初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形巩固练习

专题07 双等腰旋转模型

【模型说明】

【例题精讲】

例1．（基本模型）在ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=         度；

（2）设，．

①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②当点在直线BC上（线段BC之外）移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

【答案】（1）90；（2），见解析；②或

【详解】解：（1）∵，

∴，

∵AB=AC，AD=AE，

∴，，

∵，

∴，

在和中

∴，

∴

（2）或．

理由：①∵，

∴．

即．

在和中

，

∴．

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

②如图：

∵，

∴．

即．

在和中

，

∴． ∴．

∵，，，．

综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．

例2．（坐标系综合）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，将OB绕O点顺时针转60°至OA．

（1）如图1，试判定△ABO的形状，并说明理由．

（2）如图1，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．

（3）如图2，若BC⊥BO，BC＝BO，作BD⊥CO ，AC、DB交于E，补全图形，并证明：AE＝BE+CE．

【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）AP＝2AO，证明见解析；（3）见解析

【详解】解：（1）如图1，△AOB为等边三角形，理由是：∵将绕OB绕O点旋转至OA

∴∠AOB=60°，

∵AO＝AB

∴△AOB为等边三角形；

（2）AP＝2AO，理由为：

证明：∵△AOB与△BGE都为等边三角形，

∴BE＝BG，AB＝OB，∠EBG＝∠OBA＝60°，

∴∠EBG+∠EBA＝∠OBA+∠EBA，即∠ABG＝∠OBE，

在△ABG和△OBE中，

∴△ABG≌△OBE（SAS），

∴∠BAG＝∠BOE＝60°，

∴∠GAO＝∠GAB+∠BAO＝120°，

∵∠GAO为△AOP的外角，且∠AOP＝90°，

∴∠APO＝30°

在Rt△AOP中，∠APO＝30°，

则AP＝2AO．

（3）补全图形，

在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，

∵△AOB 为等边三角形，△BOC为等腰直角三角形，

∴∠OBC＝90°，∠ABO＝60°，

∵D为CO的中点，

∴BD平分∠OBC，即∠CBD＝∠OBD＝45°，

∴∠ABD＝105°，∠ABC＝150°，

∴∠BAC＝∠BCA＝15°，

∴∠AEB＝15°+45°＝60°，

在△ABE和△CBM 中，

∵

∴△ABE≌△CBM （SAS），

∴BM＝BE，

∴△BEM为等边三角形，

∴BE＝EM，

∴AE＝AM+EM＝CE+BE；

例3．（培优综合）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．

（1）操作发现

如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　   　；线段BD、AB、EB的数量关系为　   　；

（2）猜想论证

当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；

（3）拓展延伸

若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．

【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2

【详解】解：（1）如图1中，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠CBA＝45°，

∴∠CBE＝∠A＝45°，

∴ABE＝90°，

∴AB⊥BE，

∵AB＝AD+BD，AD＝BE，

∴AB＝BD+BE，

故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．

（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．

理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，

∵AD＝AB+BD，AD＝BE，

∴BE＝AB+BD．

②如图3中，结论：BD＝AB+BE．

理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，

∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．

（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，

∵BE⊥AD，∴S△AED•AD•EB12×12＝72．

如图3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，

∵BE⊥AD，∴S△AED•AD•EB2×2＝2．

【课后作业】

1．如图，在中，，点D在内，，，点E在外，．

(1)的度数为_______________；

(2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由；

(3)连接，若，求的长．

【答案】(1)；(2)小明，理由见解析；(3)5

【解析】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60° ，

∴△DBC是等边三角形 ，

∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．

在△ADB和△ADC中，  ，

∴△ADB≌△ADC（SSS），

∴∠ADB=∠ADC  ，

∴∠ADB=(360°﹣60°)=150°．

（2）

解：小明的说法更准确，理由如下：

∵∠ABE=∠DBC=60°，

∴∠ABD=∠EBC ，

在△ABD和△EBC中，

∴△ABD≌△EBC（ASA），

∴AB=BE ．

∵∠ABE=60° ，

∴△ABE是等边三角形．

（3）

解：连接DE，如图所示，

∵∠BCE=150°，∠DCB=60° ，

∴∠DCE=90°，

∵∠EDB=90°，∠BDC=60° ，

∴∠EDC=30° ，

∴ ．

∵△ABD≌△EBC，∴．

2．[发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=BC．

[拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．

[应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠DCE的度数为90°，CE+2AH=CD，理由见解析；（3）或．

