数学22.3 实际问题与二次函数练习

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 第五课时——一实际问题与二次函数（答案卷）

知识点一：利用二次函数解决实际问题：
把实际问题的关系转化为 二次函数 模型的关系，利用二次函数的 图像与性质 来解决实际问题的方法。
特别提示：在利用二次函数解决实际问题时一定要注意自变量的取值范围。
知识点二：二次函数解决实际问题的基本类型：
类型一：二次函数与图形面积：

1．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（　　）

A．y＝﹣x2+50x B．y＝﹣x2+24x
C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣x2+26x
【分析】根据题意表示出矩形的宽，再利用矩形面积求法得出答案．
【解答】解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，
则y关于x的函数表达式是：y＝x•（50+2﹣x）＝﹣x2+26x．
故选：D．
2． 如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，篱笆总长40米，墙AB长16米，若BF＝x米，花园面积是S平方米，则S关于x的函数关系式是：　
　 ．

【分析】根据题意分别表示出长方形的长与宽进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：S＝（16+x）•
＝（16+x）（12﹣x）
＝﹣x2﹣4x+192．
故答案为：S＝﹣x2﹣4x+192．
3．如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式：　 　（并写出自变量的取值范围）

【分析】先根据栅栏的总长度24表示出三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），再根据长方形的面积公式表示即可得到s关于x的函数关系式；找到关于x的两个不等式：24﹣4x＞0，x＞0，解之即可求出x的取值范围．
【解答】解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），
则：s＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x
由图可知：24﹣4x＞0，x＞0，
所以x的取值范围是0＜x＜6，
故答案为：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）．
4．如图，一块草地是长80m、宽60m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

【分析】可以把两条互相垂直的小路平移到矩形两边上，这样便于表达草坪的长（80﹣x）m，宽（60﹣x）m，列出函数关系式．
【解答】解：由题意得：
y＝（80﹣x）（60﹣x），
＝x2﹣140x+4800（0＜x＜60）．
所以函数关系式为：
y＝x2﹣140x+4800（0＜x＜60）．
5．图1中窗户的上部分是由4个全等小正方形组成的大正方形，下部分是矩形，如图2．如果制作一个窗户（如图2）边框的材料总长度为10m，设小正方形的边长为x（m），窗户的透光面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）x取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？

【分析】（1）先结合图形得出下部分矩形的长为（5﹣7x），再根据矩形的面积公式求解即可；
（2）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意知，下部分矩形的长＝，
由0＜5﹣7x，得．
∴y＝（5﹣7x+2x）•2x＝﹣10x2+10x（0＜x＜）．
（2）y＝﹣10x2+10x＝，
∵在范围内．
∴当时y取到最大值，最大值为．
答：时，透光面积最大，最大透光面积是．




6．如图，小亮父亲想用长80m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．
（1）写出S与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围．
（2）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？
【分析】（1）根据BC＝（栅栏总长﹣2AB），再利用矩形面积公式即可求出；
（2）根据配方法法求出二次函数最值即可；
【解答】解：（1）∵AB＝CD＝xm，∴BC＝（80﹣2x）m，
∴S＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x，
∵，
∴，
∴，
∴15≤x＜40
∴S＝﹣2x2+80x，（15≤x＜40）；
（2）∵S＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800，
∵15≤x＜40，
∴当x＝20时，S有最大值为800，
∴即当AB＝20m，BC＝40m时，面积S有最大值为800m2．

