人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程同步训练题

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 第五课时——一元二次方程的实际应用（答案卷）

知识点一：列一元二次方程解应用题的步骤：
1．审：理解题意，明确 未知量 、 已知量 以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的 代数式 表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案。
知识点二：一元二次方程的实际应用类型：
类型一：传播问题：
计算公式： 。

【类型一：实际问题抽象一元二次方程】
1．新冠肺炎病毒传染性很强，一个人感染新冠肺炎病毒后会感染一批人，我们称为第一轮传播，如果不加控制，这个人与第一批感染的人一起再感染下一批人，我们称为第二轮传播．某地一人感染后经过两轮传播，被感染的总人数达到121人，设每轮传播中平均一个人会感染x个人，则下列方程正确的是（　　）
A．1+2x＝121 B．1+x2＝121
C．1+x+（1+x）2＝121 D．1+x+（1+x）x＝121
【分析】设一个人平均感染x人，根据经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到121人，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设一个人平均感染x人，可列方程：
1+x+（1+x）x＝121，
故选：D．
2．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，某养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均为x只，则可列方程为 　 　．
【分析】若每例病鸡传染健康鸡的只数均为x只，则第一天传染x只，第二天传染x（x+1）只，根据两天后发现共有169只鸡患有这种病，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若每例病鸡传染健康鸡的只数均为x只，则第一轮传染x只，第二轮传染x（x+1）只，
依题意得：1+x+x（x+1）＝169，
即（1+x）2＝169．
故答案为：1+x+x（x+1）＝169或（1+x）2＝169．
3．新型冠状病毒（COVID﹣19）是一种传染性极高的病毒，它可以通过飞沫、接触，甚至是有病毒株的污染源传播、在M市人群密集区因缺乏必要的预防措施，某新冠肺炎零号病人一天能传染x人，如果统计得到在两天共有225人因此患病，求平均每天一人传染了x人，列出方程为（　　）
A．（1+x）2＝225 B．1+x+x2＝225
C．1+x+（1+x）2＝225 D．1+2x＝225
【分析】若平均每天一人传染了x人，则第一天传染了x人，第二天传染了x（x+1）人，根据两天共有225人因此患病，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若平均每天一人传染了x人，则第一天传染了x人，第二天传染了x（x+1）人，
依题意得：1+x+x（x+1）＝225，
即（1+x）2＝225．
故选：A．
4．（易错题）常态化防疫形势下，某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为 　 　．
【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮转发了n个人，第二轮转发了n2个人，根据两轮转发后，共有931人参与列出方程即可．
【解答】解：由题意，得
n2+n+1＝931，
故答案为：n2+n+1＝931．
【类型二：一元二次方程实际应用】
5．有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过（　　）人．
A．11 B．10 C．9 D．8
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x人，根据经过两轮传染后共有288人患了流感，列出方程求解即可．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x人，
由题意得，2+2x+（2+2x）x＝288，
解得：x1＝11，x2＝﹣13，
答：每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过11个人．
故选：A．
6．2021年3月25日，国家卫健委新闻发言人米锋在发布会上表示，疫情仍在全球扩散蔓延，但我国疫情已得到有效控制．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了几个人（　　）
A．12 B．14 C．10 D．11
【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染后有x人被传染，第二轮传染后有x（1+x）人被传染，根据经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染后有x人被传染，第二轮传染后有x（1+x）人被传染，
依题意得：1+x+x（1+x）＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
故选：A．
7．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染人的个数为（　　）
A．10 B．11 C．60 D．12
【分析】设每轮传染中平均一人传染x人，那么经过第一轮传染后有x人被感染，那么经过两轮传染后有x（x+1）+x+1人感染，又知经过两轮传染后新增120个人患了流感，即共有121人患了流感，以经过两轮传染后被传染的人数相等的等量关系，列出方程求解．
【解答】解：设每轮传染中平均一人传染x人，由题意得：
x（x+1）+x+1＝121，
（1+x）2＝121，
∵1+x＞0，
∴1+x＝11，
x＝10．
答：每轮传染中平均一人传染10人．
故选：A．

知识点二：一元二次方程的实际应用类型：
类型二：比赛（握手）问题：
计算公式：单循环： 。
双循环： 。
特别说明：单循环是指两两之间一次比赛或握一次手。
双循环是指两两之间两次比赛或握两次手。

