广西钦州市第四中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）
展开广西钦州市第四中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题
一、单选题（本大题共12小题，共60分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 已知，，则直线通过( )
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
- 已知点，，且满足，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
- 以下说法中，不正确的个数为( )
“”是“，共线”的充要条件
若，则存在唯一的实数，使得若，，则
若为空间的一组基，则构成空间的另一组基
A. B. C. D.
- 已知空间中三点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
- 已知正方体的棱长为，对角线与相交于点，则有．( )
A. B. C. D.
- 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，直线交轴于点，若，则点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
- 已知点在抛物线：上，则的焦点到其准线的距离为( )
A. B. C. D.
- 已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
- 设抛物线的顶点为坐标原点，焦点的坐标为若该抛物线上两点，的横坐标之和为，则弦的长的最大值为( )
A. B. C. D.
- 设，，向量，，，且，，则 ( )
A. B. C. D.
- 下列关于空间向量的命题中，错误的是( )
A. 若非零向量，，满足，，则有
B. 任意向量，，满足
C. 若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面
D. 已知向量，，若，则为锐角
- 已知，，，若、、三向量共面，则实数等于( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
- 如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后．某学生得出下列四个结论：
； ；
三棱锥是正三棱锥；
平面的法向量和平面的法向量互相垂直．
其中正确的结论是 写出所有正确结论的序号
- 已知点在直线上，过点作圆的切线，切点分别是，的中点为，若点到直线的距离为，则点的坐标为 ．
- 与圆外切且与直线相切于点的圆的方程为 ．
- 抛物线上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 本小题分
已知直线经过点，圆．
若直线经过圆的圆心，求直线的方程
若直线与圆相切，求直线的方程
若直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
- 本小题分
已知直线和点．
求经过点，且与直线平行的直线的方程
求经过点，且与直线垂直的直线的方程
求点关于直线对称的点的坐标
若正方形的边在直线上，且点为正方形的中心，求直线和的方程． - 本小题分
已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：；；与垂直．
求向量的坐标；
若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值．
- 本小题分
已知向量，．
求；
求在方向上的投影． - 本小题分
在平面直角坐标系中，点到点的距离的倍与它到直线的距离的倍之和记为，当点运动时，恒等于点的横坐标与之和．
求点的轨迹；
设过点的直线与轨迹相交于，两点，求线段长度的最大值．
- 本小题分
已知为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，，点又恰为抛物线的焦点，以为直径的圆与椭圆仅有两个公共点．
求椭圆的标准方程；
若直线与相交于，两点，记点，到直线的距离分别为，，且直线与相交于，两点，记，的面积分别为，．
证明：的周长为定值；
求的最大值．
答案
- 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
13. 14.
15.或 16.
17.由题意可知圆心坐标为，则直线的斜率为，
则直线的方程为，即．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，又圆的半径为，
则圆心到直线的距离为，
解得故直线的方程为，即．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为， ，也成立
故所求直线的方程为或．
由题意可知直线的斜率存在，故可设直线的方程为，
则圆心到直线的距离为，
则，即，解得或．
故所求直线的方程为，或．
即或
18.解：设所求直线的方程为，
将点的坐标代入，得，，
所求直线的方程为．
设所求直线的方程为，将点的坐标代入，
得，，
所求直线的方程为．
设所求点的坐标为，则
，．所求点的坐标为
设直线，的方程分别为，，
，
或，或舍去，直线的方程为
或，直线的方程为．
19.解 设，则由题意可知解得，或或．
向量与向量共线，，
又，，，，
，且，，
与夹角的余弦值为．
20.解：由已知，
故
设为和的夹角，则
所以在上的投影为．
21.解：设点的坐标为，
由题设则，
当时，由得，
化简得；
当时，由得，
化简得；
故点的轨迹是椭圆在直线的右侧部分与抛物线：在直线的左侧部分包括它与直线的交点所组成的曲线，参见图．
图
如图所示，
易知直线与，的交点都是，，
直线，的斜率分别为，， 图
当点在上时，由知，
当点在上时，由知，
若直线的斜率存在，则直线的方程为，
(ⅰ)当，或，即或时，
直线与轨迹的两个交点，都在上，
此时由知，
从而，
由得，
则，是这个方程的两根，
所以，，
因为当，或时，，
，
当且仅当时，等号成立．
(ⅱ)当时，
直线与轨迹的两个交点，分别在，上，
不妨设点在上，点在上，
则知，，
设直线与椭圆的另一交点为，
则，且，
，
所以，
而点，都在上，且，
由(ⅰ)知，
若直线的斜率不存在，则，
此时，
综上所述，线段长度的最大值为．
22.解：因为为抛物线的焦点，故，所以．
又因为以为直径的圆与椭圆仅有两个公共点知：，所以，．
所以椭圆的标准方程为：；
由题知，因为为抛物线的准线，
由抛物线的定义知：，
又因为，等号当且仅当，，三点共线时成立，所以直线过定点．
根据椭圆定义得：
；
(ⅱ)若直线的斜率不存在，则直线的方程为．
因为，，所以．
若直线的斜率存在，则可设直线，设，．
由得，．
所以，．
设，，
由得，，
则，．
所以
．
则
综上知：的最大值等于．
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