2022-2023学年广西钦州市第一中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年广西钦州市第一中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用交集的运算求解即可.

【详解】解：∵集合，

，

故选：C.

2．函数在区间上严格增，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据二次函数图象的开口方向与对称轴性质，列出关于的不等式即可求解.

【详解】依题意知，

函数的图象对称轴为，开口向上，

因为函数在区间上严格增，

所以，解得.

故选：C.

3．已知扇形的周长为4，扇形圆心角的弧度数为2，则扇形的弧长为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】A

【分析】根据扇形的周长和弧长公式进行求解.

【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，

解得.

故选：A.

4．已知、，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由不等式的基本性质可判断A选项；取，，可判断BCD选项.

【详解】对于A选项，因为，由不等式的基本性质可得，A对；

对于B选项，取，，则，B错；

对于C选项，取，，则，C错；

对于D选项，取，，则，D错.

故选：A.

5．已知向量，且，则（    ）

A． B． C．6 D．-9

【答案】B

【分析】根据平面向量平行的坐标公式计算即可.

【详解】因为向量，且，

所以，解得.

故选：B.

6．如图所示，在中，为边上的中线，若，，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接根据向量加法与减法运算求解即可.

【详解】解：因为在中，为边上的中线，

所以

故选：C

7．已知，则

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用三角函数的诱导公式和化弦为切，化简得，解方程即可.

【详解】

 ，解得，

故选D．

【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数的商数关系，属于基础题.

8．下列命题正确的个数是（    ）

①命题“”的否定形式是“”；

②函数的单调递增区间是；

③函数是上的增函数，则实数的取值范围为；

④函数的零点所在的区间，且函数只有一个零点.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】对于①，特称命题否定为全称命题即可，对于②，先求函数的定义域，再利用换元法求解，对于③，每一段上都为增函数，再考虑端点处的函数值，对于④，利用零点存在性定理判断.

【详解】对于①，命题“”的否定形式是“”，所以①正确，

对于②，由，得，令，则，因为在上递增，在上递减，在定义域内递减，所以在上递减，在上递增，所以②错误，

对于③，因为是上的增函数，所以，解得，所以③错误，

对于④，因为和在上递减，所以在上递减，因为，所以函数只有一个零点且在上，所以④正确，

故选：B

二、多选题

9．下列各式中能化简为的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】由向量的加法与减法法则逐一验证即可

【详解】对于A：，故A 错误；

对于B：，故B正确；

对于C：，故C正确；

对于D：，故D正确.

故选：BCD

10．下列不等式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据函数的单调性，即可判断A、B项；根据诱导公式将角化到同一单调区间，进而根据函数的单调性，即可判断C项；根据诱导公式化为同一三角函数，进而根据函数的单调性，即可判断D项.

【详解】对于A项，因为在上单调递增，所以，故A项错误；

对于B项，因为在上单调递减，所以，故B项错误；

对于C项，因为在上单调递减，所以.

又，所以，故C项正确；

对于D项，因为在上单调递增，所以.

又，所以，故D项正确.

故选：CD.

11．下列说法中正确为（    ）

A．已知函数，若，有成立，则实数a的值为4

B．若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为

C．设集合，则“”是“”的充分不必要条件

D．函数的值域为

【答案】ACD

【分析】根据二次函数对称轴判断A选项，根据分类讨论恒成立判断B选项，根据充要条件判断C选项，根据正弦函数值域判断D选项.

【详解】对于A：由成立，可得函数的对称轴为，又二次函数的对称轴为，

所以，解得，故A正确；

对于B：当时，可得成立，满足题意，当时，可，

解得，综上k的取值范围为，故B错误；

对于C：当时，，所以，充分性成立，若，则或，

解得 或，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；

对于D：因为函数，，

所以，即函数的值域为，  故D正确.

故选：ACD

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的值域是R B．在定义域内是增函数

C．的最小正周期是 D．的解集是

【答案】AC

【分析】根据正切函数的性质，即可判断A项；求出函数的单调递增区间，即可判断B项；由周期公式，求出周期，即可判断C项；由时，由的解，即可得出，求解不等式即可得出解集，判断D项.

