专题22.37 二次函数（全章分层练习）（提升练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

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专题22.37 二次函数（全章分层练习）（提升练）
一、单选题
1．（2023·上海·一模）下列各点中，在二次函数图象上的点是（    ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（    ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋·河南·九年级校联考期末）关于抛物线，下列说法错误的是（    ）
A．对称轴是直线 B．最大值为
C．当时，随的增大而减小 D．与轴只有一个交点
5．（2023秋·浙江·九年级专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（    ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，若，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
7．（2023春·湖南永州·九年级校考期中）设，且函数与有相同的最小值u；函数与有相同的最大值v；则的值（　　）
A．必为正数 B．必为负数 C．必为0 D．符号不能确定
8．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的解析式为，则，的值为（     ）
A．， B．， C．， D．，
9．（2021·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考二模）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（    ）
  
A． B．当时，y随x的增大而增大
C．周长的最小值是＋3 D． 是的一个根
10．（2023·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023秋·浙江·九年级专题练习）矩形周长等于40，设矩形的一边长为，那么矩形面积与边长之间的函数关系式为 .
12．（2022秋·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）如果二次函数图象对称轴为直线，那么二次函数的最小值是 ．
13．（2021秋·广东广州·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：
①；②；③；④；⑤（的实数）．
其中正确的结论有 （填序号）
  
14．（2020秋·广东广州·九年级校考期中）已知，是二次函数的图象上两点，当时，二次函数的值是 ．
15．（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图，抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集为 ．
  
16．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）已知关于x的二次函数的图像与x轴总有交点，则m的取值范围是 ．
17．（2022秋·河北张家口·九年级张家口市实验中学校考期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，水面宽度减少 ．
  
18．（2023·全国·九年级专题练习）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（1、2、）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为 ．

三、解答题
19．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．








20．（2022·河北·统考中考真题）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程．






21．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？






22．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．



23．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）已知二次函数与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接．
发现：点A的坐标为__________，求出直线的解析式；
拓展：如图1，点P是直线下方抛物线上一点，连接、，当面积最大时，求出P点的坐标；
探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交于点E，M是线段上一动点（M不与B、C两点重合），连接，设M点的横坐标为，当m为何值时，四边形为平行四边形？




24．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若，是平面直角坐标系内两点，是的中点，则有结论，．这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题．
已知：二次函数的函数图像上分别有，两点，其中，，分别在对称轴的异侧，是中点，是中点．利用阅读材料解决如下问题：
概念理解：
（1）如图1，若，求出，的坐标．
解决问题：
（2）如图2，点是关于轴的对称点，作轴交抛物线于点．延长至，使得．试判断是否在轴上，并说明理由．
拓展探究：
（3）如图3，是一个动点，作轴交抛物线于点．延长至，使得．
①令，试探究值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
②在①条件下，轴上一点，抛物线上任意一点，连接，，直接写出的最小值．










参考答案
1．B
【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可．
解：A． ，选项错误，不符合题意；
B． ，选项正确，符合题意；
C． ，选项错误，不符合题意；
D． ，选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点拨】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证．
2．D
【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∵点，，，在抛物线上，而点到对称轴的距离最远，在对称轴上，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
3．D
【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线的顶点坐标为，则抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为，然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．
解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为，
∴平移后抛物线的解析式为．
故选：D．
【点拨】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移规律：上加下减,，左加右减．
4．D
【分析】根据二次函数的性质求解判断即可．
解：

