2022-2023学年广西钦州市第十三中学高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年广西钦州市第十三中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．在等差数列中，，，则公差（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】D

【解析】根据等差数列的性质即可解出．

【详解】因为，所以.

故选：D．

【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用，属于容易题．

2．设随机变量，则的值为（    ）

A．1.2 B．1.8 C．2.4 D．3.6

【答案】C

【分析】由二项分布的方差公式计算．

【详解】．

故选：C．

3．已知数列满足，，则（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据数列的递推公式，由计算.

【详解】数列满足，，

则，.

故选：A.

4．已知等差数列的公差，前项和为，则（    ）

A．6 B． C． D．8

【答案】C

【分析】由等差数列的通项公式和性质变形可得．

【详解】.

故选：C．

5．通过随机调查名性别不同的社区居民是否喜欢看电视剧，得到如下的列联表：

由公式算得：，附：，

其中参照附表，得到的正确结论是（    ）

A．有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关

B．有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关

C．有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关

D．有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关

【答案】C

【分析】根据观测值，对照附表即可得出结论．

【详解】解：由题意知，，

因为，

所以有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关．

故选：C．

6．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（    ）

A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6

【答案】B

【分析】由正态分布的性质求概率．

【详解】由正态分布的图象和性质得

．

故选：B．

7．下表给出变量的5组数据，为选出4组数据使得线性相关程度最大则应去掉（    ）

A．第1组数据 B．第3组数据 C．第4组数据 D．第5组数据

【答案】D

【分析】画出散点图，由散点图判断即可

【详解】画出散点图如图所示，则应去掉第5组数据.，

故选：D

8．已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，若，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据等差数列的性质，以及前项和公式，化简得到，即可求解.

【详解】根据等差数列的性质，以及前项和公式，

可得：.

故选：D.

二、多选题

9．已知X的分布列为

则下列说法正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】由分布列的性质，可相应的概率和均值.

【详解】由随机变量分布列的性质可知，即，∴，故A正确；

，故B正确；

，故C不正确；

，故D正确.

故选：ABD

10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）

A．2个球都是红球的概率为

B．2个球不都是红球的概率为

C．至少有1个红球的概率为

D．2个球中恰有1个红球的概率为

【答案】ACD

【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D.

【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件，

则，，

对于A选项，2个球都是红球为，其概率为，故A选项正确，

对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，故B选项错误，

对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为，故C选项正确，

对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为，故D选项正确．

故选：ACD．

三、单选题

11．等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也是定值的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得.

【详解】由，

可知为定值，也为定值.

故选：AC

四、多选题

12．一袋中有5个大小相同的黑球，编号为，还有3个同样大小的白球，编号为6，7，8，现从中任取3个球，则下列结论中正确的是（    ）

A．取出的最小号码服从超几何分布

B．取出的白球个数服从超几何分布

C．取出2个黑球的概率为

D．若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则总得分最小的概率为

【答案】BC

【分析】根据超几何分布的概念判断A，B；利用超几何分布的概率计算求解可判断C，D.

【详解】对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，

即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误；

对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，

由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故B正确；

对于，取出2个黑球的概率为，故C正确；

对于，若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则取出三个白球的总得分最小，

总得分最大的概率为，故不正确.

故选：.

五、填空题

13．观测两相关变量得如下数据：

则两变量间的回归直线必过点                   .

【答案】

【分析】根据回归直线方程的特点即可得出结果.

【详解】由，

，

则两变量间的回归直线必过点.

故答案为：

14．甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是        ．

【答案】

【分析】设这道题没被解出来为事件A，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率

【详解】设数学题没被解出来为事件A，则.

故则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率.

故答案为：

15．已知列联表如下：

若，则           .（附：，其中）

【答案】

【分析】根据观测值的表达式，列出等式求解即可.

【详解】，

解得.

故答案为：

16．在前n项和为的等差数列中，，，则      ．

【答案】27

【分析】根据等差数列片段和的性质及等差中项列方程求.

【详解】由等差数列片段和性质：成等差数列，

所以，故.