【类型一：实际问题抽象一元二次方程】
8．演讲比赛前，每个同学都与其他同学握手一次，表示问好，如果有x名同学参加演讲，握手总次数为435次，根据题意，求人数x可列出方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝435 B．x（x+1）＝435
C．2x（x+1）＝435 D．＝435
【分析】这x位同学，每位同学都要与除自己之外的（x﹣1）名同学握手一次，共握手x（x﹣1）次，由于两人握手是相互的，应只算一次，所以去掉重复的次数，共握手x（x﹣1）÷2次，据此可得方程．
【解答】解：设九年级（1）班有x名同学，
根据题意列出的方程是＝435，
故选：D．
9．2020﹣2021赛季CBA总决赛，广东东莞大益凭借着加时赛的强硬表现险胜辽宁本钢，夺得队史第十一座CBA总冠军，若参赛球队采用双循环制（每2队之间进行2场比赛），比赛总场数为342场，设参赛队伍有x支，则可列方程（　　）
A．x（x﹣1）＝342 B．x（x﹣1）＝342
C．x（x+1）＝342 D．x（x+1）＝342
【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛380场，可列出方程．
【解答】解：设参赛队伍有x支，则
x（x﹣1）＝342．
故选：B．
10．有x支球队参加篮球比赛，共比赛66场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．x（x﹣1）＝66 B．x（x+1）＝66
C．x（x﹣1）＝66 D．x（x+1）＝66
【分析】利用比赛的总场次数＝参加比赛的球队数量×（参加比赛的球队数量﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝66．
故选：A．
11．足球联赛实行主客场的循环赛，即每两个球队都要在主场和客场各踢一场，某个赛季共举行比赛210场．设共有x个队参赛，可列方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝210 B．x（x+1）＝210
C．x（x﹣1）＝210 D．x（x+1）＝210
【分析】设参加比赛的球队共有x支，则每支球队都要与余下的（x﹣1）支球队进行比赛，又每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场，故这x支球队一共需要比赛x（x﹣1）场，而这个场次又是210场，据此列出方程．
【解答】解：设参加比赛的球队共有x支，每一个球队都与剩余的（x﹣1）队打球，即共打x（x﹣1）场
∵每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场，
∴每两支球队相互之间都要比赛两场，
即x（x﹣1）＝210，
故选：C．
【类型二：一元二次方程实际应用】
12．某年级举行篮球比赛，每一支球队都和其他球队进行了一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（　　）支球队参加了比赛．
A．6 B．12 C．7 D．14
【分析】设共有x支球队参加了比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍支数×（参赛队伍支数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设共有x支球队参加了比赛，
依题意得：x（x﹣1）＝21，
整理得：x2﹣x﹣42＝0，
解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴共有7支球队参加了比赛．
故选：C．
13．某地区计划举行校际篮球友谊赛，赛制为主客场形式（每两队之间在主客场各比赛一场），已知共比赛了30场次，则共有（　　）支队伍参赛．
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】由于每两队之间都需在主客场各赛一场，即每个队都要与其余队比赛一场．等量关系为：球队的个数×（球队的个数﹣1）＝30，把相关数值代入即可．
【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，
根据题意可列方程为：x（x﹣1）＝30．
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意舍去），
答：共有6支队伍参赛．
故选：C．
14．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】设应该邀请x个球队参加，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程．
【解答】解：设应该邀请x个球队参加，
由题意得：x（x﹣1）＝21，
解得：x＝7或x＝﹣6（舍去），
即：应邀请7个球队参赛．
故选：C．

知识点二：一元二次方程的实际应用类型：
类型三：数字问题：
数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为 10b+a 。