是直线的对称轴，
故A正确，
最大值为，
故B正确，
抛物线单调递减，
故C正确，
，
函数与轴有两个交点，
故D错误．
故选：D.
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与系数的关系．
5．A
【分析】由一次函数的图象经过的象限可确定k的正负，进而验证二次函数图象与y轴交点的位置，结合二次函数图象的开口方向进行判断，即可求解．
解：A、由图象得：，，由得：，抛物线的开口向上，交于轴负半轴，符合题意，故此项正确；
B、由得：，抛物线的开口向上，故此项错误；
C、由图象得：，，的图象应交于轴正半轴，故此项错误；
D、由得：图象交于轴的，故此项错误；
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．
6．B
【分析】分和两种情况根据二次函数的对称性确定出与的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．
解：∵
∴令，即
∴解得或
∴二次函数与x轴的交点为和
∴二次函数的对称轴为，
①当时，二次函数图象开口向上，
∵，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴， 即，
∴，
无法确定的正负情况，
②时，二次函数图象开口向下，
∵， 如图，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴， 即，
∴，
无法确定的正负情况，
综上所述，正确的是．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数a的正负情况分情况讨论．
7．C
【分析】本题给出四个函数的解析式及两条重要信息 与 有相同的最小值；与 有相同的最大值v，将函数化为顶点式，再根据条件列出等式即可求解此题．
解：∵，
，
则，得①
∵，
∴，
又∵；
则，
得，②
∵，
∴，
∴，
∴得，，
解得或 （舍去），
当时，
，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，难度较大，解题的关键是将函数的标准形式化为顶点形式．
8．A
【分析】根据平移的规律求得解析式，化成一般式即可求得．
解：由，
，
，
∵抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，
∴所得图象的解析式为，
即，
∴，，
故选：．
【点拨】此题考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律．
9．C
【分析】由题意知，抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，抛物线过点，则，即，可判断A的正误；当时，y随x的增大而增大，可判断B的正误；点关于直线的对称点为，即是的一个根，可判断D的正误：当，，即，如图，点关于直线的对称点为，连接，由题意知，，当三点共线时，的和最小，即的和最小为，由勾股定理得，进而可得周长的最小值，进而可判断C的正误．
解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，抛物线过点，
∴，则，A正确，故不符合要求；
当时，y随x的增大而增大，B正确，故不符合要求；
点关于直线的对称点为，即是的一个根，D正确，故不符合要求；
当，，即，
如图，点关于直线的对称点为，连接，
  
由题意知，，
当三点共线时，的和最小，即的和最小为，
由勾股定理得，
∴周长的最小值，C错误，故符合要求；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．C
【分析】设A（m，m2），则B（m，m2），根据题意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得＝．
解：设A（m，m2），则B（m，m2），
∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，
∴C（2m，m2），D（m，m2），
∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，
.
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关键．
11．
【分析】根据矩形的周长、一边长，可得另一边长，根据矩形的面积公式，可得答案．
解：设矩形的一边长为x米，另一边长为（20-x）米，
∴由矩形的面积公式，得

【点拨】本题考查了函数解析式，利用了矩形的面积公式．
12．
【分析】根据二次函数图象对称轴为直线，可以求得的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可求得函数的最小值．
解：二次函数图象对称轴为直线，
，解得，
，
当时，y取得最小值，此时．
故答案为：．
【点拨】本题考查二次函数的性质、最值，解答本题的关键是明确题意，求出的值，利用二次函数的性质解答．
13．③④⑤
【分析】由抛物线的开口方向可以得出，由抛物线与轴的交点可以判断，由抛物线的对称轴可以判断，再根据抛物线与轴的交点情况以及抛物线的顶点进行推理即可得到答案．
解：①二次函数的图象开口方向向下，与轴交于正半轴，对称轴为直线，
，
，
，故①错误，不符合题意；
②二次函数的图象与轴的交点在的右边，图象开口方向向下，
当时，，
，
，故②错误，不符合题意；
③二次函数的图象与轴的另一个交点在的右边，图象开口方向向下，
当时，，
，故③正确，符合题意；
④由①得：，
，
由②得：，
，
，故④正确，符合题意；
⑤二次函数的图象的对称轴为直线，
当时，取最大值，最大值为，
当时，，
，故⑤正确，符合题意；
综上所述：正确的结论有：③④⑤，
故答案为：③④⑤．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象与各项系数符号的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的方法解题，是解此题的关键．
14．
【分析】根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入函数关系式求得．
解：∵，是二次函数的图象上的两点，
又∵点A、B的纵坐标相同，
∴A、B关于对称轴对称，
∴
∴；
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点一定满足该函数的解析式．
15．或
【分析】根据题意得出：当时，则，进而结合函数图象得出的取值范围．
解：根据题意得出：
当时，则，
由图象可得：关于的不等式的解集为：或，
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，采用数形结合的思想解题，是解答此题的关键．
16．且
【分析】根据二次函数的图像与x轴总有交点，得到解答即可．
解：∵二次函数的图像与x轴总有交点，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
【点拨】本题考查了二次函数与x轴的交点，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
17．
【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度减少了多少．
解：建立如图所示的直角坐标系，
  
设抛物线的解析式为，
由题意可得：点在此抛物线上，
则：，
解得：，
∴，
∵水面上升，
∴当，即时，
解得：，
∴此时水面的的宽度为．
∴水面宽度减少了．
故答案为：．
【点拨】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．
18．
【分析】根据图象上的点的特征，求出，结合题干得到相应的数字规律，再进行计算即可．
解：由，，，…，
可知：；
∵分别过点（1、2、）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，
∴ ，，
∴，
∴



