初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆课后复习题

第二课时——圆有关的性质（2）

知识点一：认识圆心角：

1. 圆心角的概念：

   顶点在        且角的两边为        所在的射线的角叫做圆心角。

2. 圆心角的大小：

       圆心角α的度数范围为                 。

【类型一：圆心角的认识与理解】 

1．下图中∠ACB是圆心角的是（　　）

A． B． C． D．

2．下列说法正确的是（　　）

A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 

B．圆心角α的取值范围是0°＜α＜180° 

C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 

D．圆心角就是在圆心的角

知识点一：弦、弧以及圆心角之间的关系：

1. 定理：在              中，相等的圆心角所对的       相等，所对的      也相等。
2. 推论：在              中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么

它们所对应的另外两组量都分别相等。

      特别说明：必须在同圆和等圆中，且这里所说的两条弧要么同为优弧，要么同为劣弧，通常默认为劣弧。圆心角相等、所对的弦相等、所对的弧相等这三个量知一推二。

3. 弧的度数：弧的度数等于它所对的        的度数。

【类型一：利用三者关系求角】

3．如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝　       　．

     第3题                                      第4题

4．如图，AB为半圆O的直径，点C、D为的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是（　　）

A．25° B．30° C．50° D．60°

5．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为　    　度．

     第5题                                        第6题

6．如图，在⊙O中，＝，若∠AOB＝40°，则∠COD＝　    　°．

【类型二：利用弦弧关系求弦以及弧长二倍关系】

7．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝　   　．

      第7题                                       第8题

8．如图，在⊙O中，＝2，则以下数量关系正确的是（　　）

A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB

9．如图所示，在⊙O中，＝2，那么（　　）

     第9题                                        第10题

A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法比较

10．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧、 、 ，如果+＝，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　）

A．AB+CD＝EF B．AB+CD＞EF C．AB+CD＜EF D．不能确定

【类型二：与圆心角、弧以及弦有关的证明】

11．如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：

（1）AC＝BD；    （2）CE＝BE．

12．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．

（1）求证：CD＝CE；

（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．

13．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BD，∠COD＝60°．求证：

（1）＝；  （2）△AOC是等边三角形；   （3）OC∥BD．

知识点一：圆周角：

1. 圆周角的定义：

   如图，像∠BAC这样顶点在        ，且两边都与圆        的

角叫做圆周角。

2. 圆周角定理：

   在        或        中，同弧或等弧所对的圆周角        ，

且都等于这条弧所对的圆心角的        。

       即：∠BAC＝         ＝         ＝         ∠BOC

3. 圆周角定理的推论：

   半圆或直径所对的圆周角是        。90°的圆周角所对的弦是        。

特别提示：圆周角定理必须在同圆或等圆中进行使用。

【类型一：圆周角的认识】

14．如图，∠APB是圆周角的是（　　）

A．     B． C． D．

15．下面图形中的角，是圆周角的是（　　）

A．     B． C． D．

【类型二：利用圆周定理求角度】

16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠OCE＝50°，那么∠ABD＝（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°

17．如图，在⊙O中，AB是直径，∠A＝20°，＝，则∠BOD等于（　　）

     第17题                                   第18题

A．20° B．30° C．40° D．50°

18．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝25°．则∠AOC的度数为（　　）

A．30° B．45° C．50° D．55°

19．如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC在圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（　　）

     第18题                                       第19题

A．100° B．110° C．125° D．130°

20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝30°，则∠ACB的大小为（　　）

A．60° B．30° C．45° D．50°

【类型三：利用直径所对圆周角是直角求解】

21．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（　　）

        第21题                                     第22题

A．65° B．55° C．60° D．75°

22．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（　　）

A．36° B．44° C．54° D．56°

23．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是 　   　．

         第23题                                          第24题

24．如图，⊙O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点F．下列结论：①∠A＝∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

25．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）若DE＝6，BD﹣AD＝4，求⊙O的半径．

知识点一：内接四边形：

1. 内接四边形的概念：

   如图：四个顶点都在        的四边形叫做圆的内接四边形。

2. 内接四边形的性质：

（1）圆内接四边形的对角        。

     即∠B＋∠D＝        ，∠C＋∠BAD＝         。

（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的          （就是

和它相邻的内角的对角）

          即∠EAD＝        。

【类型一：利用圆内接四边形的性质求角度】

26．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝　    　°．

    第26题                           第27题                           第28题

27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝138°，则它的一个外角∠DCE等于　    　．

28．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D＝　    　°．

29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若＝，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　　）

A．125° B．130° C．135° D．140°

30．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　）

A．60° B．55° 

C．50° D．45°

一、选择题（10题）

1．下列说法正确的是（　　）

A．相等的圆心角所对的弧相等 

B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧 

C．相等的弦所对的圆心角相等 

D．等弧所对的弦相等

2．如图，在⊙O中C为的中点，BC＝2，O到AB的距离为1，则半径的长（　　）

     第2题                       第3题                             第4题

A．2 B．3 C．4 D．5

3．如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则∠ADB的度数为（　　）

A．60° B．45° C．30° D．22.5°

4．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（　　）

A．1 B． C． D．

5．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．AB＞2AM 

B．AB＝2AM 

C．AB＜2AM 

D．AB与2AM的大小不能确定

6．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（　　）

A． B．2 C．2 D．4              第6题

7．如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE的度数为（　　）

       第7题                           第8题                         第9题

A．70° B．65° C．60° D．55°

8．如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC＝120°，点E是上任意一点，连接BE、CE．则∠BEC的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．60°

9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（　　）

A．30° B．35° C．45° D．60°

10．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（　　）

      第10题                           第12题                      第13题

A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm

二、填空题（6题）

11．在半径为9cm的圆中，60°的圆心角所对的弦长为　    　cm．

12．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为　  　．

13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝140°，则它的一个外角∠DCE＝      　．

14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A＝15°，弦CD＝4，那么AB的长是　  　．

15．如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的长为　  　．

     第15题                                             第16题

16．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为 　    　．

三、解答题（4题）

17．如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．

（1）求证：CF＝BF；

（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．

18．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D为的中点，过点D作DE⊥AB于E，交BC于点F．

（1）求证：DF＝BF；

（2）若AC＝6，⊙O的半径为5，求BD的长．

19．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点O作OD⊥BC交BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．

（1）求证：E为OD的中点；

（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．

20．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．

（1）求证：点D为的中点；

（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；

（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．