【类型一：实际问题抽象一元二次方程】
15．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（　　）
A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2
C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2
【分析】设周瑜去世时年龄的十位数字是x，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿同”知10×十位数字+个位数字＝个位数字的平方，据此列出方程可得答案．
【解答】解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为10x+（x+3）＝（x+3）2，
故选：C．
16．一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（　　）
A．[（9﹣x）+x][10x+（9﹣x）]＝1458
B．[（9﹣x）+x][x+（9﹣x）]＝1458
C．[10（9﹣x）+x][10x+（9﹣x）]＝1458
D．[10（9﹣x）+x][x+（9﹣x]＝1458
【分析】设个位数字为x，则十位数字为（9﹣x）．依据“把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，他与原两位数的积为1458”即可列出方程．
【解答】解：设个位数字为x，则十位数字为（9﹣x），
根据题意得：[10x+（9﹣x）][10（9﹣x）+x]＝1458，
故选：C．
17．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为（　　）
A．a2+（a﹣4）2＝10（a﹣4）+a﹣4
B．a2+（a+4）2＝10a+a﹣4﹣4
C．a2+（a+4）2＝10（a+4）+a﹣4
D．a2+（a﹣4）2＝10a+（a﹣4）﹣4
【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：10（a+4）+a，这两个数的平方和为：a2+（a+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案．
【解答】解：依题意得：十位数字为：a+4，这个数为：a+10（x+4）
这两个数的平方和为：a2+（a+4）2，
∵两数相差4，
∴a2+（a+4）2＝10（a+4）+a﹣4．
故选：C．
【类型二：一元二次方程实际应用】
18．一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上数字比十位上数字大2，则这个两位数是（　　）
A．24 B．35 C．42 D．53
【分析】设十位上的数字为未知数，得到两位数个位上的数字，根据关系式两位数等于其各数位上数字的积的3倍列出方程求得十位上的数字，进而求得两位数即可．
【解答】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+2，
10x+x+2＝3x（x+2），
（x﹣2）（3x+1）＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣（不合题意，舍去），
故x＝2，
∴这个两位数为2×10+4＝24．
故选：A．
19．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27，则原来的两位数是　 　．
【分析】（方法一）设这个数的个位数字为x，则十位数字为（x+3），根据十位上的数字比个位上的数字的平方小3，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合x为非负整数即可确定x的值，再将其代入[10（x+3）+x]中即可求出结论；
（方法二）设这个数的个位数字为x，则十位数字为（x2﹣3），根据“如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27”，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合x为非负整数即可确定x的值，再将其代入[10（x2﹣3）+x]中即可求出结论．
【解答】解：（方法一）设这个数的个位数字为x，则十位数字为（x+）＝（x+3），
依题意得：x2﹣（x+3）＝3，
整理得：x2﹣x﹣6＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣2，
又∵x为非负整数，
∴x＝3，
∴10（x+3）+x＝10×（3+3）+3＝63．
（方法二）设这个数的个位数字为x，则十位数字为（x2﹣3），
依题意得：10（x2﹣3）+x﹣[10x+（x2﹣3）]＝27，
整理得：x2﹣x﹣6＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣2，
又∵x为非负整数，
∴x＝3，
∴10（x2﹣3）+x＝10×（32﹣3）+3＝63．
故答案为：63．

知识点二：一元二次方程的实际应用类型：
类型四：平均增长（下降）率问题：
计算公式： 。
。

【类型一：实际问题抽象一元二次方程】
20．临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（　　）
A．8（1+2x）＝11.52 B．2×8（1+x）＝11.52
C．8（1+x）2＝11.52 D．8（1+x2）＝11.52
【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额，列出方程即可．
【解答】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，
第一个月的销售额为8万元，
第二个月的销售额为8（1+x）万元，
第三个月的销售额为8（1+x）2万元，
∴8（1+x）2＝11.52，
故选：C．
21．2022年2月6日，中国女足获得亚洲杯冠军！某传媒发布的参赛队员简介视频两天的点击量由原来的5万飙升至150万，若设每天点击量的平均增长率为x，则下列所列方程正确的是（　　）
A．5（1+x）2＝150 B．5+5（1+x）+5（1+x）2＝150
C．5x2＝150 D．5+5x+5x2＝150
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
5（1+x）2＝150，
故选：A．
22．2021年第二季度，某市实现垃圾分类的小区数比第一季度增加了30%，第三季度比第二季度增加了40%，假设该市小区数量不变，设2021年第二、三两季度实现垃圾分类的小区平均增加的百分数为x%，则x%满足的方程是（　　）
A．30%+40%＝2x%
B．（1+30%）（1+40%）＝2x%
C．（1+30%）（1+40%）＝（1+x%）2
D．（1+30%）（1+40%）＝（1+2x%）2
【分析】设2021年第二、三两季度实现垃圾分类的小区平均增加的百分数为x%，第一季度的产值为1，由“第二季度，比第一季度增加了30%，第三季度比第二季度增加了40%，”可得第三季度的产值为（1+30%）（1+40%），由“第二、三两季度平均增加的百分数为x%”可得可得第三季度的产值为（1+x%）2，即可列出方程．
【解答】解：设2021年第二、三两季度实现垃圾分类的小区平均增加的百分数为x%，第一季度的产值为1，
根据题意得：（1+30%）（1+40%）＝（1+x%）2，
故选：C．
23．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2020年底有5G用户2万户，计划到2022年底，全市5G用户达到8.72万户．设全市5G用户的年平均增长率为x，则下列符合题意的方程为（　　）
A．2（1+2x）＝8.72
B．2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72
C．2（1+x）2＝8.72
D．2+2（1+x）+2（1+2x）＝8.72
【分析】利用该市2022年底5G用户的数量＝该市2020年底5G用户的数量×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：2（1+x）2＝8.72．
故选：C．
【类型二：一元二次方程实际应用】
24．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由1280元降为720元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x%，则x的值是（　　）
A．25% B．25 C．20% D．0.2
【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：依题意得：1280（1﹣x%）2＝720，
解得：x1＝25，x2＝175（不合题意，舍去）．
故选：B．
25．临沂一体彩销售中心今年开业，一月份总销售额12000元，三月份销售额为14520元，且从一月份到三月份，每月销售额的平均增长率相同，则每月销售额的平均增长率为（　　）
A．8% B．9% C．10% D．11%
【分析】设每月销售额的平均增长率为x，利用三月份的销售额＝一月份的销售额×（1+每月销售额的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每月销售额的平均增长率为x，
依题意得：12000（1+x）2＝14520，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
∴每月销售额的平均增长率为10%．
故选：C．
26．北京冬奥会开幕日的前期，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
【分析】（1）设月平均增长率为x，利用2021年12月的销量＝2021年10月的销量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用2022年1月的销量＝2021年12月的销量×（1+月平均增长率），即可求出2022年1月“冰墩墩”的销量．
【解答】解：（1）设月平均增长率为x，
根据题意，得3（1+x）2＝3.63，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1 （不合题意，舍去）．
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．
（2）假设保持相同的月平均增长率，那么2022年1月“冰墩墩”的销量为：3.63×（1+10%）＝3.63×1.1＝3.993（万件），
∵3.993＜4，
∴2022年1月“冰墩墩”的销量没有超过4万件．
答：2022年1月“冰墩墩”的销量没有超过4万件．
27．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，利用2021年投入资金金额＝2019年投入资金金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，根据2022年改造老旧小区所需资金不多于2022年投入资金金额，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．

