广西专版2023_2024学年新教材高中数学第6章计数原理6.3.2二项式系数的性质训练提升新人教版选择性必修第三册

6.3.2　二项式系数的性质

课后·训练提升

基础巩固

1.展开式中的中间两项为(　　)

A.-x12,x12  B.x9,-x10

C.-x13,x9  D.x17,-x13

答案:C

解析:由二项式定理展开式的性质知中间两项为第6项和第7项.的通项为Tk+1=(x3)11-k·=(-1)kx33-4k,则T6=(-1)5x33-20=-x13,T7=(-1)6x33-24=x9.

2.已知+2+22+…+2n=729,则的值等于(　　)

A.64 B.32 

C.63 D.31

答案:B

解析:由已知得(1+2)n=3n=729,

解得n=6,

则=32.

3.已知(1+2x)8展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,则的值为(　　)

A. B. 

C. D.

答案:A

解析:由已知,得a==70,设b=2r,

则

得5≤r≤6,即r=5或6,

所以b=26=26=7×28,所以.

4.(多选题)在的展开式中,下列说法正确的有(　　)

A.所有项的二项式系数和为128

B.所有项的系数和为0

C.系数最大的项为第4项和第5项

D.存在常数项

答案:AB

解析:选项A,所有项的二项式系数和为27=128,故A正确;

选项B,令x=1,则=0,即所有项的系数的和为0,故B正确;

选项C,二项展开式的通项为Tk+1=x7-k·(-1)kx7-2k,第4项为T4=(-1)3x=-x,第5项为T5=(-1)4x-1=,显然第5项的系数最大,故C错误;

选项D,令7-2k=0,解得k=∉Z,故不存在常数项,故D错误.故选AB.

5.设an(n≥2,n∈N*)是(3-)n的展开式中x的一次项系数,则+…+=　　　　　. 

答案:17

解析:因为an(n≥2,n∈N*)是(3-)n的展开式中x的一次项系数,所以an=3n-2,

所以+…++…+=18×=17.

6.若(m∈R)的展开式中各项的二项式系数之和为32,且展开式中x5的系数是80,则实数m=　　　　　. 

答案:-2

解析:若(m∈R)的展开式中各项的二项式系数之和为2n=32,则n=5.

∵Tk+1=·(-m)k·,令=5,可得k=3,

∴展开式中x5的系数是·(-m)3=80,则实数m=-2.

故答案为-2.

7.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是　　　　　.  

答案:-121

解析:由题意得展开式中含x3的项的系数为(-1)3+(-1)3+(-1)3+(-1)3=-121.

8.设展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,M-N=240,求展开式中x的系数.

解由题意得M=4n,N=2n,

因为M-N=240,所以4n-2n=240.

解得2n=16或2n=-15(舍去),所以n=4.

的展开式的通项为Tr+1=·(5x)4-r·=(-1)r54-r,

令4-r=1,解得r=2.

故展开式中x的系数为(-1)254-2=150.

9.已知(1-x)10,求:

(1)展开式的中间项是第几项?写出这一项.

(2)展开式中各二项式系数之和.

(3)展开式中除常数项外,其余各项的系数和.

解(1)由已知得展开式共11项,中间项为第6项,即T6=(-x)5=-252x5.

(2)+…+=210=1024.

(3)设(1-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,

令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=0;

令x=0,得a0=1,故a1+a2+…+a10=-1.

能力提升

1.若(1+x)3(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a0+a2+a4+a6=(　　)

A.8 B.6 

C.5 D.4

答案:D

解析:∵(1+x)3(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,

令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=8,①

令x=-1,可得a0-a1+a2+…-a7=0,②

则①+②,并除以2,可得a0+a2+a4+a6=4.

2.487被7除的余数为a(0≤a<7),则的展开式中x-3的系数为(　　)

A.4 320 B.-4 320 C.20 D.-20

答案:B

解析:因为487=(49-1)7=·497-·496+…+·49-1,

所以487被7除的余数为6,所以a=6.

所以的展开式的通项为Tk+1=·(-6)k·.

令6-3k=-3,得k=3,所以的展开式中x-3的系数为·(-6)3=-4320.

3.关于(a-b)10的说法,正确的是(　　)

A.展开式中的二项式系数之和为1 024

B.展开式中第6项的二项式系数最大

C.展开式中第5项和第7项的二项式系数最大

D.展开式中第6项的系数最小

答案:ABD

解析:由二项式系数的性质可知,二项式系数之和为210=1024,故A正确;当n为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故B正确,C错误;因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大,所以系数最小,故D正确.

4.在的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于　　　　　.

答案:112

解析:依题意,得2n=256,解得n=8.

通项为(-2)k·,

令=0,得k=2.

故常数项为(-2)2=112.

5.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=　　　　　. 

答案:3

解析:设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.

令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.①

令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②

①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,解得 a=3.

6.求证:32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.

证明∵(32)n+1=(8+1)n+1=·8n+1+·8n+…+·82+·81+,

∴32n+2-8n-9=[(·8n-1+·8n-2+…+)82+·81+]-8n-9=82·(·8n-1+·8n-2+…+),

故32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.

7.已知(1+2x-x2)7=a0+a1x+a2x2+…+a13x13+a14x14.求:

(1)a0+a1+a2+…+a14;

(2)a1+a3+a5+…+a13.

解(1)令x=1,则a0+a1+a2+…+a14=27=128.①

(2)令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…-a13+a14=(-2)7=-128.②

①-②,得2(a1+a3+…+a13)=256,

故a1+a3+…+a13=128.

8.已知m,n是正整数,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为7.

(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m,n,求出此时x3的系数;

(2)利用上述结果,求f(0.003)的近似值(精确到0.01).

解:(1)由题意得,=7,即m+n=7①,

f(x)中的x2的系数为.

将①变形为n=7-m代入上式,得x2的系数为m2-7m+21=2+.

故当m=3或m=4时,x2的系数最小.

当m=3,n=4时,x3的系数为=5;

当m=4,n=3时,x3的系数为=5.

(2)f(0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3≈×0.003+×0.003≈2.02.