2022-2023学年江苏省南京师范大学苏州实验学校高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江苏省南京师范大学苏州实验学校高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．记全集，集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先求出集合A和集合B，再根据补集和交集运算即可求出.

【详解】或，，

，

.

故选：C.

【点睛】本题考查集合的补集和交集的混合运算，其中涉及到一元二次不等式和指数不等式的求解，属于基础题.

2．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】“，”为真命题可转化为恒成立，可得，根据充分必要条件可选出答案．

【详解】若“，”为真命题，得恒成立，只需，

所以时，不能推出“，”为真命题，

“，”为真命题时推出，

故是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件，

故选：A．

【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

3．已知函数的图像如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】结合图象，判断出的大小关系.

【详解】由题图可知函数的图像在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数，所以.

的斜率为，其比在处的切线的斜率小，但比在处的切线的斜率大，所以.

故选:B

4．为了研究某班学生的听力成绩（单位：分）与笔试成绩（单位：分）的关系，从该班随机抽取20名学生，根据散点图发现与之间有线性关系，设其回归直线为，已知，，，若该班某学生的听力成绩为26，据此估计其笔试成绩约为（    ）

A．99 B．101 C．103 D．105

【答案】C

【分析】计算，得到中心点，带入回归方程得到，带入数据得到答案.

【详解】，故；，故，

故点在回归直线上，即，得，

即，当时，代入计算得到.

故选：C.

5．如图，在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（    ）

A．96种 B．64种 C．32种 D．16种

【答案】B

【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法数，再利用分步计数原理即可求出结果.

【详解】根据题意，分3步进行，

第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有种排法；

第二步，排第一步中剩余的一组数，共有种排法；

第三步，排数字5和6，共有种排法；

由分步计数原理知，共有不同的排法种数为.

故选：B.

6．的展开式中的系数为，则该二项式展开式中的常数项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，再令的指数为零，求出参数后代入展开式通项即可得解.

【详解】的展开式通项为，

则，因为，则，

，令，可得，则，得，

因为，在中，令，可得，

因此，展开式中的常数项为.

故选：D.

7．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案.

【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；

当分为3,1,1人时，有种实习方案，

当分为2,2,1人时，有种实习方案，

即共有种实习方案，

其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种，

故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为，

故选：D.

8．已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，，即该方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围.

【详解】解：设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且，

又，则公切线的斜率，则，所以，

则公切线方程为，即，

代入得：，则，整理得，

若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，

设，则，令得，

当时，，单调递增，时，，单调递减，

又可得，则时，；时，，则函数的大致图象如下：

所以，解得，故实数a的取值范围为.

故选：B.

【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为，且，，且，可得，即有，得公切线方程为，代入切点将双变量方程转化为单变量方程，根据含参方程进行“参变分离”得，转化为一曲一直问题，即可得实数a的取值范围.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍；

B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；

C．线性相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；

D．在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定.

【答案】BD

【分析】根据方差性质判断A；根据残差图的意义判断B；根据相关系数的含义判断C；根据回归模型中，预报变量y的值与解释变量的关系判断D.

【详解】对于A，将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的倍，A错误；

对于B，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，正确；

对于C，线性相关系数r的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强；

反之，相关系数r的绝对值越接近于0，线性相关性越弱，C错误；

对于D，预报变量y的值由解释变量x和随机误差e共同确定，x只能解释部分y的变化

即在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定，正确；

故选：BD

10．函数的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可.

【详解】，

当时, ,A选项正确；

，

，

,

时, 有两个根,且时

,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误；

当时, 有两个根,且此时

,故B选项正确.