知识点二：一元二次方程的实际应用类型：
类型五：销售利润问题：
计算公式：总利润＝ 单利润×数量
现单利＝ 原单利＋涨价部分（原单利－降价部分）
现数量＝ 原数量－（原数量＋）
特别说明：题目中出现的价格每上涨（下降）a数量会变化b，其中a为涨价（降价）基础，b为变化基数。

【类型一：实际问题抽象一元二次方程】
28．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　）
A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440
B．（16﹣x）（200+80x）＝1440
C．（16﹣x﹣10）（200+80）＝1440
D．（16﹣x）（200+80）＝1440
【分析】设每袋粽子售价降低x元，由于每天的利润为1440元，根据利润＝（定价﹣进价）×销售量即可列出方程．
【解答】解：设每袋粽子售价降低x元，每天的利润为1440元．
根据题意，得（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440，
故选：A．
29．某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃盤，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该海鲜市场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（　　）
A．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408
B．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝408
C．（20+x）（40﹣3x）＝408
D．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408
【分析】设这种螃蟹的售价上涨了x元，则每千克的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）千克，利用每天的销售利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设这种螃蟹的售价上涨了x元，则每千克的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）千克，
依题意得：（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408．
故选：D．
30．某网店销售一批运动装，平均每天可销售20套，每套盈利45元；为扩大销售量，增加盈利，采取降价措施，一套运动服每降价1元，平均每天可多卖4套．若网店要获利2100元，设每套运动装降价x元，则列方程正确的是（　　）
A．（45﹣x）（20+4x）＝2100 B．（45+x）（20+4x）＝2100
C．（45﹣x）（20﹣4x）＝2100 D．（45+x）（20﹣4x）＝2100
【分析】根据题意设出每天降价x元以后，准确表示出每天运动服的销售量，根据题意列出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设每套书运动服降价x元时，
则每天可出售（20+4x）套；
由题意得：（45﹣x）（20+4x）＝1200；
故选：A．
【类型二：一元二次方程实际应用】
31．某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】设每瓶该饮料售价为x元，根据“超市计划该饮料日均总利润为700元”列一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设每瓶该饮料售价为x元，
根据题意，得（x﹣6）[160﹣20（x﹣10）]＝700，
解得x＝11或x＝13（不合题意，舍去），
答：每瓶该饮料售价为11元．
故选：A．
32．某网店销售运动鞋，若每双盈利40元，每天可以销售20双，该网店决定适当降价促销，经调查得知，每双运动鞋每降价1元，每天可多销售2双，若想每天盈利1200元，并尽可能让利于顾客，赢得市场，则每双运动鞋应降价（　　）
A．10元或20元 B．20元 C．5元 D．5元或10元
【分析】设每双运动鞋应降价x元，则每双盈利（40﹣x）元，每天可以销售（20+2x）双，利用每天销售该运动鞋获得的总利润＝每双的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽可能让利于顾客，即可得出每双运动鞋应降价20元．
【解答】解：设每双运动鞋应降价x元，则每双盈利（40﹣x）元，每天可以销售（20+2x）双，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵要尽可能让利于顾客，
∴x＝20．
故选：B．
33．某蔬菜店以每千克2元的价格购进某种绿色蔬菜若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克．通过调查发现，这种蔬菜每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为保证每天至少售出260千克，蔬菜店决定降价销售．若将这种蔬菜每千克售价降低x元．
（1）每天的销售量是 　 　千克（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种蔬菜要想每天盈利300元，每千克的售价需降低多少元？
【分析】（1）利用每天的销售量＝100+20×，即可用含x的代数式表示出每天的销售量；
（2）利用每天销售这种蔬菜获得的利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要保证每天至少售出260千克，即可得出每千克的售价需降低1元．
【解答】解：（1）依题意得：若将这种蔬菜每千克售价降低x元，每天的销售量是100+20×＝（100+200x）千克．
故答案为：（100+200x）；
（2）依题意得：（4﹣x﹣2）（100+200x）＝300，
整理得：2x2﹣3x+1＝0，
解得：x1＝0.5，x2＝1．
当x＝0.5时，100+200x＝100+200×0.5＝200＜260，不符合题意，舍去；
当x＝1时，100+200x＝100+200×1＝300＞260，符合题意．
答：每千克的售价需降低1元．
34．“绿化校园，书香开州”，今年三月份，开州区某校计划购买梧桐树苗和杉树苗共100棵，其中梧桐树苗每棵40元，杉树苗每棵35元，经预算，此次购买两种树苗一共至少需要3800元．
（1）计划购买梧桐树苗最少是多少棵？
（2）在实际购买中，因受树苗积压以及市场影响，为此商家降低了两种树苗的售价，且降价相同，但降价金额不得高于10元/棵，经统计发现，两种树苗的售价每降低1元，梧桐树苗的销售量会增加2棵，杉树苗的销售量会增加3棵．若该校实际购进这两种树苗一共所需费用比计划购买的最低费用多了300元，则两种树苗都降低多少元？
【分析】（1）可设计划购买梧桐树苗是x棵，根据题意可列出相应的一元一次不等式，求解即可；
（2）设两种树苗都降低a元，从而可列出相应的一元二次方程，求解即可．
【解答】解：（1）设计划购买梧桐树苗是x棵，依题意得：
40x+35（100﹣x）≥3800，
解得：x≥60，
答：计划购买梧桐树苗最少是60棵；
（2）两种树苗都降低a元，依题意得：
（40﹣a）×（60+2a）+（35﹣a）（40+3a）＝3800+300，
整理得：a2﹣17a+60＝0，
解得：a＝5或a＝12（不符合题意舍去），
答：两种树苗都降低5元．