；
故答案为：．
【点拨】本题考查二次函数的综合应用，数字规律探究．解题的关键是抽象概括出数字规律．
19．（1）；（2）存在，，
【分析】（1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的解析式．
（2）将解析式化成顶点式得，可得点坐标，将代入得，，可得点坐标，求出的值，根据可得，设，则，求出的值，进而可得点坐标．
（1）解：∵抛物线过点，点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：存在．
∵，
∴，
将代入得，，
∴，
又∵B（2，-3），
∴BC//x轴，
∴到线段的距离为1，，
∴，
∴，
设，由题意可知点P在直线BC上方，
则，
整理得，，
解得，或，
∴，，
∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
20．（1）对称轴为直线，的最大值为4，；（2）5
【分析】（1）由的性质得开口方向，对称轴和最值，把代入中即可得出a的值；
（2）由，得出抛物线是由抛物线C：向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点移动的最短路程．
解：（1），
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4，
把代入中得：
，
解得：或，
∵点在C的对称轴右侧，
∴；
（2）∵，
∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为，
∴移动的最短路程为5．
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键．
21．（1）y＝﹣2x+160；（2）销售单价应定为50元；（3）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元
【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：，
解得，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点拨】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
22．（1）；（2）（-2，-4）；（3）P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，
【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式；
（2）先求出直线AB关系式为：，直线AB平移后的关系式为：，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；
（3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，解得：，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，，此时P点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，由于PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，=-1，则此时P点坐标为：，．
（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为：．
（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，
∵时，，，
∴A点坐标为：（-4,0），
设直线AB关系式为：，
将A（-4,0），B（0，-4），代入，
得：，
解得：，
∴直线AB关系式为：，
设直线AB平移后的关系式为：，
则方程有两个相等的实数根，
即有两个相等的实数根，
∴，
即的解为：x=-2，
将x=-2代入抛物线解析式得，，
∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；
（3）①当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，
将A（-4,0）代入得，，
解得：，
∴PA所在直线解析式为：，
∵抛物线对称轴为：x=-1，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，3）；
②当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，
将B（0，-4）代入得，，
∴PA所在直线解析式为：，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，-5）；
③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，
∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，
∵PA⊥PB，
∴=-1，
解得：，，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形．
【点拨】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．发现：，直线的解析式为；拓展：；探究：当时，四边形为平行四边形
【分析】发现：令代入求解可得A、B坐标，然后令可得C点的坐标，进而利用待定系数法可求直线解析式；
拓展：过点P作轴，交于点H，设点，则有，然后可得，进而根据铅垂法可进行求解；
探究：由抛物线解析式可得对称轴为直线，则有，根据拓展可知，然后根据平行四边形的性质可得，进而求解即可．
解：发现：令时，则，
解得：，
令时，则有，
∴，，，
设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为；
拓展：过点P作轴，交于点H，如图所示：

设点，则有，
∴，
∴，
∵，且函数开口向下，
∴当时，的面积最大，此时点；
探究：由抛物线解析式可知对称轴为直线，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
由题意知，则，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴当时，四边形为平行四边形．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
24．（1）；；（2）是在轴上，理由见分析；（3）①是，；②
【分析】（1）直接根据中点坐标公式求解即可；
（2）先根据题意以及坐标与图形性质分别求出点A、C、D、E、F坐标，进而可得结论；
（3）①利用中点坐标公式和坐标与图形性质，结合已知可求得，，进而可得到，可得结论；
②根据题意和两点之间线段最短可知，当点G、H、F共线时，最小，最小值为的长度，利用两点坐标距离公式和二次函数的性质求解即可．
（1）解：∵，，是中点，
∴，，
；
，，是中点
，，
；
（2）解：是在轴上，理由如下：
，点是关于轴的对称点，
，
是中点，是中点，
，则；
轴交抛物线于点，
，
把代入得，，，

，，
轴，且，
是在轴上；
（3）解：①，，是中点，
；
是中点，
；
轴交抛物线于点，
，
把代入得，，
轴交抛物线于点．延长至，使得，
，，
，即，
，，
，
点在上，，
，
轴，，
即，，，
综上是一个定值；
②∵是轴上一点，是抛物线上任意一点，，
∴当点G、H、F共线时，最小，最小值为的长度，
∵，
∴


，
∵，
∴当时，最小，最小值为，
此时，最小为，
故的最小值为．
【点拨】本题考查了中点坐标公式、坐标与图形性质、二次函数的图象与性质、两点坐标距离公式、两点之间线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键．