知识点二：二次函数解决实际问题的基本类型：
类型二：商品销售问题：

7．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x）
C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x）
【分析】直接利用销量×每件利润＝总利润，进而得出函数关系式．
【解答】解：由题意可得，y与x的函数关系式为：
y＝（60﹣50+x）（200﹣10x）
＝（10+x）（200﹣10x）．
故选：D．
8．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　）
A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]
B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]
C．w＝（x﹣50）（200+×10）
D．w＝（x﹣50）（200+×10）
【分析】设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），根据每件利润＝实际售价﹣成本价，销售量＝原销售量+因价格下降而增加的数量，总利润＝每件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数解析式．
【解答】解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），
则每件盈利（x﹣50）元，每天可销售（200+×10）件，
根据题意得：w＝（x﹣50）（200+×10），
故选：D．
9．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，则月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式为 　 　．
【分析】根据总利润＝每千克利润×销售量，可以写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式．
【解答】解：由题意可得，
y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1400x﹣40000，
即月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式是y＝﹣10x2+1400x﹣40000．
故答案为：y＝﹣10x2+1400x﹣40000．
10．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（　　）
A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元
【分析】设每件商品降价x元，每天的销售额为y元，由题意可得到y和x的二次函数关系，利用配方法可求最值．
【解答】解：设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．
依题意有：y＝（35﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+20x+1750＝﹣2（x﹣5）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝5时，y最大，最大值为1800，
∴最大销售额为1800元．
故选：C．
11．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．
（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．
（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润＝（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．
（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（x﹣30），
又∵m＝162﹣3x，
∴y＝（x﹣30）（162﹣3x），
即y＝﹣3x2+252x﹣4860，
∵x﹣30≥0，
∴x≥30．
又∵m≥0，
∴162﹣3x≥0，即x≤54．
∴30≤x≤54．
∴所求关系式为y＝﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．
（2）由（1）得y＝﹣3x2+252x﹣4860＝﹣3（x﹣42）2+432，
所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．
∵500＞432，
∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．
12．近年来，电动车驾驶安全越来越被重视．某商店销售头盔，每个进价50元．经市场调研，当售价为60元时，每月可销售300个；售价每增加1元，销售量将减少10个．为了提高销售量，当售价为80元时，启用网络主播直播带货，此时售价每增加1元，需支付给主播300元．物价局对此头盔规定：售价最高不超过110元．如图中的折线ABC表示该品牌头盔的销售量y（单位：个）与售价x（单位：元）之间的函数关系．
（1）直接写出点B的坐标 　 　，并求线段BC对应的函数表达式；
（2）启用网络主播直播带货后，当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？

【分析】（1）当x＝80时，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即点B（80，100），设线段BC的表达式为：y＝kx+b，将点（80，100）、（110，250）代入上式，即可求解；
（2）当60≤x≤80时，w＝（x﹣50）（﹣10x+900）＝﹣10（x﹣70）2+4000，当80≤x≤110时，w＝（x﹣50）（5x﹣300）＝5（x﹣85）2+2875，分别求取最大值，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝80时，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即点B（80，100），
设线段BC的表达式为：y＝kx+b，
将点（80，100）、（110，250）代入上式得：，
解得，
故线段BC对应的函数表达式为：y＝5x﹣300；
故答案为：（80，100）；
（2）设启用网络主播直播带货后，获得的利润为w元，
当80≤x≤110时，w＝（x﹣50）（5x﹣300）﹣300（x﹣80）＝5（x﹣85）2+2875，当x＝110时，w取得最大值为6000，
故当80≤x≤85时，w随x的增大而减小，即w≤3000，
当85≤x≤110时，w随x的增大而增大，即w≤15250．
故当x＝110时，w的值最大；
综上，当售价为110元时，该商家获得的利润最大，最大利润为6000．
13．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；
（3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．
【分析】（1）依题意设y＝kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）该商品进价是50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润w＝（x﹣40）（﹣2x+220），再利用二次函数的性质可得到结论；
（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+220）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，把x＝70，w＝2000代入函数解析式，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）依题意设y＝kx+b，
则有，
解得：，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+220；
（2）该商品进价是60﹣2000÷100＝40，
设每周获得利润为w元，
则有w＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+1450，
∴当售价是75元/件时，周销售利润的最大利润是1450元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+220）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，
∵﹣2＜0，对称轴x＞75，
∴抛物线的开口向下，
∵x≤70，∴w随x的增大而增大，
当x＝70时，w最大＝2000，
即﹣2×702+（300+2m）×70﹣8800﹣220m＝2000，
解得：m＝5．

