人教版 (2019)必修 第一册第四章 运动和力的关系综合与测试学案

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　动力学临界问题

[学习目标]　1.掌握动力学临界问题的分析方法.2.会分析几种典型临界问题的临界条件．

1．临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态．

2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰好”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件．

3．临界问题的常见类型及临界条件

(1)接触与脱离的临界条件：两物体间的弹力恰好为零．

(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力．

(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断裂的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是张力为零．

(4)加速度最大、最小与速度最大、最小的临界条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值．

4．解答临界问题的三种方法

(1)极限法：把问题推向极端，分析在极端情况下可能出现的状态，从而找出临界条件．

(2)假设法：有些物理过程没有出现明显的临界线索，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况与题设是否相同，然后再根据实际情况处理．

(3)数学法：将物理方程转化为数学表达式，如二次函数、不等式、三角函数等，然后根据数学中求极值的方法，求出临界条件．

一、接触与脱离的临界问题

如图1所示，质量m＝1 kg的光滑小球用细线系在质量为M＝8 kg、倾角为α＝30°的斜面体上，细线与斜面平行，斜面体与水平面间的摩擦不计，g取10 m/s2.求：

(1)若用水平向右的力F拉斜面体，要使小球不离开斜面，拉力F的最大值；

(2)若用水平向左的力F′推斜面体，要使小球不沿斜面滑动，推力F′的最大值．

图1

答案　(1)90 N　(2)30 N

解析　(1)小球不离开斜面体，两者加速度相同、临界条件为斜面体对小球的支持力恰好为0，对小球受力分析如图甲

由牛顿第二定律得＝ma，解得a＝＝10 m/s2

对整体由牛顿第二定律得F＝(M＋m)a＝90 N

(2)小球不沿斜面滑动，两者加速度相同，临界条件是细线对小球的拉力恰好为0，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得mgtan 30°＝ma′，

解得a′＝ m/s2

对整体由牛顿第二定律得

F′＝(M＋m)a′＝30 N.

二、绳子断裂或松弛的临界问题

如图2所示，两细绳与水平车顶夹角分别为60°和30°，物体质量为m，当小车以大小为2g的加速度向右做匀加速直线运动时，求绳1和绳2的拉力大小．(g为重力加速度)

图2

答案　mg　0

解析　绳1和绳2的拉力与小车的加速度大小有关．当小车的加速度大到一定值时物体会“飘”起来，导致绳2松弛，没有拉力，假设绳2的拉力恰为0，即FT2为0，则有FT1cos 30°＝ma′，FT1sin 30°＝mg，解得a′＝g，因为小车的加速度大于g，所以物体已“飘”起来，绳2的拉力FT2′＝0，绳1的拉力FT1′＝＝mg.

三、相对静止(或滑动)的临界问题

(多选)如图3所示，已知物块A、B的质量分别为m1＝4 kg、m2＝1 kg，A、B间的动摩擦因数为μ1＝0.5，A与水平地面之间的动摩擦因数为μ2＝0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，g取10 m/s2，在水平力F的推动下，要使A、B一起运动且B不下滑，则力F的大小可能是(　　)

图3

A．50 N  B．100 N  C．125 N  D．150 N

答案　CD

解析　若B不下滑，对B有μ1FN≥m2g，由牛顿第二定律得FN＝m2a；对整体有F－μ2(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a，得F≥(m1＋m2)g＝125 N，选项C、D正确．

(2021·南京市高一上期末)如图4所示，质量为M的木板放在水平桌面上，木板上表面有一质量为m的物块，物块与木板、木板与桌面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，若要以水平外力F将木板抽出，则力的大小应大于(　　)

图4

A．μmg   B．μ(M＋m)g

C．2μ(M＋m)g   D．μ(2M＋m)g

答案　C

解析　对物块与木板分别进行受力分析如图所示，对物块有：

μmg＝ma1

得a1＝μg

对木板有：F－μmg－μ(M＋m)g＝Ma2

得a2＝－μg

要将木板从物块下抽出，必须使a2>a1

解得：F>2μ(M＋m)g，故A、B、D错误，C正确．

分析两物体叠加问题的基本思路

1.如图1所示，在光滑的水平面上叠放着两木块A、B，质量分别是m1和m2，A、B间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，要把B从A下面拉出来，则拉力的大小必须满足(　　)

图1

A．F>μ(m1＋m2)g   B．F>μ(m1－m2)g

C．F>μm1g   D．F>μm2g

答案　A

解析　以木块A为研究对象，则刚要发生相对滑动时，μm1g＝m1a

以A、B整体为研究对象，则刚要发生相对滑动时，F0＝(m1＋m2)a

解得F0＝μ(m1＋m2)g

则拉力F必须满足F>μ(m1＋m2)g，故选A.

