2022-2023学年广西崇左市天等县民族高中高二下学期数学期中考试试题含答案

2022-2023学年广西崇左市天等县民族高中高二下学期数学期中考试试题

一、单选题

1．已知函数，设是函数的导函数，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】利用导数的运算法则求出导数，再代值计算作答.

【详解】函数，求导得：，

所以.

故选：A

2．设等比数列的前项和为，若，且成等差数列，则（    ）

A．63 B．31 C．-63 D．-31

【答案】A

【分析】设出公比，根据成等差数列列出方程，求出公比，利用等比求和公式求出答案.

【详解】设公比为，

因为成等差数列，所以，

则，解得：或0（舍去）.

因为，所以，故.

故选：A.

3．已知等比数列的各项都是正数，为其前项和，若，，则

A．40 B．56 C．72 D．120

【答案】D

【解析】根据等比数列的片段求和性质求解即可.

【详解】因为,,,成等比数列,所以,

,,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等比数列片段求和的性质,属于基础题.

4．若，（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式和二倍角公式即可求解.

【详解】∵，∴.

故选：C.

5．直线与圆交于两点，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由圆方程求圆心坐标和半径，利用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，结合弦长公式求.

【详解】方程可化为，

所以圆的圆心的坐标为，半径为，

圆心到直线的距离，

所以，

故选：D.

6．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ）

A．6 B．12 C．78 D．156

【答案】C

【分析】由条件根据等差数列前项和公式结合等差数列性质可求.

【详解】因为，

又，

所以，

故选：C.

7．设函数是函数的导函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据余弦函数的导数公式求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：B.

8．函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．和

【答案】D

【分析】求导，根据导函数的符号求解.

【详解】 ，依题意， 或 ；

故选：D.

二、多选题

9．下列关于双曲线的结论中，正确的是（    ）

A．离心率为 B．焦距为

C．两条渐近线互相垂直 D．焦点到渐近线的距离为1

【答案】ACD

【分析】根据双曲线的基本知识对选项一一验证即可.

【详解】双曲线，可得，，，

则双曲线的离线率为，故A正确；

焦距，故B错误；

渐近线为与，且斜率之积为-1，即两条渐近线互相垂直，故C正确；

焦点到渐近线的距离为，故D正确；

故选：ACD.

10．已知函数，则下列结论中正确的是（    ）

A． 有两个极值点

B．当时，在上是增函数

C．当时，在上的最大值是1

D．当时，点是曲线的对称中心

【答案】BCD

【分析】求函数的导函数，根据极值点的定义判断A，结合导数判断函数的单调性求最值，判断B，C，结合奇函数的定义判断D.

【详解】因为，

所以，

当时，，当且仅当时，

函数在上单调递增，

函数没有极大值点也没有极小值点，A错误；

当时，，

当时，，函数在上单调递增，B正确；

当时，，

令可得，或，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

又，

所以函数在上的最大值为1，C正确；

当时，，

，

设，

则，，

所以函数为奇函数，

所以函数的图象关于原点对称，

所以函数关于点对称，D正确.

故选：BCD.

11．设抛物线的焦点为，准线为，直线经过点且与交于两点，若，则下列结论中正确的是（    ）

A．直线的斜率为或 B．的中点到的距离为4

C． D．（O为坐标原点）

【答案】ABC

【分析】由题设直线的方程为，，进而联立方程，结合向量关系得或，再依次讨论各选项即可.

【详解】解：由题知焦点为，准线为，

所以，设直线的方程为，，

所以，得，

所以，，①，②，

因为，即，

所以③，

所以，由①②③得或，

所以直线的斜率为，故A选项正确；

所以，，故的中点的横坐标为，

所以，的中点到的距离为，故B选项正确；

当时，，此时，，故；

当时，，此时，，故；故C选项正确；

因为，故不成立，故D选项错误.