【详解】解：发现：（1）证明：

∵AH⊥BC，∠BAC=90°，

∴∠AHC=90°=∠BAC．

∴∠BAH+∠CAH=90°，∠BAH+∠B=90°．

∴∠CAH=∠B，

在△ABH和△CAH中，

，

∴△ABH≌△CAH．（AAS）．

∴BH=AH，AH=CH．

∴AH=BC．

拓展：∠DCE的度数为90°，

线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE+2AH=CD，

理由如下：

∵∠DAB+∠BAE=90°，∠EAC+∠BAE=90°，

∴∠DAB=∠EAC，

∵AD=AE，AB=AC，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABD=135°，

∴∠DCE=90°；

∵D、B、C三点共线，

∴DB+BC=CD，

∵DB=CE，AH=BC，

∴CE+2AH=CD．

应用：点A到BP的距离为：或．

理由如下：

如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD=90°，交BP于点D，

∴∠BAC=∠DAP=90°，

∴∠BAD=∠CAP，

∵∠BDA=∠APC=90°+∠APD，

∴△APC≌△ADB（AAS），

∴BD=CP=1，

∴DP=BP-BD=6-1=5，

∵AH⊥DP，

∴AH=DP=；

如图4，过点A作AH⊥BP于点H，

作∠PAD=90°，交PB的延长线于点D，

∴∠BAC=∠DAP=90°，∴∠BAD=∠CAP，

∵∠BAC=90°，∠BPC=90°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ACP=∠ABD，

∵AB=AC，∴△APC≌△ADB（AAS），

∴BD=CP=1∴DP=BP+BD=6+1=7．

∵AH⊥DP，∴AH=DP=．

综上所述：点A到BP的距离为：或．

3．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．

（1）如图，当点在线段上，如果，则______度．

（2）设，．

①如图，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

②如图，当点在线段的反向延长线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由．

【答案】（1）90；（2）①，理由见解析；②，理由见解析

【详解】（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中

，

∴△BAD≌△CAE（SAS）

∴∠ABC=∠ACE=45°，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，

故答案为：90；

（2）①．

理由：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．

即∠BAD=∠CAE．

在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠ACE．

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．

∵∠ACE+∠ACB=β，

∴∠B+∠ACB=β，

∵α+∠B+∠ACB=180°，

∴α+β=180°；

② 当点在射线的反向延长线上时，．

理由如下：

∵，

∴，

在△ABD与△ACE中，

，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

∴，即．

4．（1）如图①，在直角中，，，点D为边上一动点（与点B不重合），连接，将绕点A逆时针旋转，得到，那么之间的位置关系为__________，数量关系为__________；

（2）如图②，在中，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，且．求证：．

（3）如图③，在中，，，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，若以为边长的三角形是以为斜边的直角三角形时，求的长．

【答案】（1）CE⊥BD；CE=BD；（2）见解析；（3）．

【详解】解：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD

∵绕点A逆时针旋转，得到

∴

∴，

∴

∵BA=CA，AD=AE

∴

∴且CE=BD

∵

∴，即CE⊥BD

故答案为：CE⊥BD；CE=BD；

（2）如图②，把绕点A顺时针旋转，得到，连接DG，

则

∴AG=AE，BG=CE，

∵，

∴

在和中，

∴

∴ED=GD

∵

∴

即

（3）如图③，把绕点A顺时针旋转，得到，

∴

∴AF=AE，，EC=BF，

∵，AB=AC

∴

∴

∵，

∴，且AF=AE，AD=AD

∴

∴DF=DE

∵以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形

∴以BD、DF、BF为边的三角形是直角三角形

∴是直角三角形

若，且

∴BF=2BD=EC，

∵

∴

∴

∴

若，且

∴BD=2BF=2EC，

∵

∴

∴BD=2，

∴