1或3≤b≤5．
【解答】解：（1）AB线段上任意两点距离的最大值为3﹣1＝2，即P到EF的距离为2，
过P作PC⊥EF于点C，由题意知，GO＝1，TO＝，
则tan∠TGO＝＝，
∴∠TGO＝30°，
∴GP＝＝＝4，
∴P（3，0）．

（2）设等边三角形△ABC的边长为2a（0＜a＜），则C（a，），
△ABC上任意两点距离的最大值即为2a，
当P在线段BC上时，P到x轴的距离最小，距离为，由题意知，
＝2a，
解得，a＝1或﹣1（舍去），
所以此时等边三角形ABC的边长为2．
（3）由题意知，正方形ABCD的边长为1，
所以正方形ABCD上任意两点距离的最大值为＝，
即正方形ABCD上始终存在点P，P到EF的距离为．
则EF向上或者向下平移2个单位长度得到直线l1，l1与EF平行，且两直线间的距离为，
所以P既在l1上，又在正方形ABCD的边上，即l1与正方形ABCD有交点．
当b≤1时，l1为y＝﹣x+b+2，
当l1过A时，b＝﹣1，
当l1过C时，b＝1，
即﹣1≤b≤1；
当b＞1时，l1为y＝﹣x+b﹣2，
当l1过A时，b＝3，
当l1过C时，b＝5，
即3≤b≤5；

综上所述，当﹣1≤b≤1或3≤b≤5时，正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”．
3．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；
（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．

【答案】（1）3；
（2）①a＝2b或b＝2a；
②；
（3）a＞+3．
【解答】解：（1）由题意知，k＝＝3，
即点P（6，2）的“倾斜系数”k的值为3；
（2）①∵点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，
∴＝2或＝2，
即a＝2b或b＝2a，
∴a和b的数量关系为a＝2b或b＝2a；
②由①知，a＝2b或b＝2a
∵a+b＝3，
∴或，
∴OP＝＝；
（3）由题意知，满足条件的P点在直线y＝x和直线y＝x之间，
①当P点与D点重合时，且k＝时，P点在直线y＝x上，a有最小临界值，
如图：此时a＜b，
连接OD，延长DA交x轴于E，

此时＝，
则，
解得a＝，
此时B点的坐标为（，），
且k＝＝
∴a＞+1；
②当P点与B点重合时，且k＝时，P点在直线y＝x上，a有最小临界值，
如图：此时a＞b，
连接OB，延长CB交x轴于F，

此时＝，
则＝，
解得a＝3+，
此时D（，），
且k＝＝，
∴a＞+3；
综上所述，若点P的“倾斜系数”k＜，则a＞+3．
三．二次函数综合题（共3小题）
4．（2022•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，BN⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．
小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：
x/cm
0
0.5
1
1.5
1.8
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y/cm
4
3.96
3.79
3.47
a
2.99
2.40
1.79
1.23
0.74
0.33
0
请你通过计算，补全表格：a＝　3.2　；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；

（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：　y随x的增大而减小　；
（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是 　1.67　cm．（结果保留两位小数）

【答案】（1）3.2；
（2）图象见解答；
（3）y随x的增大而减小；
（4）1.67．
【解答】解：（1）如图，

在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AB＝5，
过点C作CM'⊥AB于M'，
∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CM'，
∴CM'＝，
在Rt△ACM'中，根据勾股定理得，AM'＝＝1.8，
当x＝1.8时，点M与点M'重合，
∴CM⊥AB，
∵BN⊥CM，
∴点M，N重合，
∴a＝BN＝BM＝AB﹣AM＝3.2，
故答案为：3.2；