故答案为：27

六、解答题

17．白黄瓜是一种比较常见的餐桌蔬菜，和普通的黄瓜不同，这种黄瓜的外观更加好看，颜色偏白，口感更好，所以在市面上拥有较高的价格.某农户一亩地种植白黄瓜，在所收成的黄瓜中，随机抽取并测量100条白黄瓜的长度(单位：厘米)和重量(单位：克)，得到如下数据表：

（1）根据所给的数据，完成下面的列联表；

（2）根据（1）中的列联表，判断是否有99.9%的把握认为单个黄瓜重量与黄瓜长有关.

附：，其中.

【答案】（1）列联表答案见解析；（2）有99.9%的把握认为单个黄瓜重量与黄瓜长有关.

【分析】（1）根据频数分布表即可完成列联表；

（2）直接套公式求出,对照参数下结论;

【详解】解：（1）完成列联表如下：

（2）.

故能有99.9%的把握认为单个黄瓜重量与黄瓜长有关.

【点睛】独立性检验的题目直接根据题意完成完成2×2列联表,直接套公式求出,对照参数下结论,一般较易.

18．从有3个红球和4个黑球的盒子中，每次随机摸出一个球，摸出的球不再放回．求第2次摸到红球的概率．

【答案】

【分析】利用互斥事件的概率公式与条件概率公式计算．

【详解】解：用表示第一次摸到红球，表示第二次摸到红球，表示第一次摸到黑球，表示第二次摸到黑球．

则．

19．已知等差数列的前项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：当时，.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，求得的值，即可求得数列的通项公式；

（2）由（1）求得，进而证得.

【详解】（1）设等差数列的公差为

因为，，可得，解得

所以

故数列的通项公式为；

（2）由（1）有

所以，

故当时，.

20．桃子是夏季最为常见的一种水果，它也是我国三大原生水果之一，并且地位很高，自古以来就有着“桃养人杏伤人”的说法.桃子在我国种植有数千年的历史了，并且种类也非常丰富.经一年的统计（加上桃子损耗），某农户种植桃子每千克投入的肥料费用（单位：元）与利润（单位：元）如下表所示：

(1)已知x与y线性相关，求y关于x的线性回归方程；

(2)在（1）的条件下，如果该农户预计明年该品种桃子每千克投入的肥料费用为5元，产量为1200千克，请估计该农户种植桃子的利润.

附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，.

【答案】(1)

(2)（元）

【分析】（1）结合最小二乘法求解线性回归方程即可；

（2）根据线性回归方程可估计费用为5元时利润值，即可得总利润.

【详解】（1）由题可得，

，

，

所以有，则，

故关于的线性回归方程为；

（2）当时，，

明年一年，该农户种植桃子的利润为（元）.

21．某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了200位顾客购物的相关数据如下表：

(1)求a的值；

(2)为了增加商场销售额度，对一次购物不低于300元的顾客每人发放一个纪念品．现有5人前去该商场购物，用频率估计概率，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望．

【答案】(1)30

(2)分布列见解析，数学期望为

【分析】（1）由顾客总人数可得值；

（2）由题意1人购物获得纪念品的频率即为概率．而，由二项分布概率公式求得概率的分布列，由期望公式计算期望．

【详解】（1）由题意有，解得，故a的值为30．

（2）由（1）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率，

故5人购物获得纪念品的数量服从二项分配，

则，，

，，

，．

则的分布列为：

的数学期望为．

22．每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求的值：

(2)为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据所以频率和为1进行计算;

（2）根据分层抽样可得相应组抽取的人数，则服从超几何分布，根据进行计算求解．

【详解】（1）由频率分布直方图得：.解得；

（2）由频率分布直方图得：

这1000名学生中日平均阅读时间在，两组内的学生人数之比为，

若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取（人）

在日平均阅读时间在内的学生中抽取4人，

现从这10人中随机拍取3人，则服从超几何分布，其可能取值为0，1，2，3，

，，

，，

∴的分布列为：

.