故选：ABC．

11．已知n为满足能被整除的正整数的最小值，则的展开式中，下列结论正确的是（    ）

A．第项系数最大 B．第项系数最大

C．末项系数最小 D．第项系数最小

【答案】AD

【分析】利用组合公式以及二项式定理，得到能被9整除的正整数的最小值是，求出的值，然后利用二项式展开式的通项公式研究系数，即可得答案

【详解】因为

，

因为，

所以能被9整除的正整数的最小值是，得，

所以，

所以的展开式中，二项式系数最大的项为第6项或第7项，

因为第7项的系数为正数，第6项的系数为负数，

所以第7项系数最大，第6项系数最小，

故选：AD

12．甲口袋中有个红球，个白球和个黑球，乙口袋中有个红球，个白球和个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ）

A．

B．

C．事件与事件相互独立

D．，，是两两互斥的事件

【答案】BD

【分析】根据条件概率求得，由全概率公式求得，以及互斥事件、独立事件的概念判断各选项．

【详解】解：，，．

因为，

所以．

同理，．

因为，，是两两互斥的事件，由全概率公式得

因为，

所以选项错误．

综上，选项错误，选项正确，选项正确．

故选：BD．

【点睛】本题考查条件概率，解题关键是正确理解事件是互斥事件，由全概率公式有．

三、填空题

13．已知集合，，若，则实数m可能的取值为      .

【答案】0、1、

【分析】分，和三种情况，进行求解，得到答案.

【详解】若时，，满足要求，

若，则，

若，则，解得，

综上：实数m可能的取值为0、1、.

故答案为：0、1、

14．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为              .

【答案】

【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.

【详解】设切线的切点坐标为，

，所以切点坐标为，

所求的切线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

15．若，则      .

【答案】

【分析】根据函数的求导法则以及复合函数的求导法则，以及利用赋值法即可求得答案.

【详解】对两边求导，

可得，

令，则，

故答案为：

四、双空题

16．函数的单调增区间为        ；若对，，均有成立，则的取值范围是          ．

【答案】         

【分析】利用导数直接求出的单调增区间即可；变形给定不等式，再构造函数，借助其单调性即可作答.

【详解】函数定义域为，，当时，，当时，，

则有在上单调递增，在上单调递减，

所以的单调增区间是；

因，，均有成立，不妨令，

于是得，

令，则有，，恒成立，从而得在上单调递减，

因此，，，而在上单调递减，则当时，，即，

所以的取值范围是.

故答案为：；

五、解答题

17．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单.

(1)3个舞蹈节目两两互不相邻，有多少种排法?

(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法?

【答案】(1)14400

(2)37440

【分析】（1）先在除去开始和结尾的位置选3个位置排舞蹈节目,再排5个演唱节目即可；

（2）将8个节目全排,再减去前四个节目没有舞蹈节目的排法，即可得解.

【详解】（1）先排5个演唱节目有种方法种数，再把3个舞蹈节目用插空法排在演唱节目的首尾或之间，由种方法种数，所以一共有种.

（2）前四个节目要有舞蹈节目，有

18．2021年7月25日，在东京奥运会自行车公路赛中，奥地利数学女博士安娜·基秣崔天以3小时52分45秒的成绩获得冠军，震惊了世界！广大网友惊呼“学好数理化，走遍天下都不怕”．某市对中学生的体能测试成绩与数学测试成绩进行分析，并从中随机抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：

(1)根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“体能优秀”还是“体能一般”与数学成绩有关？（结果精确到小数点后两位）．

(2)①现从抽取的数学优秀的人中，按“体能优秀”与“体能一般”这两类进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人，求其中至少有2人是“体能优秀”的概率；

②将频率视为概率，以样本估计总体，从该市中学生中随机抽取10人参加座谈会，记其中“体能优秀”的人数为X，求X的数学期望和方差．

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】(1)不能，理由见解析；

(2)①，②，

【分析】（1）运用公式求出，比较得出结论.

（2）①先用分层抽样得到“体能优秀”与“体能一般”的人数，再利用公式计算至少有2人是“体能优秀”的概率.

②根据已知条件知此分布列为二项分布，故利用数学期望和方差的公式即可求出答案．

【详解】（1）由表格的数据可得，，

 故不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“体能优秀”还是“体能一般”与数学成绩有关.

（2）①在数学优秀的人群中，“体能优秀”与“体能一般”的比例为

“体能一般”的人数为，

“体能优秀”的人数为

故再从这10人中随机选出4人，其中至少有2人是“体能优秀”的概率为.

