广西钦州市2022-2023学年高二下学期数学期中考试试卷

广西钦州市2022-2023学年高二下学期数学期中考试试卷

一、单选题

1．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（　　）

A．在内是增函数 B．在内是增函数

C．在时取得极大值 D．在时取得极小值

2．函数的单调递减区间为（　　）

A． B． C． D．

3．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为（　　）

A．18 B．24 C．28 D．36

4．的展开式中x的系数为（　　）

A．560 B．1120 C．-35 D．280

5．随机变量X的分布列如表所示，若，则（　　）

A．3 B． C．5 D．9

6．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取1件，则取到次品的概率是（　　）

A． B． C． D．

7．函数 图象的大致形状是（　　）  

A． B．

C． D．

8．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止对共取了X次球，则等于（　　）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．下列结论中正确的有（　　）

A． B．

C． D．

10．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为 ，则下列说法正确的是（　　）  

A．该地水稻的平均株高为100cm

B．该地水稻株高的方差为10

C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大

D．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大

11．已知数列其前n项和为，则下列选项正确的是（　　）

A．若数列为等比数列，且，则

B．若数列为等差数列，且，则

C．若数列为等差数列，，的最大值在或时取得

D．若数列为等比数列，则也为等比数列

12．已知抛物线的焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则（　　）

A．最小值为2

B．若，则

C．若，则

D．若点P不在x轴上，则

三、填空题

13．已知 ，则 　     　， 　     　. 

14．曲线在点处的切线与轴交于点　           　．

15．某班学生考试成绩统计如下：数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是　     　．

16．已知是函数的极值点，则a=　     　.

四、解答题

17．某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球.抽奖顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x表示取出的小球上的数字，当时，该顾客积分为3分，当时，该顾客积分为2分，当时，该顾客积分为1分.以下是用电脑模拟的抽签，得到的30组数据如下：

（1）以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖1次，积分为3分和2分的概率：

（2）某顾客抽奖3次，求该顾客至多有1次的积分大于1的概率.

18．在四个数中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求x， y的值.

19．已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，F、G分别为和的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：.

20．已知过定点，且与直线：相切的动圆圆心为.

（1）求圆心的轨迹方程；

（2）过点作直线与轨迹交于、两点，交直线于点，中点记为，求的最小值.

21．已知椭圆：的右焦点为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为2，圆经过椭圆短轴顶点和两个焦点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，点、满足：.试问，是否存在点，使得、、、四点到点的距离均相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

22．已知，函数．

（1）若曲线在点处的切线的斜率为，判断函数在上的单调性；

（2）若，证明：对恒成立．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值

【解析】【解答】A、在内单调递减，选项错误；

 B、在内单调递增，是增函数，选项正确；

 C、在时不是极值点，选项错误；

 D、在时取得极大值，选项错误.
故选：C.

【分析】导数大于0，单调递增，导数小于0，单调递减，再根据 的图象逐项判断即可.

2．【答案】A

【知识点】函数的单调性及单调区间

【解析】【解答】∵，
∴，
∵函数单调递减，
∴，
解得，
故选：A.
【分析】求出函数的导数，导数小于0单调递减，求出x取值范围.

3．【答案】D

【知识点】分类加法计数原理

【解析】【解答】分2种情况讨论，
①5人分成1、2、2三组，仅甲乙2人分到同一个区，
3个地区种任选1个，派遣甲乙，共有3种情况，
剩下的3人分成2组，有3种分法，把2组全排列，共有6种情况，
这种情况种安排情况；
②5人分成1、1、3三组，甲乙与其他三人中的1人，与甲乙安排在一个地方，共有种，
剩下的2人全排列，共有2种情况，这种情况，
2种情况共有种，
故选：D.
【分析】分2种情况讨论，①5人分成1、2、2三组，仅甲乙2人分到同一个区，②5人分成1、1、3三组，甲乙与其他三人中的1人，与甲乙安排在一个地方.

4．【答案】A

【知识点】二项式定理；二项式系数的性质

【解析】【解答】 的展开式的通项公式为
，
令，
解得，
解得，
故选：A.
【分析】
根据题意利用二项式的通项公式，求得展开式中的x的系数.

