专题05 解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路（重点突围）-【学霸满分】2022-2023学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题05 解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路

类型一 已知两边对应相等解题思路                     类型二 已知两角对应相等解题思路

类型三 已知一边一角对应相等解题思路

类型一 已知两边对应相等

基本解题思路：

已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；

②找第三边对应相等（SSS）.

例题：（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，，，．

(1)求证：；

(2)若，AE平分，求的度数．

【答案】(1)见解析

(2)35°

【解析】

【分析】

（1）根据，可得，进而证明，即可得证；

（2）根据角平分线的定义可得，根据（1）的结论可得，即可求解．

(1)

证明：，

，

在与中，

，

；

(2)

解： ，AE平分，

，

【点睛】

本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的意义，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．

【变式训练】

1．（2021·新疆·七年级期末）如图，点A，E，F，C在同一直线上，，，．求证：．

【答案】证明见详解

【解析】

【分析】

由已知可知AF=CE，从而根据SSS判定定理可证明△ADF≌△CBE即可．

【详解】

证明：∵AE=CE ，

∴AE+EF=CE+EF，即AF=CE，

在△ADF和△CBE中，

，

∴△ADF≌△CBE（SSS），

∴∠D=∠B．

【点睛】

本题考查三角形全等碰与性质，掌握三角形全等判定方法与性质是解题关键．

2．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AE＝CF．

(1)求证：△ABF≌△CDE；

(2)若∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，求∠CED的度数．

【答案】(1)见解析

(2)102°

【解析】

【分析】

（1）证明∠BAF＝∠ECD，AF＝CE， 再结合AB＝CD，可得结论；

（2）利用三角形的外角的性质先求解∠AFB＝102°，结合△ABF≌△CDE， 可得∠CED＝∠AFB＝102°．

(1)

证明：∵AB∥CD，

∴∠BAF＝∠ECD，

∵AE＝CF，

∴AE-EF＝CF-EF

∴AF＝CE，

又∵AB＝CD，

∴△ABF≌△CDE（SAS）．

(2)

解：∵∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，

∴∠AFB＝∠BCF+∠CBF＝30°+72°＝102°，

∵△ABF≌△CDE，

∴∠CED＝∠AFB＝102°．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握“利用SAS证明三角形全等”是解本题的关键．

类型二 已知两角对应相等

基本解题思路：

已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；

②找非夹边的边对应相等（AAS）.

例题：（2022·云南昭通·八年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=BD．

【答案】证明见解析．

【解析】

【分析】

先根据“AAS”直接判定三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等，可以证明BC=BD．

【详解】

证明：在△ABC和△ABD中，

∴△ABC≌△ABD（AAS），

∴BC=BD．

【点睛】

本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

【变式训练】

1．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求证：AB=DC．

【答案】证明见解析．

【解析】

【分析】

利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．

【详解】

证明：∵BF=CE

∴BF+EF=CE+EF，

即：BE=CF，

在△ABE和△DCF中，

∴△ABE≌△DCF(AAS)，

∴AB=DC．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．

2．（2022·四川泸州·八年级期末）已知：．求证：．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

证明∠CAD=∠BAE；直接运用SAS公理，证明△CAD≌△EAB，即可解决问题．

【详解】

证明：如图，

∵，

∴，

即，

∵在和中，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质问题，解题的关键是准确找出图形中隐含的相等关系．

类型三 已知一边一角对应相等

基本解题思路：

（1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS).

（2）有一边和改边的领角对应相等：①找夹该角的另一边对应相等(SAS);

②找另一角对应相等(AAS或ASA).

例题：（2021·四川南充·一模）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：AF＝DE．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

利用推出，通过“边角边”证明，利用全等三角形的性质即可证明AF＝DE．

【详解】

证明：，

，

，

在和中，

，

，

．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，属于简单题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．

【变式训练】

1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在△ABC和△DCE中，，，点A，C，D依次在同一直线上，且．

(1)求证：△ABC≌△DCE．

(2)连结AE，当，时，求△ACE的面积．

【答案】(1)见解析

(2)30

【解析】

【分析】

（1）利用AAS可证明结论；

（2）由（1）得：△ABC≌△DCE，则BC＝CE＝5，即可求出△ACE的面积．

(1)

证明：∵AB∥DE，

∴∠BAC＝∠D，

在△ABC和△DCE中，

，

∴△ABC≌△DCE（AAS）；

(2)

解：由（1）得：△ABC≌△DCE，

∴BC＝CE＝5，

∴△ACE的面积为×12×5＝30．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

2．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级阶段练习）如图，已知，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O．

(1)求证：；

(2)若，，求∠ADB的度数．

【答案】(1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据全等三角形的判定即可判断；

（2）根据，，求出，根据，即可求出．

(1)

解：证明：和相交于点，

．

在和中，，

．

又，

，

．

在和中，

，

；

(2)

解：，，

，

，

．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．

一、解答题

1．（2022·全国·八年级）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．

(1)求证：△ADE≌△CFE；

(2)若AB＝6，CF＝4，求BD的长．

【答案】(1)见解析

(2)2

【解析】

【分析】

（1）由CF∥AB得∠ADE=∠F，∠A=∠ECF，还有DE=EF这一条件，则根据“角角边”定理可以证明△ADE≌△CFE；

（2）由△ADE≌△CFE得AD=CF=4，因为AB=6，所以BD=AB-AD=6-4=2．

(1)

