中考数学几何模型加强版 模型07 双等腰旋转模型

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一、单选题


1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG．连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF． 则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（ ）





A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④





2．如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）





A．以点为旋转中心，逆时针方向旋转后与重合


B．以点为旋转中心，顺时针方向旋转后与重合


C．沿所在直线折叠后，与重合


D．沿所在直线折叠后，与重合





3．如图，在等腰中，，，点在上，以为边向右作等腰，，连接，若，则的长为（ ）





A．2B．C．D．4





4．在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AB；②AE2+BF2=EF2；③S四边形CEDF=S△ABC；④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是( )





A．①②④B．①②③


C．①③④D．①②③④





5．如图，，与的平分线相交于点，于点，为中点，于，．下列说法正确的是( )


①；②；③；④若，则．





A．①③④B．②③C．①②③D．①②③④





二、解答题


6．如图，已知CA＝CB，CF＝CE，∠ACB＝∠FCE＝90°，且A、F、E三点共线，AE与CB交于点D．


（1）求证：AF2+AE2＝AB2


（2）若AC＝，BE＝3，则CE＝ ．








7．如图1，已知和都是等边三角形，且点E在线段AB上．


（1）过点E作交AC于点G，试判断的形状并说明理由；


（2）求证：；


（3）如图2，若点D在射线CA上，且，求证：．





8．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．





（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，AC，CD，CF之间的数量关系为____________；（将结论直接写在横线上）


（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，不需证明；若不成立，请你写出正确结论，并说明理由．


9．（）问题发现：


如图①，与是等边三角形，且点，，在同一直线上，连接，求的度数，并确定线段与的数量关系．


（）拓展探究：


如图②，与都是等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，于点，连接，求的度数，并确定线段，，之间的数量关系．








10．如图，已知AM＝CN，B在MN的垂直平分线上，∠AMB＝∠CNB，∠MBN＝90°．证明：△ABC为等腰直角三角形．








11．如图，是等腰直角三角形，分别以为直角边向外作等腰直角和等腰直角为的中点，连接与交于点．





（1）证明：四边形是平行四边形；


（2）线段和线段有什么数量关系，请说明理由；


（3）已知求的长度(结果用含根号的式子表示)．





12．如图，是⊙O的直径，弦交于点，连接，，若，求证：．








13．已知Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点O重合，∠AOB=∠COD=90°，且OA=OB，OC=OD．


（1）如图1，当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是AC BD（填“>”，“<”或“=”）AC与BD的位置关系是AC BD（填“∥”或“⊥”）；


（2）将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2，连接AC，BD，求证：AC=BD；


（3）现将Rt△OCD绕点O顺时针继续旋转，如图3，连接AC，BD，猜想AC与BD的数量关系和位置关系，并给出证明．








14．如图，是的外接圆，是的直径，点是半圆的中点，点是上一动点（不与点、重合），连接交于点．





图1 图2


（1）如图1，过点作，交延长线于点，求证：与相切；


（2）若，，求的长；


（3）如图2，把沿直线翻折得到，连接，当点在运动时，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．





15．在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE.


(1)连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明你的结论；


(2)连接DE，如图②，求证：BD2+CD2=2AD2


(3)如图③,在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=，CD=1，则AD的长为 ▲ .(直接写出答案）








16．如图，△EBF为等腰直角三角形，点B为直角顶点， 四边形ABCD是正方形．


⑴ 求证：△ABE≌△CBF；


⑵ CF与AE有什么特殊的位置关系？请证明你的结论．








17．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C、D分别在边OA、OB上的点．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．





（1）如图1，求证：OH＝AD，OH⊥AD；


（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，⑴中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．





18．如图1，在等腰直角三角形中，动点D在直线AB（点A与点B重合除外）上时，以CD为一腰在CD上方作等腰直角三角形，且，连接AE．





（1）判断AE与BD的数量关系和位置关系；并说明理由．


（2）如图2，若，P，Q两点在直线AB上且，试求PQ的长．


（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AB的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．





19．如图，已知Rt△ABC中，AB=AC=2，点D为直线BC上的动点（不与B、C重合），以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE（点A，D，E按逆时针顺序排列），连结CE．


（1）当点D在线段BC上运动时，


①求证：BD=CE；


②请探讨四边形ADCE的面积是否有变化；


（2）当点D在直线BC上运动时，直接写出CD，CB与CE之间的数量关系．





20．在直线上次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E．





（1）如图①，连结CD，AE，求证：；


（2）如图②，若，，求DE的长；


（3）如图③，将图②中的正三角形BEC绕B点作适当的旋转，连结AE，若有，试求∠的度数．


21．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°





（1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF


①求证：△AED≌△AFD；


②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；


（2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．


三、填空题


22．如图，和都是等腰直角三角形，，，则___________度．





23．如图，在中，，点P在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则三者之间的数量关系是_____．








24．两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝13，CD＝7．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转a（0α90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，则△ABC的面积为____．