2.(多选)一个质量为0.2 kg的小球用细线吊在倾角θ＝53°的斜面顶端，如图2，斜面静止时，球紧靠在斜面上，细线与斜面平行，不计摩擦及空气阻力，当斜面以10 m/s2的加速度向右做加速运动时，则(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，取g＝10 m/s2)(　　)

图2

A．细线的拉力为1.60 N

B．细线的拉力为2 N

C．斜面对小球的弹力为1.20 N

D．斜面对小球的弹力为0

答案　BD

解析　当小球对斜面的压力恰为零时，设斜面的加速度为a0，根据牛顿第二定律可知

mgtan 37°＝ma0，解得a0＝7.5 m/s2，由于a0＝7.5 m/s2<10 m/s2，则当斜面以10 m/s2的加速度向右做加速运动时，小球将飘离斜面，设此时细线与竖直方向的夹角为α，则mgtan α＝ma，解得α＝45°，则此时细线的拉力FT＝＝2 N，选项B、D正确．

3.如图3所示，在水平光滑桌面上放有m1和m2两个小物块，它们中间有水平细线连接．已知m1＝3 kg，m2＝2 kg，连接它们的细线最大能承受6 N的拉力．现用水平外力F1向左拉m1或用水平外力F2向右拉m2，为保持细线不断，则F1与F2的最大值分别为(　　)

图3

A．10 N　15 N   B．15 N　6 N

C．12 N　10 N   D．15 N　10 N

答案　D

解析　用水平外力F1向左拉m1，对m1有F1－FT＝m1a1，对m2有FT＝m2a1，解得F1最大值为15 N；用水平外力F2向右拉m2，对m2有F2－FT＝m2a2，对m1有FT＝m1a2，解得F2最大值为10 N，选项A、B、C错误，D正确．

4.如图4所示，A、B两个物体叠放在一起，静止在粗糙水平地面上，B与水平地面间的动摩擦因数μ1＝0.1，A与B间的动摩擦因数μ2＝0.2.已知A的质量m＝2 kg，B的质量M＝3 kg，重力加速度g取10 m/s2.现对物体B施加一个水平向右的恒力F，为使A与B保持相对静止，则恒力的最大值是(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)

图4

A．20 N  B．15 N  C．10 N  D．5 N

答案　B

解析　恒力最大时，对A有μ2mg＝ma；对A、B整体有Fmax－μ1(m＋M)g＝(m＋M)a，联立解得Fmax＝15 N，选项B正确．

5．(多选)(2020·兰州一中期末)如图5所示，在水平面上运动的小车内，用轻绳AB、BC拴住一个重力为G的小球，轻绳AB、BC与水平方向夹角分别为30°和45°，绳AB的拉力为FT1，绳BC的拉力为FT2，重力加速度为g，下列叙述正确的是(　　)

图5

A．小车向右以加速度g匀加速运动时FT1＝0

B．小车向右以加速度g匀加速运动时FT2＝G

C．小车向右以加速度g匀减速运动时FT2＝0

D．小车向右以加速度g匀减速运动时FT1＝G

答案　ABC

解析　小车向右做匀加速运动，当AB绳拉力恰好为0时，Gtan 45°＝ma1，解得a1＝g，此时FT1＝0，FT2＝＝G，故A、B正确；小车向右做匀减速运动，当BC绳拉力恰好为0时，Gtan 60°＝ma2，得：a2＝g，此时FT2＝0，FT1＝＝2G，故C正确，D错误．

6.(2021·泰兴中学、南菁高中高一上第二次联考)如图6所示，两个质量均为m的物块叠放压在一个竖直轻弹簧上面，处于静止状态，弹簧的劲度系数为k，t＝0时刻，物体受到一个竖直向上的作用力F，使得物体以0.5g(g为重力加速度)的加速度匀加速上升，则A、B分离时B的速度为(　　)

图6

A.   B．g

C．g   D．2g

答案　B

解析　静止时弹簧压缩量x1＝，分离时A、B之间的压力恰好为零，设此时弹簧的压缩量为x2，对B：kx2－mg＝ma，得x2＝，物块B的位移x＝x1－x2＝，由v2＝2ax得：v＝g，B正确．

7.如图7所示，矩形盒内用两根细线固定一个质量为m＝1.0 kg的均匀小球，a线与水平方向成53°角，b线水平．两根细线所能承受的最大拉力都是Fm＝15 N．(cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2)求：

图7

(1)当该系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值；

(2)当该系统沿水平方向向右匀加速运动时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值．

答案　(1)2 m/s2　(2)7.5 m/s2

解析　(1)竖直向上匀加速运动时，小球受力如图所示，

当a线拉力为15 N时，由牛顿第二定律得：

y轴方向有：Fmsin 53°－mg＝ma

x轴方向有：Fmcos 53°＝Fb

解得Fb＝9 N，此时加速度最大值a＝2 m/s2

(2)水平向右匀加速运动时，由牛顿第二定律得：

竖直方向有：Fa′sin 53°＝mg

水平方向有：Fb′－Fa′cos 53°＝ma′

解得Fa′＝12.5 N

当Fb′＝15 N时，加速度最大，此时a′＝7.5 m/s2.