2024年高中物理新教材同步 必修第一册第4章　专题强化　动力学中的临界问题

专题强化　动力学中的临界问题

[学习目标]　1.掌握动力学临界、极值问题的分析方法，会分析几种典型临界问题的临界条件(重难点)。2.进一步熟练应用牛顿第二定律解决实际问题(重点)。

临界状态是某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态，有关的物理量将发生突变，相应的物理量的值为临界值。

一、接触与脱离的临界问题

接触与脱离的临界条件

(1)加速度相同。

(2)相互作用力FN＝0。

例1　如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球(重力加速度为g)。

(1)当滑块A以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力刚好等于零？

(2)当滑块以2g的加速度向左运动时，细线上的拉力为多大？(不计空气阻力)

答案　(1)g　(2)mg

解析　(1)由牛顿第三定律知，小球对滑块压力刚好为零时，滑块对小球支持力也为零。此时滑块和小球的加速度仍相同，当FN＝0时，小球受重力和拉力作用，如图甲所示，F合＝，

由牛顿第二定律得F合＝ma，则a＝＝g。

所以此时滑块的加速度a块＝g。

(2)当滑块加速度大于g时，小球将“飘”离滑块，只受细线的拉力和小球的重力的作用，如图乙所示，设细线与水平方向夹角为α，此时对小球受力分析，由牛顿第二定律得FT′cos α＝ma′，FT′sin α＝mg，解得FT′＝mg。

例2　如图，A、B两个物体相互接触，但并不黏合，放置在水平面上，水平面与物体间的摩擦力可忽略，两物体的质量分别为mA＝4 kg，mB＝6 kg。从t＝0开始，推力FA和拉力FB分别作用于A、B上，FA、FB随时间的变化规律为FA＝(8－2t)N，FB＝(2＋2t)N。

(1)两物体何时分离？

(2)求物体B在1 s时和5 s时运动的加速度大小？

答案　(1)2 s　(2)1 m/s2　2 m/s2

解析　(1)设两物体在t1时刻恰好分离(即相互作用的弹力为0)，此时二者的加速度仍相同，由牛顿第二定律得＝，代入数据解得t1＝2 s。

(2)在t＝1 s内，两物体以共同的加速度运动。对A、B系统，由牛顿第二定律有FA＋FB＝(mA＋mB)a1，代入数据解得a1＝1 m/s2

5 s时，A、B两物体已分离，对B物体，由牛顿第二定律有FB＝mBa2

代入数据解得a2＝2 m/s2。

二、相对静止(或相对滑动)的临界问题

如图，物块A放在物块B上，A、B质量分别为m、M，A、B间的动摩擦因数为μ，水平地面光滑，现用水平向右的力F拉A。

(1)若A、B没有发生相对滑动，求A、B的加速度大小。

(2)A、B未发生相对滑动，随着F的增大，A所受的摩擦力如何变化？

(3)A、B发生相对滑动的临界条件是什么？

答案　(1)对A、B整体：F＝(m＋M)a，a＝。

(2)对物块A：Ff＝ma

Ff＝F，随着F增大，Ff增大。

(3)A所受摩擦力达到最大静摩擦力。

两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值。

例3　如图所示，质量为M的长木板位于光滑水平面上，质量为m的物块静止在长木板上，两者之间的动摩擦因数为μ，现对物块施加水平向右的恒力F，若恒力F超过某一临界数值，长木板与物块将发生相对滑动，重力加速度大小为g，物块与长木板之间的最大静摩擦力等于两者之间的滑动摩擦力，则恒力F的临界值为(　　)

A．μmg   B．μMg

C．μmg(1＋)   D．μmg(1＋)

答案　C

解析　物块与长木板恰好不发生相对滑动时，对整体有F＝(M＋m)a，对长木板有μmg＝Ma

解得F＝μmg(1＋)，C正确。

例4　(多选)如图所示，已知物块A、B的质量分别为m1＝4 kg、m2＝1 kg，A、B间的动摩擦因数为μ1＝0.5，A与水平地面之间的动摩擦因数为μ2＝0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，g取10 m/s2，在水平力F的推动下，要使A、B一起运动且B不下滑，则力F的大小可能是(　　)

A．50 N   B．100 N

C．125 N   D．150 N

答案　CD

解析　若B不下滑，对B有μ1FN≥m2g，由牛顿第二定律得FN＝m2a；对整体有F－μ2(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a，则F≥(m1＋m2)g＝125 N，选项C、D正确。

三、绳子断裂或松弛的临界问题

绳子所能承受的张力是有限的，绳子断裂的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是绳子上的张力为零。

例5　一个质量为m的小球B，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A、C两点，如图所示。已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角均为45°，当车以加速度a＝g(重力加速度为g)向左做匀加速直线运动时，求1、2两绳拉力的大小。