②由题意可得，随机抽取一人“体能优秀”的概率为，且

故，

19．已知展开式中第3项和第7项的二项式系数相等

（1）求展开式中含的项的系数；

（2）系数最大的项是第几项？

【答案】(1)；(2)第3项或第4项.

【分析】(1)利用二项式系数的性质求出n值，再求出二项展开式的通项即可求出指定项的系数；

(2)利用(1)的信息根据系数最大列出不等式组即可作答.

【详解】（1）依题意，，由组合数的性质得，

于是得展开式的通项，

由得，则，

所以展开式中含的项的系数为；

（2）令Tr＋1项的系数最大，由(1)得，即，

整理得，解得，而，从而得或，

所以展开式中系数最大项是第3项或第4项.

20．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设，求证：当时，恒成立.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）分别在和两种情况下，根据的正负可得单调区间；

（2）将问题转化为在上恒成立，利用导数可求得，由此可证得结论.

【详解】（1）由题意得：定义域为，；

①当时，，则在上恒成立，

的单调递减区间为，无单调递增区间；

②当时，令，解得：，

当时，；当时，；

的单调递增区间为，单调递减区间为；

综上所述：当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由得：；

令，则，，

当时，，在上单调递增，

，，，使得，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

又，，，即在上恒成立，

当时，恒成立.

【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到含参数函数单调性的讨论、利用导数证明不等式的问题；证明不等式的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数最大值的求解问题，通过导数得到函数单调性，进而确定最大值.

21．某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据，，其中表示连续用药i天，表示相应的临床疗效评价指标A的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：，，，，，其中.

(1)试判断与哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并建立y关于x的回归方程；

(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.

（i）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；

（ii）若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率.

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

【答案】(1)适宜，

(2)（i）；（ii）

【分析】（1）判断出适宜作为y关于x的回归方程类型，利用公式求出y关于x的回归方程；（2）（i）设出事件，利用全概率公式进行求解，（ii）在第一问的基础上，利用条件概率进行求解.

【详解】（1）刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓，故适宜作为y关于x的回归方程类型.

令，得，于是，

因为，，所以，，

所以，，即；

（2）（i）设“随机抽取一件该企业生产的药品为不合格”，

“随机抽取一件药品为第1条生生产线生产”，

“随机抽取一件药品为第2条生生产线生产”，

则，，

又，，于是

.

（ii）.

22．已知函数．

(1)讨论的极值点个数；

(2)若有两个极值点，且，当时，证明：．

【答案】(1)当时，函数没有极值点；当时，函数有两个极值点．

(2)证明见解析

【分析】（1）求函数的导函数，分析函数的单调性，结合极值的定义求其极值点的个数；

（2）由题意可得是方程的两根，先利用作差法结合导函数证明，再证明，则可转化为，再利用导函数求解即可.

【详解】（1）已知，则，

令，则，

当时，，

所以在上单调增减，在上单调递增，

则，

①当时，恒成立，故在上无极值点；

②当时，，显然，

则在上有一个极值点，

又，

令，

故在上单调递增，又，则，则在上有一个极值点，

综上，当时，函数没有极值点；当时，函数有两个极值点．

（2）由（1）中知，则是方程的两根，

不妨令，则，

令解得，

所以在单调递减，在单调递增，大致图像如图所示，

由图像可知当时，，，

下先证（*）

由，两边取对数得，作差得，

（*）等价于证明，

令，

，

故在上单调递增，从而，即证得，

所以，

再证明，

令，

故在上单调递减，则，

所以，

再令，

则在上单调递增，

故，

即证得．

【点睛】判断函数极值点的个数问题，既是判断其导数有无变号零点的问题，解答时要注意判断导数的正负时，要进行分类讨论，并能结合零点存在定理，判断导函数的零点个数，从而判断函数的极值点问题；本题第2问的关键点在于借助是方程的两根得到，将转化为，再利用导函数求解即可.