2022-2023学年广西钦州市浦北中学高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年广西钦州市浦北中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．与角终边相同的角的集合是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据终边相同的角的定义可得.

【详解】，所以与角终边相同的角的集合是.

故选：B.

2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对按奇偶分类讨论可得．

【详解】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤≤2nπ＋(n∈Z)，此时的终边和0≤≤的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤≤2nπ＋π＋ (n∈Z)，此时的终边和π≤≤π＋的终边一样．

故选：B．

3．已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案.

【详解】设扇形的半径为，圆心角为，

则，解得.

故选：B

4．已知角的终边过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三角函数的定义求解即可.

【详解】

故选：C

5．已知角A是的内角，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件立 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可求解.

【详解】因角A是的内角，则，

当时，或，

即不一定能推出，

若，则，

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选：B.

6．在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是（    ）

A．梯形 B．矩形

C．正方形 D．平行四边形

【答案】D

【分析】利用向量的加法平行四边形法则求解出答案.

【详解】由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形.

故选：D.

7．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用诱导公式和二倍角的余弦公式得，结合范围即可得到答案.

【详解】，则,

故，又，则.

故选：A.

8．已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.

【详解】由，得，

即函数的单调递减区间为，

令，则函数其中一个的单调递减区间为：

函数在区间内单调递减，

则满足，得，所以的取值范围是.

故选：D.

二、多选题

9．下列命题中，正确的命题为（    ）

A．对于向量，若，则或

B．若为单位向量，且，则

C．若，则非零向量与可以构成一个首尾相接的三角形

D．四边形中，

【答案】BCD

【分析】根据向量的运算法则，直接判断即可

【详解】对于A，只是代表向量的模相等，向量的方向都可以是任意的，错误；

对于B，，则与方向相同或相反，则，正确；

对于C，，则必有，设，，则有，故，则非零向量与可以构成一个首尾相接的三角形，正确；

对于D，根据向量的平行四边形法，四边形中，因为，所以，，整理得，正确；

故选：BCD

10．如图，设两点把线段三等分，则下列向量表达式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】由图和平面向量线性运算逐一判断选项即可.

【详解】由图可得两点把线段三等分，

故，A，B正确；

，故C，D，错误，

故选：AB.

11．已知函数，则（    ）

A．是奇函数 B．的最小正周期为

C．在上是增函数 D．的图象关于点对称

【答案】ABC

【分析】，根据奇偶函数的定义及最小正周期公式判断A，B选项是否正确；

在C中：根据的范围判断在上的单调性；

在D中，根据对称中心处的函数值为0判断是否正确.

【详解】，是奇函数，且最小正周期为，故A，B正确；

当时，，因为在上为增函数，故在上是增函数，C正确；

当时，，故点不是的图象的对称中心，D错误；

故选：ABC.

12．若，则（    ）

A．是图象的对称中心

B．若和分别为图象的对称轴，则

C．在内使的所有实数x值之和为

D．在内有三个实数x值，使得

【答案】AC

【分析】由辅助角公式化简，代入法判断对称中心，由正弦型函数对称轴的性质判断B；画出在上图象，数形结合判断C、D.

【详解】由，

A：，故是图象的对称中心，正确；

B：若为对称轴，则，所以和分别为图象的对称轴，不一定成立，错误；

当，则，故在上图象如下，

由图知：内使的所有实数x关于对称，且仅有两个值，故它们的和为，C正确；

显然只有两个实数x值，D错误.

故选：AC

三、填空题

13．平行四边形的三个顶点的坐标是，则顶点的坐标是           .

【答案】

【分析】设，利用列方程即可求解.

【详解】设顶点的坐标为，

则由题意可得，即，

故，解得，

故的坐标为

故答案为：

14．若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为     .

【答案】-8

【分析】由题得存在实数λ，使得，把代入计算即得解.

【详解】因为不能作为一组基，

所以存在实数λ，使得，

即，

则6λ=3，且kλ=-4，解得λ=，k=-8.

故答案为：

15．已知，则         

【答案】

【分析】利用诱导公式及倍角公式变形计算即可.

【详解】

.

故答案为：.

16．设，其中是正实数.若对一切恒成立，则      .

【答案】0

【分析】由题知，再结合题意得的最大值为，且为函数的对称轴，进而得，再计算函数值即可.

【详解】解：由题知，，

因为对一切恒成立，

所以的最大值为，且为函数的对称轴，

所以，，，解得，

所以， ，即，

所以，，

所以，，

故答案为：

四、解答题

17．已知函数.

(1)求函数的定义域；

(2)求函数的单调区间.

【答案】(1)

(2)单调递增区间为，没有单调递减区间

【分析】（1）由题意利用正切函数的定义域可得，求得的范围，可得函数的定义域.

（2）根据题意利用正切函数的单调增区间可得，由此求得的范围，得到的单调递增区间.

【详解】（1）对于函数，

令，求得，

故函数的定义域为.

（2）令，求得，

可得函数的单调递增区间为，没有单调递减区间.

18．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）通过解方程，结合正切函数的性质进行求解即可.

（2）利用诱导公式，结合（1）的结论、同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】（1）由，或，由；

（2）

19．设是不共线的两个向量．

(1)若，求证：三点共线；

(2)若与共线，求实数的值．

【答案】(1)证明见解析

(2).

【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.

（2）由共线性质求出参数即可.

【详解】（1）证明:因为，

而

所以，

所以与共线，且有公共点，

所以三点共线

（2）因为与共线

所以存在实数，使得，

因为与不共线，

所以，

解得，.

20．已知为锐角，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二倍角的余弦公式结合商数关系及化弦为切即可得解；

（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根据平方关系及商数关系求出，再根据利用两角差的正切公式即可得解.

【详解】（1）；

（2）由，得，

因为为锐角，所以，则，

又因，所以，

所以，

所以，

则.

21．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，．

(1)用表示；

(2)求证：B，E，F三点共线．

【答案】(1)，；

(2)证明见解析

【分析】（1）利用向量的加减法运算以及基底的含义求解；

（2）根据向量的共线定理证明三点共线.

【详解】（1）在中，分别是的中点，

则，

故，；

（2）证明：因为，

，

所以，所以，

又因有公共点，所以三点共线．

22．已知函数在一个周期内的图象如图所示．

(1)求函数的表达式；

(2)把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移个单位，得到函数的图象，若，求函数的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数图象可得，得，由图象和公式求得，由求得，即可求解；

（2）根据三角函数图象的平移伸缩变换可得，利用正弦函数的单调性即可求出函数的值域.

【详解】（1）根据函数图象可得，，

，，

，得，，

又，，，

，，得，，

又，，

；

（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到，

再向下平移一个单位得到，

再向左平移个单位得到，

，

当时，，

又函数在上单调递增，在上单调递减，

，

，即值域为