（2）如图所示，

（3）由图象知，y随x的增大而减小，
故答案为：y随x的增大而减小；

（4）借助表格和图象得，当BN＝2AM时，AM的长度大约是1.67cm，
故答案为：1.67．
5．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；
（2）S△ACQ＝；
（3）D（3，﹣1）或D（﹣8，10）．
【解答】解：（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），
∴a＝，
∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
（2）令y＝0，则（x+3）（x﹣4）＝0，
∴x＝﹣3或x＝4，
∴A（4，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∵OP＝1，
∴P（1，0），
∵PQ⊥x轴，
∴Q（1，﹣），C（1，﹣2），
∴AP＝3，
∴S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝×3×2﹣×3×＝；
（3）设P（t，0），
如图2，过点D作x轴垂线交于点N，
∵∠BPD＝90°，
∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，
∴∠NPD＝∠OBP，
∵BP＝PD，
∴△PND≌△BOP（AAS），
∴OP＝ND，BO＝PN，
∴D（t+2，﹣t），
∴﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），
解得t＝1或t＝﹣10，
∴D（3，﹣1）或D（﹣8，10）．


6．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．

（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．
①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；
②点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）；（3）①D（3，﹣1）或D（﹣8，10）；②（2，0）或（﹣，0）．
【解答】解：（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），
∴a＝，
∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
（2）令y＝0，则（x+3）（x﹣4）＝0，
∴x＝﹣3或x＝4，
∴A（4，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∵OP＝1，
∴P（1，0），
∵PQ⊥x轴，
∴Q（1，﹣），C（1，﹣2），
∴AP＝3，
∴S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝×3×2﹣×3×＝；
（3）①设P（t，0），
如图2，过点D作x轴垂线交于点N，
∵∠BPD＝90°，
∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，
∴∠NPD＝∠OBP，
∵BP＝PD，
∴△PND≌△BOP（AAS），
∴OP＝ND，BO＝PN，
∴D（t+2，﹣t），
∴﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），
解得t＝1或t＝﹣10，
∴D（3，﹣1）或D（﹣8，10）；
②如图3，∵PE平分∠BPD，
∴∠BPE＝∠EPD，
∵∠BPD＝90°，
∴∠BPE＝45°，
当PE∥y轴时，∠OBP＝45°，
∴P（2，0）；
如图4，过B点作BG⊥PB交PE于点G，过G点作FG⊥y轴，交于点F，
∵∠PBF+∠FBG＝90°，∠FBG+∠FGB＝90°，
∴∠PBF＝∠FGB，
∵∠BPG＝45°，
∴BP＝BG，
∴△BPO≌△GBF（AAS），
∴BF＝OP，FG＝OB，
∵OB＝2，
∴FG＝2，
∵E（2，﹣）
∴E点与G点重合，
∴PO＝BF＝2﹣＝，
∴P（﹣，0）；
综上所述：P点的坐标为（2，0）或（﹣，0）．
方法2，设P（t，0），由①可知D（t+2，﹣t），
∵当PE平分∠BPD，
∴∠BPE＝∠DPE，
∵PB＝PD，PE＝PE，
∴△PBE≌△PDE（SAS），
∴BE＝ED，
∴4+＝t2+（t﹣）2，
解得t＝2或t＝﹣，
∴P点的坐标为（2，0）或（﹣，0）．



四．三角形综合题（共1小题）
7．（2023•兰州）综合与实践：
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据：　SSS　；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）SSS；
（2）理由见解析；
（3）图形见解析．
【解答】解：（1）∵△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
又∵OC＝OD，OE＝OE，
∴△OCE≌△ODE（SSS），
∴∠COE＝∠DOE，
∴OE是∠AOB的平分线，
故答案为：SSS；
（2）∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
∴射线OC是∠AOB的平分线；
（3）如图，

点E即为所求的点．
五．四边形综合题（共4小题）
8．（2023•兰州）综合与实践：
【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH＝HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．
【答案】（1）四边形ABCD是正方形，理由见解析；
（2）HF＝AH+CF，理由见解析；
（3）BH＝CM．
【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∵GD⊥DF，
∴∠FDG＝90°，
∴∠ADG＝∠CDF，
又∵AG＝CF，∠G＝∠DFC＝90°，
∴△ADG≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）HF＝AH+CF，
理由：∵DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，
∴四边形HFDG是矩形，
∴∠G＝∠DFC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDF，
∴△ADG≌△CDF（AAS），
∴AG＝CF，DG＝DF，
∴矩形HFDG是正方形，
∴HG＝HF＝AH+AG＝AH+CF；
（3）连接AC，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，
∵AH⊥CE，AH＝HM，
∴△AHM是等腰直角三角形，
∴∠HAM＝45°，
∴∠HAB＝∠MAC，
∵，
∴△AHB∽△AMC，
∴，
即BH＝CM．
9．（2022•兰州）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
【思考尝试】
（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
【实践探究】
（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．
【拓展迁移】
（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值．


