2022-2023学年广西桂林市第五中学高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年广西桂林市第五中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．等差数列中，则公差（    ）

A．4 B．3 C．-4 D．-3

【答案】B

【分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可.

【详解】在等差数列中，

所以有．

故选：B．

2．函数在点处的切线斜率为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】先判断点是否在上，再求函数导数，进而得，即可求得答案.

【详解】

由，可得点在上

可得函数在点处的切线斜率为2

故选：D.

3．在各项都为正数的等比数列中，已知公比为2，且，则

A．33 B．72 C．84 D．189

【答案】C

【分析】根据题意，利用，即可求解.

【详解】由等比数列中，公比，且，

 所以.

故选：C.

4．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为：有个人分个橘子，他们分得的橘子数成公差为的等差数列，问人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差数列求和公式可直接构造方程求得结果.

【详解】设橘子最少的人所得橘子个数为，则，解得：，

即得到橘子最少的人所得的橘子个数是个.

故选：B.

5．已知等差数列的前项和  ，且，则（  ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】由等差前n项和得，结合下标和的性质求的值.

【详解】由题设，

所以.

故选：C

6．在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据等比数列下标和性质和对数运算法则可知所求式子等于，代入可求得结果.

【详解】由等比数列性质可得：

故选：C

7．某学校想了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查名学生，得到如下列联表：

由公式，算得：.下列结论正确的是（  ）

A．有的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．有的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

D．有的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

【答案】D

【分析】对比临界值表，根据独立性检验的思想直接判断即可.

【详解】，，

有的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.

故选：D.

8．已知函数，x=-1为f(x)的极值点，则（    ）

A．f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增

B．f(x)在(-2，-1)上单调递增，在(-1，+∞) 上单调递减

C．f(x)在(-∞，-1)上单调递增，在(-1，+∞)上单调递减

D．f(x)在(-2，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增

【答案】D

【分析】由x=-1为f(x)的极值点，求出的值，再根据的值确定导数的正负从而即可确定函数的单调区间，即可得答案.

【详解】解：因为，

所以，

又因为x=-1为f(x)的极值点，

所以，

解得,

所以，所以定义域为，故排除A,C;

所以，

易知在上为增函数，

又因为，

所以当时，单调递减；当时，单调递增.

故选：D.

二、多选题

9．若，则的值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】AB

【分析】先对求导，从而得到关于的方程，解之即可得解.

【详解】由题得.

故选：AB.

10．如图是y= 的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（    ）

A．当x=﹣1时，取得极小值

B． 在[﹣2，1]上是增函数

C．当x=1时，取得极大值

D． 在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数

【答案】AD

【分析】由导函数的图象，确定导函数的正负，由此得到函数的单调性，由极值的定义判断函数的极值，由此判断四个选项即可.

【详解】解：导函数的图象可知，

当﹣2<x<﹣1时， <0，则单调递减，

当x=﹣1时， =0，

当﹣1<x<2时， >0，则单调递增，

当x=2时，=0，

当2<x<4时，<0，则单调递减，

当x=4时，=0，

当x>4时，>0，则单调递增，

所以当x=﹣1时，取得极小值，故选项A正确；

在[﹣2，1]上是有减有增函数，故选项B错误；

当x=2时，取得极大值，故选项C错误；

在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，故选项D正确.

故选：AD.

11．设函数，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．在处的切线方程为

D．

【答案】BC

【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，对四个选项一一求导，即可验证.

【详解】对于A：因为，所以，所以，故A错误；

对于B：因为，所以，所以，故B正确；

对于C：因为，所以，所以.

而，所以在处的切线方程为，故C正确；

对于D：.故D错误.

故选：BC

12．等差数列的前n项和为，若，公差，则下列说法正确的是（    ）．

A．若，则 B．若，则是中最大的项

C．若，则 D．若，则

【答案】BC

【分析】对于A，由已知和等差中项的性质求得，再由等差数列求和公式可判断；

对于B，由已知得，继而得，，由此可判断；

对于C，由已知得，从而有，故而可判断；

对于D，由已知得，但不能确定是否为负，故而可判断．

【详解】解：对于A，因为，所以，即，所以，又，所以，故A错误；

对于B，由，得，得，

因为，，，

所以是中最大的项，故B正确；

对于C，因为，所以，

又，所以，所以，所以，故C正确；

对于D，因为，所以，但不能确定是否为负，

因此不一定有，故D错误．

故选：BC．

【点睛】方法点睛：等差数列的前n项和有如下性质：

（1）在二次函数的图象上，可以利用二次函数性质求得的最值；

（2），可由的正负确定与的大小；

（3），因此可由的正负确定的正负．

三、填空题

13．己知数列的通项公式为，，则它的第项是         .

【答案】

【分析】将代入通项公式即可.

【详解】，.

故答案为：.

14．某课外兴趣小组对某地区不同年龄段的人群阅读经典名著的情况进行了相关调查，相关数据如下表．

根据表中数据，人群数量与赋值变量之间呈线性相关，且关系式为，则      ．

【答案】

【分析】将样本中心点代入回归直线即可构造方程求得结果.

【详解】由表格数据知：，，

，解得：.

故答案为：.

15．函数的导数是     

【答案】

【分析】根据复合函数求导法则进行求导即可.