答案　mg　0

解析　设当细绳2刚好拉直而无张力时，车的加速度向左且大小为a0，由牛顿第二定律得F1cos 45°＝mg，F1sin 45°＝ma0，可得a0＝g。

因a＝g<a0，故细绳2松弛，拉力为零，设此时细绳1与车厢前壁夹角为θ，有F1′cos θ＝mg，F1′sin θ＝ma，得F1′＝mg。

专题强化练

1．(2022·江苏卷)高铁车厢里的水平桌面上放置一本书，书与桌面间的动摩擦因数为0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。若书不滑动，则高铁的最大加速度不超过(　　)

A．2.0 m/s2   B．4.0 m/s2

C．6.0 m/s2   D．8.0 m/s2

答案　B

解析　书放在水平桌面上，若书恰好相对于桌面不滑动，则最大静摩擦力提供加速度即Ffm＝μmg＝mam，解得am＝μg＝4 m/s2，则高铁的最大加速度为4 m/s2，B正确，A、C、D错误。

2.(2023·江苏淮阴中学高一期中)在静止的电梯里放一个木块A，A的右边被一个伸长的弹簧拉着而保持静止，以下电梯的运动中，A可能被拉动的情况是(　　)

A．电梯向上匀速运动时

B．电梯向上启动时

C．电梯向上制动时

D．电梯向下制动时

答案　C

解析　当电梯向上匀速运动时，木块竖直方向重力与支持力平衡，木块的受力不变，木块竖直向上匀速运动，故A错误；当电梯向上启动时，木块具有向上的加速度，所以木块所受向上的支持力大于向下的重力，木块的最大静摩擦力增大，不会被拉动，故B错误；当电梯向上制动时，加速度向下，支持力小于重力，最大静摩擦力减小，木块可能被拉动，故C正确；当电梯向下制动时，加速度向上，支持力大于重力，最大静摩擦力增大，木块不可能被拉动，故D错误。

3．如图所示，左右带有固定挡板的长木板放在水平桌面上，物体放于长木板上静止，此时弹簧对物体的弹力大小为3 N，物体的质量为0.5 kg，物体与木板之间无摩擦，现使木板与物体一起以6 m/s2的加速度向左沿水平方向做匀加速运动时，则(　　)

A．物体对左侧挡板的压力等于零

B．物体对左侧挡板的压力大小等于3 N

C．物体受到4个力的作用

D．弹簧对物体的弹力大小等于6 N

答案　A

解析　由题意知，物体的加速度大小为6 m/s2，方向水平向左，故物体所受合力F＝ma＝3 N，方向水平向左。对物体受力分析，物体受到竖直向下的重力mg、竖直向上的支持力FN，且FN＝mg，竖直方向受力平衡，又因物体与木板之间无摩擦，故水平方向合力只能由弹簧弹力和挡板弹力提供，当F弹簧＝3 N时，恰好能提供合力，故物体与挡板之间无弹力，物体对左侧挡板的压力为零，物体只受3个力作用，故选A。

4.(多选)一有固定斜面的小车在水平面上做直线运动，小球通过细绳与车顶相连，小球某时刻正处于如图所示状态，设斜面对小球的支持力为FN，细绳对小球的拉力为FT，若该时刻FT为零，则此时小车可能的运动情况是(　　)

A．小车向右做加速运动

B．小车向右做减速运动

C．小车向左做加速运动

D．小车向左做减速运动

答案　BC

解析　小球和小车具有相同的加速度，所以小球的加速度只能沿水平方向，根据牛顿第二定律知，小球受到的合力方向水平；由于在此时小球只受到重力和斜面对其向左偏上的支持力作用，二力的合力只能水平向左，所以小车应向左做加速运动或向右做减速运动，选项B、C正确。

5.如图所示，A、B两个物体叠放在一起，静止在粗糙水平地面上，B与水平地面间的动摩擦因数μ1＝0.1，A与B间的动摩擦因数μ2＝0.2。已知A的质量m＝2 kg，B的质量M＝3 kg，重力加速度g取10 m/s2。现对物体B施加一个水平向右的恒力F，为使A与B保持相对静止，则恒力F的最大值是(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)

A．20 N   B．15 N

C．10 N   D．5 N

答案　B

解析　恒力最大时，对A有μ2mg＝ma；对A、B整体有Fmax－μ1(m＋M)g＝(m＋M)a，联立解得Fmax＝15 N，选项B正确。

6．(多选)(2022·云南昌宁县第一中学高一期末)如图所示，质量为m＝3 kg的木块放在质量为M＝1 kg的长木板上，开始处于静止状态，已知木块与木板间的动摩擦因数为μ1＝0.2，木板与地面间的动摩擦因数为μ2＝0.1，重力加速度g＝10 m/s2，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，当木块受到水平向右的拉力F后，下列说法正确的是(　　)