如图，∵CF∥AB，

∴∠ADE=∠F，∠A=∠ECF，

在△ADE和△CFE中，

，

∴△ADE≌△CFE（AAS）．

(2)

∵AD=CF=4，AB=6，

∴BD=AB-AD=6-4=2，

∴BD的长是2．

【点睛】

此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，准确地找出全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．

2．（2022·全国·八年级）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．

(1)求证：△ABC≌△DFE；

(2)求证：点O为BF的中点．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）利用SAS证明三角形全等即可；

（2）证明△ACO≌△DEO即可得到O为BF的中点．

(1)

∵ABDF，

∴∠B＝∠F，

∵BE＝CF，

∴BC＝EF，

在△ABC和△DFE中，

，

∴△ABC≌△DFE（SAS）；

(2)

∵△ABC≌△DFE，

∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，

在△ACO和△DEO中，

，

∴△ACO≌△DEO（AAS），

∴EO＝CO，

∴点O为BF的中点．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．

3．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，点D在AC上，连接BD，过点D作ED⊥BD，垂足为D，使DE＝BC，连接BE，若∠C＝∠E．

(1)求证：AB＝BD；

(2)若∠DBC＝34°，求∠BFE的度数．

【答案】(1)见解析

(2)124°

【解析】

【分析】

(1)根据三角形内角和定理得出∠A=∠DBE，再根据AAS证出△ABC≌△BDE，即可得出AB=BD；

(2)根据已知条件和△ABC≌△BDE，得出∠DBE=62°，再根据∠DBC=34°，求出∠FBE

的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案；

(1)

解：（1）∵∠ABC＝90°，

∴∠A+∠C＝90°，

∵ED⊥BD，

∴∠BDE＝90°，

∵∠C＝∠E，

∴∠A＝∠DBE，

在△ABC和△BDE中， ，

∴△ABC≌△BDE（AAS），

∴AB＝BD；

(2)

（2）∵∠A＝62°，∠ABC＝90°，

∴∠C＝∠E＝28°，

∵ED⊥BD，

∴∠BDE＝90°，

∴∠DBE＝62°，

∵∠DBC＝34°，

∴∠FBE＝28°，

∴∠BFE＝180°﹣∠E﹣∠FBE＝180°﹣28°﹣28°＝124°．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的内角和定理，关键是根据AAS证出△ABC≌△BDE．

4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，点B为AC上一点，AD∥CE，∠ADB＝∠CBE，BD＝EB．求证：

(1)△ABD≌△CEB；

(2)AC＝AD＋CE．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)利用平行线性质，提供一组相等的角，运用AAS证明即可．

(2)利用全等三角形的性质，结合AC=AB+BC证明即可．

(1)

∵，

∴，

在△ABD与△CEB中，

，

∴△ABD≌△CEB（AAS）．

(2)

∵△ABD≌△CEB，

∴，，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．

5．（2022·福建三明·八年级期中）已知：如图，于点，，．

(1)求证：；

(2)若，求的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）由得到，再根据判定三角形全等的“HL”来求解；

（2）根据全等三角形的对应角相等得到，再利用三角形内角和定理求解．

(1)

证明：∵，

∴．

在和中

，

∴；

(2)

解：∵由（1）得，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，理解全等三角形的判定和性质是解答关键．

6．（2022·江苏淮安·八年级期末）如图，三点在同一条直线上，，，．

(1)求证：；

(2)若，求的度数．

【答案】(1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件利用即可证明两个三角形全等；

（2）根据，即可得出,，从而可得，即可求解．

(1)

在和中

（）

(2)

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

7．（2022·广西·西林县民族初中八年级期末）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，，，．

(1)求证：△ABC≌△DEF；

(2)请判断AB与DE的位置关系，并说明理由．

【答案】(1)证明见解析；

(2)，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）由可证明，由可证明，在结合利用全等三角形判定条件（角角边）证明△ABC≌△DEF即可；

（2）由△ABC≌△DEF可知，再利用“内错角相等，两直线平行”证明即可；

(1)

证明：∵，

∴，

∵

∴

即

在△ABC和△DEF中，，

∴△ABC≌△DEF（AAS）

(2)

，

理由：由（1）可知△ABC≌△DEF，

∴

∴

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.

8．（2022·山东淄博·七年级期末）如图，AD=AC，AB=AE，∠DAB=∠CAE．

(1)△ADE与△ACB全等吗？说明理由；

(2)判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)全等，理由见解析

(2)DF=CF，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）由∠DAB=∠CAE得出∠DAE=∠CAB，再根据SAS判断△ADE与△ACB全等即可；

（2）由△ADB与△ACE全等得出DB=EC，∠FDB=∠FCE，判断△DBF与△ECF全等，最后利用全等三角形的性质可得．

(1)

解：全等，理由如下：

∵∠DAB=∠CAE，

∴∠DAE=∠CAB，

在△ADE与△ACB中，

，

∴△ADE≌△ACB（SAS）；

(2)

解：DF=CF，理由如下：

在△ADB与△ACE中，

，

∴△ADB≌△ACE（SAS），

∴∠DBA=∠CEA，

∵△ADE≌△ACB，

∴∠ABC=∠AED，

∴∠DBF=∠CEF，

在△DBF与△CEF中，

，

∴△DBF≌△CEF（AAS），

∴DF=CF．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，解题的关键是选择恰当的判定条件．