知识点二：二次函数解决实际问题的基本类型：
类型三：二次函数在建筑中为应用：

14．某涵洞是抛物线形，截面如图所示，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是　 　．

【分析】根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为y＝ax2．根据AB＝1.6，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），利用待定系数法即可求解．
【解答】解：设函数关系式为y＝ax2，
A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），
那么﹣2.4＝0.8×0.8×a，
即a＝﹣，
故答案为：y＝﹣x2．
15．如图1所示的是山西大同北都桥的照片，桥上面的部分是以抛物线为模型设计而成的，从正面观察该桥的上面部分是一条抛物线，如图2，若AB＝60，OC＝15，以AB所在直线为x轴，抛物线的顶点C在y轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（　　）

A．y＝﹣+15 B．y＝﹣﹣15
C．y＝﹣+15 D．y＝﹣﹣15
【分析】直接利用已知AB，CO的长得出A，C坐标进而利用待定系数法求出函数解析式．
【解答】解：由题意可得：A（﹣30，0），C（0，15），
设二次函数解析式为：y＝ax2+c，
则，
解得：a＝﹣，
故此桥上半部分所在抛物线的解析式为：y＝﹣+15．
故选：A．
16．随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上搭建一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离地面1米的墙体A处，另一端固定在离墙体7米的地面上B点处，现以地面和墙体为x轴和y轴建立坐标系，已知大棚的高度y（米）与地面水平距离x（米）之间的关系式用y＝ax2+bx+c表示．将大棚正面抽象成如图所示图形，已知抛物线对称轴为直线x＝3，结合信息回答下列问题：
（1）求抛物线的解析式．
（2）该农户准备在抛物线上点C（不与A，B重合）处，安装一直角形钢架ECD对大棚进行加固（点D在x轴上，点E在OA上，且CE∥x轴，CD∥y轴），若忽略接口处的材料损耗，那么该农户需要多少米钢材，才能使钢架ECD的长度最大？
【分析】（1）根据题意可推出A（0，1），点B坐标为（7，0），将这两点坐标和对称轴为直线x＝3代入二次函数表达式即可求得a、b、c的值；
（2）把（1）中解析式通过配方法转化为顶点式，从而得出结论．
【解答】解：（1）由题知A（0，1），B（7，0），
根据题意得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设C点坐标为，L为钢架ECD的长度，
根据题意得，L＝
∵，对称轴为直线，
∴时，
，
所以该农户最多需要米的钢材．
17．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．

【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，把（0，0）代入，可得a＝﹣，即可解决问题；
（2）把y＝6，代入抛物线的解析式，解方程可得结论．
【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点P（5，9），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，
把（0，0）代入，可得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣5）2+9；
（2）令y＝6，得﹣（x﹣5）2+9＝6，
解得x1＝+5，x2＝﹣+5，
∴A（5﹣，6），B（5+，6）．
18．某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，且已知图2中矩形的长AD为12米，宽AB为4米，抛物线的最高处E距地面BC为8米．
（1）请根据题意建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式；
（2）若观景拱桥下放置两根长为7米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离；
（3）现公园管理处打算在观景桥侧面搭建一个矩形“脚手架”PQMN（如图2），对观景桥表面进行维护，P，N点在抛物线上，Q，M点在BC上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下．

【分析】（1）以CB所在的直线为x轴，点E为顶点建立直角坐标系，用待定系数法求解即可；
（2）确定立柱的纵坐标，解方程可得答案；
（3）设N（m，﹣m2+8），则PN＝2m，MN＝PQ＝﹣m2+8，三根支杆的总长度w＝﹣m2+2m+16，再根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）如图，以CB所在的直线为x轴，点E为顶点建立直角坐标系，

由题意得，E（0，8），A（﹣6，4），
设抛物线的解析式为y＝ax2+c，
代入可得，解得，
∴y＝﹣x2+8；
（2）依题意可得﹣x2+8＝7，
解得x＝±3，
∴3﹣（﹣3）＝6（米），
答：这两根立柱之间的水平距离是6米；
（3）设N（m，﹣m2+8），则PN＝2m，MN＝PQ＝﹣m2+8，
∴三根支杆的总长度w＝PQ+PN+MN+2m+2（﹣m2+8）＝﹣m2+2m+16，
∵a＝﹣＜0，
∴m＝﹣＝4.5时，w最大＝20.5，
∴三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值为20.5米．