知识点二：一元二次方程的实际应用类型：
类型六：图形面积问题：
①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．
②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。

【类型一：实际问题抽象一元二次方程】
35．春意复苏，郑州绿化工程正在如火如茶地进行着，某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽为xm，则可列方程（　　）
A．（64﹣2x）（40﹣x）＝64×40×80%
B．（40﹣2x）（64﹣x）＝64×40×80%
C．64x+2×40x﹣2x2＝64×40×80%
D．64x+2×40x＝64×40×（1﹣80%）
【分析】根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的80%，即可得出关于x的一元二次方程，
【解答】解：设小路的宽为x 米，则绿化区域的长为（64﹣2x）米，宽为（40﹣x）米，
∴（64﹣2x）（40﹣x）＝64×40×80%
故选：A．
36．某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（　　）
A．（30﹣2x）（20﹣2x）＝214
B．（30﹣x）（20﹣x）＝30×20﹣214
C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝30×20﹣214
D．（30+2x）（20+2x）＝30×20﹣214
【分析】设出健走步道的宽度，然后根据面积间的关系列出方程求解即可．
【解答】解：设健走步道的宽度为x米，根据题意得：（30﹣2x）（20﹣2x）＝30×20﹣214，
故选：C．
37．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（　　）
A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2
C．x2+（10﹣x）2＝62 D．x2+62＝（10﹣x）2
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理列出方程即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2．
故选D．
【类型二：一元二次方程实际应用】
38．如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）若该无盖盒子的底面积为900cm2，盒子的容积是（　　）

A．3600cm3 B．4000cm3 C．4500cm3 D．9000cm3
【分析】设剪掉的正方形的边长为xcm，则做成的无盖盒子的底面为长（40﹣2x）cm的正方形，根据该无盖盒子的底面积为900cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用盒子的容积＝该无盖盒子的底面积×盒子的高，即可求出结论．
【解答】解：设剪掉的正方形的边长为xcm，则做成的无盖盒子的底面为长（40﹣2x）cm的正方形，
依题意得：（40﹣2x）2＝900，
解得：x1＝5，x2＝35（不合题意，舍去），
∴盒子的容积为900×5＝4500（cm3）．
故选：C．
39．取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图）．并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计）．这张长方形纸板的长为多少厘米？（　　）