A．木板受到地面的摩擦力的大小可能是1 N

B．木板受到地面的摩擦力的大小一定是4 N

C．当F>12 N时，木块才会在木板上滑动

D．无论怎样改变F的大小，木板都不可能运动

答案　AC

解析　木板与地面间滑动摩擦力的大小为

Ff2＝μ2(m＋M)g＝4 N

木块与木板间的滑动摩擦力大小为

Ff1＝μ1mg＝6 N

当F≤4 N时，木块与木板仍保持静止状态，木板与地面间为静摩擦力，大小等于拉力F，故B错误，A正确；

当拉力为F0时木块与木板间刚好发生相对滑动，由牛顿第二定律得

a0＝＝

解得F0＝12 N

所以当F>12 N时，木块才会在木板上滑动，故C正确；

当F>4 N时，木板向右运动，故D错误。

7.(多选)(2022·德州市高一期末)如图所示，甲、乙二人想让水平地面上静止放置的A、B两小车向右运动，两小车相互接触但并不连接，质量分别为mA＝20 kg、mB＝30 kg。从t＝0时刻开始，甲给A水平向右的推力为FA，乙给B水平向右的拉力为FB，FA、FB随时间的变化规律分别为FA＝(10－2t) N，FB＝(2＋2t) N。(车轮与地面间的摩擦忽略不计)(　　)

A．A、B两车在2.6 s时分离

B．2 s内B车的位移是1.08 m

C．4 s时A车的加速度大小为0.24 m/s2

D．4 s时B车的加速度大小为 m/s2

答案　AD

解析　两小车分离时aA＝aB且FN＝0，故aA＝，aB＝，解得t＝2.6 s，A正确。

在0～2 s内，a＝＝0.24 m/s2

x＝×0.24×22 m＝0.48 m，B错误。

4 s时两小车已分离，aA′＝ m/s2＝0.1 m/s2

aB′＝ m/s2＝ m/s2，C错误，D正确。

8.如图所示，两细绳与水平车顶夹角分别为60°和30°，物体质量为m，当小车以大小为2g的加速度向右做匀加速直线运动时，求绳1和绳2的拉力大小。(g为重力加速度)

答案　mg　0

解析　绳1和绳2的拉力与小车的加速度大小有关。当小车的加速度大到一定值时物体会“飘”起来，导致绳2松弛，没有拉力，假设绳2的拉力恰为0，即FT2为0，则有FT1cos 30°＝ma′，FT1sin 30°＝mg，解得a′＝g，因为小车的加速度大于g，所以物体已“飘”起来，绳2的拉力大小FT2′＝0，绳1的拉力大小FT1′＝＝mg。

9.一辆货车运载着圆柱形光滑的空油桶。在车厢底，一层油桶平整排列，相互紧贴并被牢牢固定，上一层只有一只桶C，自由地摆放在桶A、B之间，没有用绳索固定。桶C受到桶A和桶B的支持力，和货车一起保持静止，如图所示。(重力加速度为g)

(1)当货车以某一加速度向左加速时，A对C和B对C的支持力大小会增大还是减小？请说明理由。

(2)当货车向左运动的加速度增大到一定值时，桶C就脱离A而运动到B的右边，这个加速度为多大？

答案　见解析

解析　(1)当桶C与货车保持静止时，以C为研究对象，对C进行受力分析，如图所示。

由题意知α＝β＝30°

货车静止时，对桶C，水平方向上有FBC·sin α＝FAC·sin β，

竖直方向上有FBC·cos α＋FAC·cos β＝mCg

整理得FAC＝FBC＝mCg

货车向左加速时，仍有α＝β＝30°，同理水平方向上有FBC′sin α－FAC′sin β＝mCa

竖直方向上有FBC′cos α＋FAC′cos β＝mCg

整理得FBC′>mCg，FAC′<mCg

综上，货车向左加速时A对C的支持力减小，B对C的支持力增大。

(2)当桶C脱离A时，有FAC″＝0，这一瞬间仍有α＝β＝30°，此时有

FBC″cos α＝mCg，FBC″sin α＝mCa′

解得a′＝g。

10．(多选)(2022·泉州市高一期末)如图，两个质量均为m的相同物块A、B叠放在轻弹簧上，处于静止状态。轻弹簧下端固定在地面上，劲度系数为k。现对A物块施加竖直向上的恒力F＝1.6mg(g为重力加速度)，下列说法正确的是(　　)

A．力F作用瞬间，A、B间的弹力大小为0.2mg

B．A、B刚分离时，A的加速度大小为g

C．A、B刚分离时，弹簧的弹力大小为1.6mg

D．从F开始作用到A、B刚分离，弹簧的形变量减小了

答案　ACD

解析　力F作用瞬间，A、B一起向上加速，根据牛顿第二定律可得A、B整体加速度大小为a＝＝＝0.8g

隔离A，由牛顿第二定律有F＋FN－mg＝ma

可求得A、B间的弹力大小为FN＝0.2mg，故A正确；

A、B刚分离时，A、B间的弹力大小为0，对A由牛顿第二定律可得A的加速度大小为aA＝＝0.6g，此时A、B的加速度大小相等，

故B的加速度大小aB＝0.6g，则有F弹－mg＝maB

解得F弹＝1.6mg，故B错误，C正确；依题意可得，从F开始作用到A、B刚分离，弹簧弹力的减小量为ΔF弹＝2mg－1.6mg＝0.4mg

根据胡克定律可得弹簧形变量减小了Δx＝＝，故D正确。