【详解】因为，

所以.

故答案为：.

16．对于相关系数，下列说法中错误的是            .

①时，成对样本数据线性相关程度较弱；

②时，表明成对样本数据正相关；

③若线性回归方程中的回归系数，则相关系数；

④越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱.

【答案】①③

【分析】根据样本相关系数的性质，逐一判断即可．

【详解】根据题意，依次分析4个命题：

对于①，当时，成对样本数据之间不存在任何关系，而不是较弱，错误；

对于②，当时，表明成对样本数据正相关，正确；

对于③，若线性回归方程中的回归系数，说明成对样本数据呈负相关，则相关系数，错误；

对于④，越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，正确．

故答案为：①③．

四、解答题

17．某校随机调查了100名学生，统计发现其中有60名学生喜欢户外运动，然后对他

们进行了一场体育测试，得到如下不完整的2×2列联表：

(1)补全2×2列联表；

(2)根据列联表分析，能否有95%的把握认为该校学生体育测试是否优秀与喜欢户外运动有关？

附：，其中.

【答案】(1)表格见解析

(2)有95%的把握认为该校学生体育测试是否优秀与喜欢户外运动有关.

【分析】（1）根据已知条件补全频率分布直方图；

（2）计算的值，由此求得正确答案.

【详解】（1）由题意可补全2×2列联表为：

（2），

则有95%的把握认为该校学生体育测试是否优秀与喜欢户外运动有关.

18．已知等比数列满足，，为数列的前项和.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求的值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等比数列通项公式可构造方程求得公比，进而得到；

（2）利用等比数列求和公式可直接构造方程求得结果.

【详解】（1）设等比数列的公比为，则，解得：，.

（2），，解得：.

19．随着网络的普及，网上购物的方式己经受到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的成交量（单位：件）与店铺的浏览量（单位：，次）之间的对应数据如下表所示：

(1)根据表中数据画出散点图；

(2)根据表中数据求出关于的线性回归方程；

(3)当这种商品的成交量突破100件（含100件）时，预测这家店铺的浏览量至少为多少.

【答案】(1)作图见解析

(2)

(3)608

【分析】（1）根据表中的数据直接描点即可，

（2）根据表中的数据结合回归方程公式求解即可，

（3）由（2）所求得方程可得，从而可求得结果.

【详解】（1）散点图如图所示

（2）根据散点图可得，变量与之间具有线性相关关系，

，，

，

，

所以，

，

所以所求的回归方程为

（3）根据上面求出的回归直线方程可知，当成交量突破100件（含100件），即

时，得，

所以预测这家店铺的浏览量至少为608.

20．已知函数，当时，的极大值为；当时，有极小值．求：

（1）的值；

（2）函数的极小值．

【答案】（1）a =-3，b =-9，c=2

（2）-25

【分析】利用函数f（x）在x=x0取得极值的充要条件f′（x0）=0且f′（x）在x=x0的左右附近符号相反即可得出a，b的值，再利用极大值即可得到c，从而得出答案．

【详解】(1)∵f(x) = x3+ ax2+bx + c ,∴f′ (x) = 3x2+2ax +b

∵当x =- 1 时函数取得极大值7，当x = 3时取得极小值

∴x =- 1 和x = 3是方程f′ (x)=0的两根，有

∴， ∴f(x) = x3-3x2-9x+c.

(2)∵当x = -1时，函数取极大值7，∴(-1)3–3(-1)2–9(-1)+c= 7,∴c=2.

此时函数f(x)的极小值为：f（3）= 33-3×32-9×3×2=-25.

【点睛】熟练掌握函数f（x）在x=x0取得极值的充要条件是解题的关键．

21．已知等比数列的公比，且满足：，且是的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求使成立的正整数的最小值．

【答案】（1）；（2）6．

【详解】试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项和公比表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出的表达式后，要求其前项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值．

试题解析：（1）∵是的等差中项，∴，

代入，可得，

∴，∴，解之得或，

∵，∴，∴数列的通项公式为

（2）∵，

∴，．．．．．．．．．．．．．．．①

，．．．．．．．．．．．．．②

②—①得

∵，∴，∴，

∴使成立的正整数的最小值为6

【解析】等比数列的通项公式，错位相减法．

22．已知函数.

(1)求曲线过点的切线方程；

(2)若函数有一个零点，求实数m的取值范围.

【答案】(1)或；(2).

【分析】(1)对f(x)求导，设出切点坐标，由已知建立方程组求解，再由直线的点斜式写出方程即得；

(2)讨论函数f(x)的性质，作出其图象，利用数形结合的思想求解.

【详解】(1)定义域为，，

设切点为，斜率为k，

则，解得或，

所以，切线方程为或，

即或.

(2)，函数y=f(x)的图象与直线y=m公共点个数即为g(x)的零点个数，

由(1)知，则x<0或x>1时，，0<x<1时，，

所以f(x)在、上都是单调递增的，在上单调递减，在x=1处取得极小值f(1)=e，且x<0时f(x)>0，f(x)的图象如图：

因为g(x)只有一个零点，所以.

【点睛】求函数过某点的切线方程，先设出切点坐标，求出函数的导函数，根据条件建立方程组再求解.