A．24cm B．30cm C．32cm D．36cm
【分析】设这张长方形纸板的长为5x厘米，宽为2x厘米，根据包装盒的容积为200cm3，得5（5x﹣10）•（2x﹣10）＝200，解方程即可．
【解答】解：设这张长方形纸板的长为5x厘米，宽为2x厘米，
根据题意，得5（5x﹣10）•（2x﹣10）＝200，
解方程，得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝6，
∴这张长方形纸板的长为30厘米，
故选：B．


一．选择题（共10小题）
1．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x﹣1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x﹣1）文．
依题意得：3（x﹣1）x＝6210．
故选：A．
2．某企业因生产转型，二月份的产值比一月份的产值下降20%，转型成功后生产呈现出上升趋势，四月份的产值比一月份的产值增长15.2%．若三、四月份的月平均增长率为x，则以下关系正确的是（　　）
A．（1﹣20%）（1+2x）＝1+15.2%
B．（1﹣20%）（1+x）＝1+15.2%
C．（1﹣20%）（1+15.2%）＝（1+x）2
D．（1﹣20%）（1+x）2＝1+15.2%
【分析】设一月份产值为1，根据题意得到二月份的产值是（1﹣20%），在此基础上连续增长x，则四月份的产量是（1﹣20%）（1+x）2，则根据四月份比一月份增长15.2%可列方程．
【解答】解：设三、四月份的平均增长率是x，一月份产值为1．根据题意得
（1﹣20%）（1+x）2＝1+15.2%，
故选：D．
3．截至2022年3月31日，电影《长津湖之水门桥》票房已突破37亿元．第一天票房约6亿元，三天后票房累计总收入达24亿元，如果第二天，第三天票房收入按相同的增长率增长，增长率设为x．则可列方程为（　　）
A．6（1+x）＝24 B．6（1+x）2＝24
C．6+6（1+x）2＝24 D．6+6（1+x）+6（1+x）2＝24
【分析】若把增长率记作x，则第二天票房约为6（1+x）亿元，第三天票房约为6（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达24亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为6（1+x）亿元，第三天票房约为6（1+x）2亿元，
依题意得：6+6（1+x）+6（1+x）2＝24．
故选：D．
4．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉样物礼品，上线第一天2000个15分钟售罄，后两天紧急加工上线5200个．若后一天较前一天的增长率均为x，则可列方程正确的是（　　）
A．2000（1+x）2＝5200
B．2000（1﹣x）2＝5200
C．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2＝5200
D．2000（1+x）+2000（1+x）2＝5200
【分析】根据“后两天紧急加工上线5200个”列一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意，得2000（1+x）+2000（1+x）2＝5200，
故选：D．
5．小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（　　）
A．10（x+3）+x＝x2 B．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2
C．10（x﹣3）+x＝x2 D．10（x+3）+x＝（x﹣3）2
【分析】根据“该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数”列方程即可．
【解答】解：根据题意，可得10（x﹣3）+x＝x2，
故选：C．
6．某汽车厂4月生产新能源电动汽车2万台，计划5，6月份共生产新能源电动汽车4.5万台，设5、6月平均每月增长率为x，下列所列方程正确的是（　　）
A．2（1+x）2＝4.5 B．2（1+x）+2（1+x）2＝4.5
C．2（1+2x）＝4.5 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝4.5
【分析】根据题意可得等量关系：计划5，6月份共生产新能源电动汽车4.5万台，依此列出方程即可．
【解答】解：根据题意得：2（1+x）+2（1+x）2＝4.5．
故选：B．
7．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5cm2，则点P运动的时间是（　　）
A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s
【分析】设点P运动的时间为ts，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值，再结合当Q到达点C时两点同时停止运动，即可得出点P运动的时间．
【解答】解：设点P运动的时间为ts，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，
依题意得：（6﹣t）×2t＝5，
整理得：t2﹣6t+5＝0，
解得：t1＝1，t2＝5，
∵当Q到达点C时两点同时停止运动，
∴2t≤8，
∴t≤4，
∴t＝1．
故选：A．
8．如图，一块长方形绿地长90米，宽60米．在绿地中开辟两条道路，使得的a：b＝2：3，开辟道路后剩余绿地面积为5046平方米，则b的值为（　　）

A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【分析】剩余部分可合成长为（90﹣a），宽为（60﹣b）的长方形，结合a：b＝2：3且剩余绿地面积为5046平方米，即可得出关于b的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：依题意得：（90﹣b）（60﹣a）＝5046，
即（90﹣b）（60﹣b）＝5046，
整理得：b2﹣180b+531＝0，
解得：b1＝3，b2＝177（不合题意，舍去）．
故选：C．
9．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（　　）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
【分析】利用商店销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值，再结合物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，即可确定每件商品的售价．
【解答】解：依题意得：（a﹣18）（320﹣10a）＝400，
整理得：a2﹣50a+616＝0，
解得：a1＝22，a2＝28．
又∵物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，
∴售价不能超过18×（1+25%）＝22.5（元）．
∴a＝22．
故选：A．
10．学校计划在长为12m，宽为9m矩形地块的正中间建一座劳动实践大棚．大棚是占地面积为88m2的矩形．建成后，大棚外围留下宽度都相同的区域，这个宽度应设计为（　　）