【详解】对于A项，根据正切函数的性质，可知的值域是R，故A项正确；

对于B项，由可得，，所以的定义域为.

由可得，，所以在每一个区间上单调递增，故B项错误；

对于C项，由已知可得，的最小正周期是，故C项正确；

对于D项，当时，由，可得.

则由可得，，

所以的解集是，故D项错误.

故选：AC.

三、填空题

13．已知点和向量，若，则点的坐标为________．

【答案】

【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由求向量的坐标，由此可得点的坐标.

【详解】设为坐标原点，

因为，，

故，

故点的坐标为．

故答案为：.

14．某校高一年级､高二年级､高三年级学生人数之比为，现采用分层抽样的方法从高中各年级共抽取同学参加“流行病学”调查，则高一年级应抽取__________名学生.

【答案】

【分析】利用分层抽样的公式计算可得答案．

【详解】高一年级应抽取的学生人数为

故答案为：

15．将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为________．

【答案】

【分析】由题意利用函数的图象变换规律，即可得到结果．

【详解】将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式，即.

故答案为：.

16．，若，则______．

【答案】0

【分析】利用函数的奇偶性进行求解.

【详解】因为，令，

所以，

所以，即，

所以.

故答案为：0.

四、解答题

17．已知角的终边经过点．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用三角函数的定义即可求解；

（2）三角函数的定义求出的值，再根据诱导公式，即可求出结果．

【详解】（1）点P到坐标原点的距离．

∵，

∴，

∴．

（2）由三角函数的定义，可得，

∴．

18．如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为、、．

(1)写出向量，的坐标；

(2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据向量的坐标表示求解；（2）根据平行四边形中对边平行且相等的关系转化为向量的相等关系，利用坐标表示即可求解.

【详解】（1），

.

（2）设，所以

四边形ABCD是平行四边形，

所以，所以解得，

所以.

19．已知为第三象限角，且．

(1)化简；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据诱导公式化简即可；

（2）利用三角函数平方关系，结合角的象限，计算即可.

【详解】（1）

（2）∵，

∴

又为第三象限角，

∴

20．已知对数函数过点.

（1）求函数的解析式，并写出函数的定义域；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1），定义域为；（2）

【分析】（1）设，代入点计算即可；

（2）利用对数函数的单调性及定义域列不等式组求解即可.

【详解】解：（1）设，

，

所以，定义域为；

（2）由已知得，

所以的取值范围是.

【点睛】本题考查待定系数法求对数函数的解析式，考查对数函数单调性的应用，是基础题.

21．已知函数．

(1)求函数图像的对称轴与对称中心；

(2)求函数的单调递减区间．

(3)求函数在区间上的值域.

【答案】(1)对称轴为，对称中心为；

(2)

(3)

【分析】（1）利用余弦函数的对称中心和对称轴性质计算可得；

（2）利用余弦函数的单调递减区间计算求解即得；

（3）由的取值范围，求出的取值范围，再结合余弦函数的值域计算可得；

【详解】（1）由，，得，

∴函数图像的对称轴为，

由，得，

∴函数图像的对称中心为；

（2）由，得，

∴函数的单调递减区间是．

（3）当时，，，

所以，

故函数在区间上的值域为：

22．已知函数，其中．如图是函数在一个周期内的图象，A为图象的最高点，B,C为图象与x轴的交点，为等边三角形，且是偶函数．

(1)求函数的解析式；

(2)若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据正三角形求出周期，结合偶函数可求，进而得到答案；

（2）先化简目标式，利用换元法，结合二次函数区间最值可得答案.

【详解】（1）由可知，点A的纵坐标为；

∵为等边三角形，∴，即函数的周期，∴，

∴，

∵，∴，

又是偶函数，∴，

∴，∴.

（2）

∵对任意恒成立，

∴，

即对任意恒成立，

令，即在上恒成立．

设，对称轴，

当时，即时，，解得（舍）；

当时，即时，，解得，∴；

当时，即时，，解得．

综上，实数m的取值范围为．