故选：ABC

12．设是数列的前n项和，且，，则下列结论中，正确的是（    ）

A．是等比数列 B．是等比数列

C． D．

【答案】BD

【分析】利用与的关系可得的递推关系即可判断A，C；利用与的关系可得的递推关系即可判断B，D．

【详解】由，所以当时，有，两式相减得，

又，，所以数列不是等比数列，故A错误；C错误；

由，得，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，

所以，故B正确；D正确．

故选：BD．

三、填空题

13．若a是4+m，4-m的等差中项，则a=          

【答案】4

【分析】用等差数列性质中，有关于等差中项的公式，即可求得.

【详解】a是4+m，4-m的等差中项，

，

解得，

故答案为：4.

14．曲线在点处的切线方程为            .

【答案】

【分析】再结合导数的几何意义 切线斜率，代入切线方程公式即可．

【详解】因为，

所以，

所以．

故切线方程为．

故答案为：．

15．已知中，，则面积的最大值为    

【答案】

【分析】设，则，根据面积公式得，由余弦定理求得代入化简，由三角形三边关系求得，由二次函数的性质求得取得最大值．

【详解】解：设，则，根据面积公式得

，

由余弦定理可得，

可得：，

由三角形三边关系有：，且，解得：，

故当时，取得最大值，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．

16．已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为                .

【答案】

【分析】设，代入椭圆方程相减，利用中点坐标求得关系，从而可得离心率．

【详解】解：设，，

是线段的中点，

，两式相减可得，

整理得，即，

∵弦的斜率为

，即

．

故答案为：．

四、解答题

17．求下列函数的导函数.

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用函数积的导数公式计算；

（2）利用函数商的导数公式计算.

【详解】（1），

；

（2），

.

18．已知椭圆的左、右焦点分别为，且该椭圆过点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点作一条斜率不为0的直线，直线与椭圆相交于两点，记点关于轴对称的点为点，若直线与轴相交于点，求面积的最大值．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）根据，和计算椭圆的标准方程；（Ⅱ）题意可设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到，根据坐标设出的方程，并得到的面积，代入根与系数的关系，并求最大值.

【详解】（Ⅰ）由椭圆的定义可得，解得 .

又，

所以椭圆的标准方程为

（Ⅱ）由题意可设直线的方程为 .

设，则 .

由，消去可得

，

直线的方程为 .

令，

可得，

令，

则

当且仅当，即时等号成立，

面积的最大值为

【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.

19．已知数列满足，.求数列的通项公式；

【答案】

【分析】由，利用累乘法进行解决即可.

【详解】因为，，所以当时，，则，即，当时，也成立，所以.

20．在中，内角A，B，C对的边长分别为a，b，C，且.

(1)求角A；

(2)若，求面积的最大值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用正弦定理，，据此可得答案；

（2），又由（1）可知，则再利用辅助角公式与三角函数有界性可得答案.

【详解】（1）由正弦定理，

，

又在三角形中，.

则，又，

得，结合，知.

（2）由正弦定理，可知.

则.

又由（1）可知，

则.

，因，则，

故当，即时，取最大值.

21．已知等差数列的前n项和为.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设数列的公差为，列方程求，写出等差数列通项公式；

（2）利用裂项相消法求和.

【详解】（1）设数列的公差为，

因为，

所以，，

解得，，

所以．

（2），

因为

所以．

所以.

22．已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.

【答案】(1)单调增区间；减区间

(2)

【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间；

（2）由可得，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，

，

令可得，列表如下：

所以，函数在上单调递增，在上单调递减；

（2）由，可得，则直线与函数的图象有两个交点，

函数的定义域为，，

由，可得，列表如下：

所以，函数的极大值为，

且当时，，

当时，和函数相比，一次函数呈爆炸性增长，所以，

且，，

又，

根据以上信息，作出其图象如下：

当时，直线与函数的图象有两个交点，

因此，实数的取值范围是.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．