A．1.8m B．1.5m C．1m D．0.5m
【分析】设大棚外围留下宽度为xm，则建造大棚的长为（12﹣2x）m，宽为（9﹣2x）m，根据大棚的面积为88m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设大棚外围留下宽度为xm，则建造大棚的长为（12﹣2x）m，宽为（9﹣2x）m，
依题意得：（12﹣2x）（9﹣2x）＝88，
整理得：2x2﹣21x+10＝0，
解得：x1＝0.5，x2＝10（不合题意，舍去）．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．若两个连续正奇数的积是143，则这两个奇数的和是 　 　．
【分析】设其中较小的奇数为x，则较大的奇数为（x+2），根据两个奇数之积为143，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，取其正值代入x+（x+2）中即可求出结论．
【解答】解：设其中较小的奇数为x，则较大的奇数为（x+2），
依题意得：x（x+2）＝143，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去），
∴x+（x+2）＝11+（11+2）＝24．
故答案为：24．
12．随着新冠疫情趋于缓和，口罩市场趋于饱和，某N95口罩每盒原价为200元，连续两次降价后每盒的售价为72元，则平均每次下降的百分率为 　 　．
【分析】设平均每次下降的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次下降的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设平均每次下降的百分率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝72，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝1.6（不合题意，舍去），
∴平均每次下降的百分率为40%．
故答案为：40%．
13．2022年春季，新一轮的新冠病街的传染性极强，某市某社区因1人患了新冠肺炎没有及时隔离治疗，经过两轮的传染后，共有25人患了新冠肺炎，每轮平均1人感染了 　 　个人．
【分析】设每轮平均1人感染了x个人，则第一轮有x个人被传染，第二轮有x（1+x）个人被传染，根据经过两轮的传染后共有25人患了新冠肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮平均1人感染了x个人，则第一轮有x个人被传染，第二轮有x（1+x）个人被传染，
依题意得：1+x+x（1+x）＝25，
解得：x1＝4，x2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴每轮平均1人感染了4个人．
故答案为：4．
14．已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为 　 　．
【分析】设另外一个矩形的长为x，宽为y，根据题意可知，x+y＝（a+b），xy＝，消去y，组成一元二次方程，根据根的判别式可得出结论．
【解答】解：设另外一个矩形的长为x，宽为y，根据题意可知，x+y＝（a+b），xy＝，
∴y＝（a+b）﹣x，
∴x[（a+b）﹣x]＝，
整理得，3x2﹣（a+b）x+ab＝0，
∵存在另一个矩形，则该一元二次方程有解，
∴Δ＝（a+b）2﹣12ab≥0，即（a+b）2≥12ab．
故答案为：（a+b）2≥12ab．
15．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件．但要求销售单价不得超过65元．要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为 　 　元．
【分析】设每件工艺品售价为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，每天的销售量为（200﹣2x）件，利用每天销售这种工艺品获得的利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设每件工艺品售价为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，每天的销售量为100﹣2（x﹣50）＝（200﹣2x）件，
依题意得：（x﹣40）（200﹣2x）＝1350，
整理得：x2﹣140x+4675＝0，
解得：x1＝55，x2＝85（不合题意，舍去）．
∴每件工艺品售价应为55元．
故答案为：55．
16．为积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，某楼盘商品房成交价由今年1月份的每平方米10000元下降到3月份的每平方米8100元，若今年前四个月房价每月的下降率保持一致，则小康爸爸 　 　在4月份用60万元在该楼盘买下一套80平方米的商品房（请填入“能”或“不能”）
【分析】设每月的下降率为x，根据题意列出一元二次方程求出每月的下降率，进而求出4月份商品房每平方米的单价，再求出80平方米的商品房的总价，比较后即可得出答案．
【解答】解：设每月的下降率为x，
由题意得：10000（1﹣x）2＝8100，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
8100（1﹣0.1）×80＝583200（元）＜60万元，
∴小康爸爸能在4月份用60万元在该楼盘买下一套80平方米的商品房，
故答案为：能．
三．解答题（共4小题）
17．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为300元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高2a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加．求a的值．
【分析】（1）设B产品的销售单价为y元，则A产品的销售单价为（y+100）元，根据1件A产品与1件B产品售价和为300元，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据总销售额＝销售单价×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）设B产品的销售单价为y元，则A产品的销售单价为（y+100）元，由题意得：
y+100+y＝300，
解得：y＝100，
∴y+100＝200．
答：A产品的销售单价为200元，B产品的销售单价为100元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，由题意得：
200（1+a%）t+100（1+2a%）（1﹣a%）t＝300（1+a%）t，