【答案】（1）AE＝EP；
（2）45°；
（3）4+4．
【解答】解：（1）AE＝EP，
理由如下：取AB的中点F，连接EF，

∵F、E分别为AB、BC的中点，
∴AF＝BF＝BE＝CE，
∴∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∵CP平分∠DCG，
∴∠DCP＝45°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠AFE＝∠ECP，
∵AE⊥PE，
∴∠AEP＝90°，
∴∠AEB+∠PEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠PEC＝∠BAE，
∴△AFE≌△ECP（ASA），
∴AE＝EP；
（2）在AB上取AF＝EC，连接EF，

由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，
∵AF＝EC，AE＝EP，
∴△FAE≌△CEP（SAS），
∴∠ECP＝∠AFE，
∵AF＝EC，AB＝BC，
∴BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠DCP＝45°，
（3）连接CP，作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，

由（2）知，∠DCP＝45°，
∴∠CDG＝45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴点D与G关于CP对称，
∴AP+DP的最小值为AG的长，
∵AB＝4，
∴BG＝8，
由勾股定理得AG＝＝4，
∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝4+4．
10．（2021•兰州）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．
【探究建模】
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；
【类比应用】
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．
①（1）中的结论AE＝CF还成立吗？请说明理由；
②猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系．

【答案】（1）证明见解析部分．
（2）①AE＝CF还成立，证明见解析部分．
②结论：EA+EC＝DE，证明见解析部分．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
（2）①（1）中的结论AE＝CF还成立．
证明：如图2中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠DAB＝∠ADC＝∠DCB＝∠DCF＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∵∠DCF+∠DCE＝180°，
∴∠DAE＝∠DCF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
②解：结论：EA+EC＝DE．
理由：如图2中，连接AC交DE于点O，过点D作DK⊥EC于点K，DJ⊥EA交EA的延长线于点J．

∵四边形ABCD是正方形，△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DAO＝∠OEC＝45°，
∵∠AOD＝∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴，
∴．
∵∠AOE＝∠DOC，
∴△AOE∽△DOC，
∴∠AEO＝∠DCO＝45°，
∴∠DEJ＝∠DEK，
∵∠J＝∠DKE＝90°，ED＝ED，
∴△EDJ≌△EDK（AAS），
∴EJ＝EK，DJ＝DK，
∵∠J＝∠DKC＝90°，DJ＝DK，DA＝DC，
∴Rt△DJA≌Rt△DKC（HL），
∴AJ＝CK，
∴EA+EC＝EJ﹣AJ+EK+CK＝2EJ，
∵DE＝EJ，
∴EA+EC＝DE．
11．（2021•兰州）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．

【探究建模】
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；
【类比应用】
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；
【拓展迁移】
（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若DF＝3，AE＝，求CE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠DCB＝∠DCF＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．

（2）解：猜想：EA+EC＝DE．
理由：如图2中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵DE⊥DF，AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠EDF＝90°，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC+∠AEC＝180°，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∵∠DCF+∠DCE＝180°，
∴∠DAE＝∠DCF，
∴△DAE≌△DCF（AAS），
∴AE＝CF，DE＝DF，
∴EF＝DE，
∵AE+EC＝EC+CF＝EF，
∴EA+EC＝DE．

（3）解：如图3中，连接AC，取AC的中点O，连接OE，OD．

∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EC，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，
∴OD＝OA＝OC＝OE，
∴A，E，C，D四点共圆，
∴∠AED＝∠ACD＝45°，
∴∠AED＝∠DEC＝45°，
由（2）可知，AE+EC＝DE，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴AE＝AF＝，
∴EF＝AE＝2，
∵DF＝3，
∴DE＝5，
∴+EC＝5，
∴EC＝4．