5．【答案】C

【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

【解析】【解答】 ，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
故选：C.
【分析】根据离散型随机变量的期望和方差公式，求出 的值.

6．【答案】D

【知识点】等可能事件的概率

【解析】【解答】 取到次品的概率是，
故选：D.
【分析】根据概率公式求出即可.

7．【答案】C

【知识点】奇偶函数图象的对称性

【解析】【解答】

则 ，是偶函数，排除B、D.

当 时， 即 ，排除A.

故答案为：C.

【分析】化简函数，确定函数奇偶性，讨论函数在 内正负情况，即可排除所有错误选项.

8．【答案】A

【知识点】相互独立事件的概率乘法公式

【解析】【解答】 表示第12次为红球，则前11次中有9次为红球，
∴，
故选：A.
【分析】根据题意，表示第12次为红球，则前11次中有9次为红球，由n次独立重复事件恰好发生k次概率，列出算式.

9．【答案】A,C,D

【知识点】导数的概念

【解析】【解答】A、，选项正确；

 B、，选项错误；

 C、，选项正确；

 D、，选项正确.

故选：ACD.
【分析】利用求导公式逐项判断即可.

10．【答案】A,C

【知识点】正态密度曲线的特点

【解析】【解答】 ，故 ， ，A符合题意B不符合题意；

，C符合题意；

根据正态分布的对称性知： ，D不符合题意.

故答案为：AC.

【分析】根据函数解析式得到 ， ，A符合题意B不符合题意，根据正态分布的对称性得到C符合题意D不符合题意，得到答案.

11．【答案】B

【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质

【解析】【解答】A、若数列为等比数列，且，则，故选项错误.

 B、若数列为等差数列，且，则，选项正确；

 C、若数列为等差数列，，则，
即，的最大值在或时取得，选项正确；

 D、若数列为等比数列，，不一定是常数，选项错误
故选：BC.

【分析】根据等差数列与等比数列的性质，逐项判断即可.

12．【答案】A,B,C

【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【解答】点，抛物线的准线方程为，

设，，

所以点P在横轴上时有最小值2，所以A符合题意；

若，根据抛物线的对称性可知点P在横轴上，

把代入中，得，，此时，

于是有，所以B符合题意；

因为，显然点P不在横轴上，

则有，

所以直线的方程为代入抛物线方程中，得

，设，

，

，所以C符合题意，

点P不在x轴上，由上可知：，，

，

而，显然，所以D不正确，

故答案为：ABC

【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式、抛物线的性质逐一判断即可.

13．【答案】15；-1

【知识点】二项式定理

【解析】【解答】空一：因为 ，所以该二项式的通项公式为： ，

令 ，所以 ；

空二：在 中，

令 ，所以 ，

令 ，所以 ，因此 ，

故答案为：15；-1

【分析】利用二项式的通项公式即可求出a2，在所给的等式中令 ，即可得到 。

14．【答案】

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】∵，
∴，
，
设直线方程为，
令时，，
切线与轴交于点，
故答案为：.
【分析】求导后求出斜线的斜率，求出切线方程，求出 轴交于点 .

15．【答案】0.2

【知识点】概率的意义；等可能事件

【解析】【解答】根据题意设这个班有100人，
则数学不及格15人，语文不及格有5人，都不及格的人数为3人，数学不及格的人中有3个语文不及格，
∴已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是：
，
故答案为：0.2.
【分析】根据题意设这个班有100人，则数学不及格15人，语文不及格有5人，都不及格的人数为3人，数学不及格的人中有3个语文不及格，求出不及格的概率.

16．【答案】1

【知识点】利用导数研究函数的极值

【解析】【解答】由，
得 ，
故 ，
则 a=1 ，
经检验结果成立.
故填：1.
【分析】极值点处的导数一定为0，进而可以求出a，注意一定要验证是否不单调

17．【答案】（1）解：由题意可知某顾客抽奖1次，积分为3分的频率是，

则估计某顾客抽奖1次，积分为3分的概率为.

某顾客抽奖1次，积分为2分的频率是，

则估计某顾客抽奖1次，积分为2分的概率为.