设a%＝n，则原方程可化简为2n2﹣n＝0，
解得：n1＝，n2＝0（不合题意，舍去），
∴n＝，
∴a＝50．
答：a的值为50．
18．重庆地铁18号线一共设站29座，总投资约102亿元．其中，杨家坪与石坪桥区间标段隧道总长1000米，由于此标段经过商圈和高层密集区域，隧道挖掘难度大．为了协助九龙坡区争创“全国文明城区”，尽快完成标段的施工，施工单位加快了此标段隧道挖掘速度．
（1）若施工单位将挖掘速度提升到了原速度的倍，则比原计划提前50天完成隧道挖掘任务．求原计划每天挖掘隧道多少米？
（2）2021年初工程队开始进行隧道挖掘工作，按照（1）中提速后的速度挖掘隧道，每天挖据隧道的费用为40万元．隧道挖通后，施工单位进行其他项目的施工，到2021年底，其他项目施工总费用为2000万元．为了尽快完成所有工程，施工单位计划在2021年总投资额（即挖掘隧道总费用和其他项目总费用之和）基础上继续增加投资额，预计从2021年初到2023年底，三年累计共完成4.75亿元的投资额．设2022年和2023年这两年的总投资额年平均增长率为m，求m的值．
【分析】（1）设原计划每天挖掘隧道x米，则加快挖掘速度后每天挖掘隧道x米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合加快挖掘速度后比原计划提前50天完成隧道挖掘任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用总投资额＝挖掘隧道总费用+其他项目总费用，可求出施工单位在2021年总投资额为1亿元，设2022年和2023年这两年的总投资额年平均增长率为m，则2022年的总投资额为（1+m）亿元，2023年的总投资额为（1+m）2亿元，根据三年累计共完成4.75亿元的投资额，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设原计划每天挖掘隧道x米，则加快挖掘速度后每天挖掘隧道x米，
依题意得：﹣＝50，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天挖掘隧道4米．
（2）施工单位在2021年总投资额为40×（﹣50）+2000＝10000（万元），
10000万元＝1亿元．
设2022年和2023年这两年的总投资额年平均增长率为m，则2022年的总投资额为（1+m）亿元，2023年的总投资额为（1+m）2亿元，
依题意得：1+（1+m）+（1+m）2＝4.75，
整理得：m2+3m﹣1.75＝0，
解得：m1＝0.5＝50%，m2＝﹣3.5（不合题意，舍去）．
答：m的值为50%．
19．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
【分析】（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨，根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入（2x﹣100）中即可求出4月份再生纸的产量；
（2）利用月利润＝每吨的利润×月产量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，根据6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%，即可得出关于y的一元二次方程，化简后即可得出6月份每吨再生纸的利润．
【解答】解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨，
依题意得：x+2x﹣100＝800，
解得：x＝300，
∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500．
答：4月份再生纸的产量为500吨．
（2）依题意得：1000（1+%）×500（1+m%）＝660000，
整理得：m2﹣300m+6400＝0，
解得：m1＝20，m2＝﹣320（不合题意，舍去）．
答：m的值为20．
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，
依题意得：1200（1+y）2•a（1+y）＝（1+25%）×1200（1+y）•a，
∴1200（1+y）2＝1500．
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
20．某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线A﹣B﹣C表示墙面）建饲养场，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开），点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．

（1）如图1，当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE＝　 　米；（用含x的代数式表示）
②若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；
（2）如图2，当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积能否为156平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）①根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出DE的长；
②利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合DE不超过15米，即可得出饲养场的宽EF的长为11米；
（2）不能达到，设EF的长为y米，则DE＝米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，可得出该方程没有实数根，即不能达到．
【解答】解：（1）①设EF的长为x米，则DE＝38+2+2﹣（3x﹣3）＝（45﹣3x）（米）．
故答案为：（45﹣3x）．
②依题意得：x（45﹣3x）＝132，
整理得：x2﹣15x+44＝0，
解得：x1＝4，x2＝11．
当x＝4时，45﹣3x＝45﹣3×4＝33＞15，不合题意，舍去；
当x＝11时，45﹣3x＝45﹣3×11＝12＜15，符合题意．
答：饲养场的宽EF的长为11米．
（2）不能达到，理由如下：
设EF的长为y米，则DE＝＝米，
依题意得：y•＝156，
整理得：y2﹣20y+104＝0，
∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×104＝﹣16＜0，
∴该方程没有实数根，
即当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积不能达到156平方米．