知识点二：二次函数解决实际问题的基本类型：
类型四：二次函数与动点问题：

19．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】作PM⊥AD于M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（4﹣x），由三角形面积公式得出S△APF＝×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果．
【解答】解：作PM⊥AD于M，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM，
设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，
∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝4﹣x，
∴AF＝2（4﹣x），
∵S△APF＝AF•PM，
∴S△APF＝×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，S△APF有最大值4，
故选：C．


20．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连结CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连结AF．在整个变化过程中，△AEF面积的最大值是 　 　．

【分析】证明Rt△EFH≌Rt△CED，设AE＝a，用含a代数式表示△AEF的面积，进而求解．
【解答】解：∠FEH+∠CED＝90°，∠FEH+∠EFH＝90°，
∴∠CED＝∠EFH，
在Rt△EFH和Rt△CED中，
，
∴Rt△EFH≌Rt△CED（AAS），
∴ED＝FH，
设AE＝a，则ED＝FH＝3﹣a，
∴S△AEF＝AE•FH＝a（3﹣a）＝﹣（a﹣）2+，
∴当AE＝时，△AEF面积的最大值为．
故答案为：．
21．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 　 　．

【分析】设DE＝x，则CE＝，由S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF可得S△DFG＝（x﹣1）2+，进而求解．
【解答】解：设DE＝x，则CE＝，
∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，
∴S△DFG＝（x2+4）﹣×2x＝x2﹣x+2＝（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，△DFG面积的最小值为．
故答案为：．
22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝8cm．动点P从点A出发，沿边AB向点B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），同时动点Q从点B出发，沿边BC向点C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．当四边形APQC的面积最小时，经过的时间为（　　）

A．1s B．2s C．3s D．4s
【分析】用含x代数式表示四边形APQC的面积，通过配方求解．
【解答】解：设运动时间为x秒，四边形APQC的面积为ycm2，
则AP＝xcm，BQ＝2xcm，
∴BP＝（4﹣x）cm，
∴y＝S△ABC﹣S△PBQ＝BC•AB﹣BQ•BP，
即y＝×8×4﹣×2x（4﹣x）＝x2﹣4x+16＝（x﹣2）2+12，
∴当x＝2时，y有最小值为12，
故选：B．
23．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过 　 　秒钟，使△PBQ的面积最大．

【分析】根据三角形面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：设经过x秒，△PBQ的面积等于ycm2．
∵S△PBQ＝×BP×BQ，
∴y＝×（6﹣x）×2x＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，开口向下，
∴x＝3时，y最大，最大值为9，
∴当运动时间为3秒时，△PBQ的面积最大．
故答案为：3．
24．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A＝90°，AD＝6cm，DC＝4cm，BC的坡度i＝3：4，动点P从A出发以2cm/s的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3cm/s的速度沿B→C→D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．
（1）BC＝　 　；当t为何值时，PC与BQ相互平分；
（2）连结PQ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？

【分析】（1）作CE⊥AB于E，根据坡度的定义进行求解；要使PC与BQ相互平分，只需保证四边形CPBQ是平行四边形，即可得到关于t的方程，进行求解；
（2）此题要分两种情况考虑：点Q在BC上，即0≤t≤3时；当点Q在CD上，即3＜t≤4，根据三角形的面积公式建立函数关系式，再进一步求解．
【解答】解：（1）如图，作CE⊥AB于E，则四边形ADCE是矩形．

则CE＝AD＝6，
又BC的坡度i＝CE：BE＝3：4，且BE⊥CE，
则CE：BC＝3：5，
则BC＝10；
如图，要使PC与BQ相互平分，只需保证四边形CPBQ是平行四边形，即PB＝CQ．

得AB＝4+8＝12，则PB＝12﹣2t，
则12﹣2t＝3t﹣10，
∴t＝4.4，
故当t为4.4时，PC与BQ相互平分，
故答案为：10；
（2）如图，

当时，则BP＝12﹣2t，，
，
当t＝3时，y最大，是16.2；
当时，则，
则t＝时，y取得最大值，是16．
综上所述，则当t＝3时，y取得最大值，是16.2．