（2）解： 由（1）可知某顾客抽奖1次，积分为1分的概率是，

则某顾客抽奖1次，所得积分是1分和所得积分大于1分是等可能事件.

设某顾客抽奖1次，积分为1分，记为A，积分大于1分，记为a，

则某顾客抽奖3次，每次所得积分的情况为aaa，aaA，aAA，aAa，AAa，AAA，AaA，Aaa，

共8种，其中符合条件的情况有aAA，AAa，AAA，AaA，共4种，

故所求概率.

【知识点】等可能事件；等可能事件的概率

【解析】【分析】 (1)、 由题意可知某顾客抽奖1次，积分为3分的频率是，则估计某顾客抽奖1次，积分为3分的概率为.某顾客抽奖1次，积分为2分的频率是，则估计某顾客抽奖1次，积分为2分的概率为.
(2)、 由（1）可知某顾客抽奖1次，积分为1分的概率是，

则某顾客抽奖1次，所得积分是1分和所得积分大于1分是等可能事件.设某顾客抽奖1次，积分为1分，记为A，积分大于1分，记为a，则某顾客抽奖3次，每次所得积分的情况为aaa，aaA，aAA，aAa，AAa，AAA，AaA，Aaa，共8种，其中符合条件的情况有aAA，AAa，AAA，AaA，共4种.

18．【答案】解：由题意2，，8成等比数列得：；由，8，成等差数列得：，

联立可解得：当=4时，=12；当=4时，=20.

故答案为：，或.

【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质

【解析】【分析】根据等比数列的性质求x， 由，8，成等差数列得求出y.

19．【答案】（1）证明：连接AC，由已知F、G分别为和的中点，
 

，又面ABCD，面ABCD，

平面；

（2）证明：底面是正方形，

，

又底面，面ABCD，

，面，面，

面，又面，

.

【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质

【解析】【分析】 (1)、 连接AC，由已知F、G分别为和的中点，根据直线平行平面的判定定理证明即可.
(2)、证明，，面，垂直平面，则垂直平面中的直线.

20．【答案】（1）解：由题意可知，圆心到点的距离等于它到直线：的距离，
 

所以圆心的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，

所以所求轨迹的方程为：.

（2）解：设直线的方程为，与抛物线方程联立消去得，

设，则，所以，

易得，

所以

（当且仅当时取得等号）

所以的最小值为16

【知识点】轨迹方程

【解析】【分析】 (1)、 由题意可知，圆心到点的距离等于它到直线：的距离，所以圆心的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，所以所求轨迹的方程为：.
(2)、 设直线的方程为，与抛物线方程联立消去得，设，则，所以，易得，再根据向量的运算求出即可.

21．【答案】（1）解：设点的坐标为.

因为过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为2，

所以点在椭圆上，即.

又圆经过椭圆短轴顶点和两个焦点，所以，所以.

故椭圆的标准方程为.

（2）解：由题意可知，直线的方程为：，代入，

整理得.

设，，则，，

所以由，得，，

所以线段垂直平分线的方程为：，

线段垂直平分线的方程为：.

由，得交点.

不妨设，由，得，

所以，

，

所以，

故存在点，使得、、、四点到点的距离均相等.

【知识点】椭圆的标准方程

【解析】【分析】 (1)、 设点的坐标为.因为过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为2，所以点在椭圆上，即.又圆经过椭圆短轴顶点和两个焦点，所以，所以.
(2)、 由题意可知，直线的方程为：，代入，整理得.设，，则，，所以由，得，，所以线段垂直平分线的方程为：，线段垂直平分线的方程为：.

22．【答案】（1）解：∵，

∴，

∴，

∴.∴，

当时，，，，∴，

∴函数在上单调递增.

（2）证明：设，，

令，得，递增；令，得递减.

∴，∵，∴，∴.

设，令得，

令，得递增；令，得递减.

∴，

∵，∴，∴，∴，∴.

又，∴，即.

【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题

【解析】【分析】 (1)、 求出的导函数，求出，证明函数单调性.

(2)、 构造函数 ，求导，确定最小值 ，，  再构造函数 ，求导，确定最小值， ，再证明 成立.