专题22.35 二次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

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专题22.35 二次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）

【知识点一】二次函数知识结构

【知识点二】二次函数有关概念
（1）定义：一般的，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数.
（2）、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数.
【知识点三】二次函数的解析式
（1）三类解析式
一般式：（a、b、c是常数，）；
顶点式：（），二次函数的顶点坐标是（h，k）；
交点式：（），其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ．
（2）待定系数法求解析式
①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）；
②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；
③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
【知识点四】二次函数的图象与性质






开口
方向
a>0时，开口向上；a<0时，开口向下.
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h

顶点
与
最值
（0，0）
（0，k）
（h，0）
（h，k）

a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0（或k或）；
a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0（或k或）.
增
减
性
a>0
x<0（h或）时，y随x的增大而减小；x>0（h或）时，y随x的增大而增大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
a<0
x<0（h或）时，y随x的增大而增大；x>0（h或）时，y随x的增大而减小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
对称性
1.图象是轴对称图形；
2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上；
3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.
【知识点五】二次函数的图象与各项系数之间的关系
（1）的正负决定开口方向： ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下.
的大小决定开口的大小： 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大.
（2）、b的符号共同决定对称轴的位置
当时，，对称轴为y轴；
当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；
当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）
（3）c决定抛物线与轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
【知识点六】二次函数图象的变换
（1）图象的平移：任意抛物线y＝a（x－h）2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下：

（2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式.
【知识点七】二次函数与一元二次方程
二次函数（）的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根.
（1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
（2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
（3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
【知识点八】二次函数与不等式
（1）抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；
（2）抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集.
【知识点九】二次函数的应用
（1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内.
（2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.
（3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.
（4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题

【考点一】二次函数➼➼➻有关概念
【例1】（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）已知函数的图象是一条抛物线，求这条抛物线表达式．
【答案】
【分析】根据题意知，函数是二次函数，则，且，据此可以求得的值．
解：∵函数的图象是一条抛物线，
∴函数是二次函数，
，且，
解得，，
该函数的解析式为：．
【点拨】此题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意．
【举一反三】
【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（    ）
A． y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
解：A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
B、y=ax2+bx+c，当时，不是二次函数，不符合题意；
C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意；
D、y=x2+ 中不是整式，故y=x2+ 不是二次函数，不符合题意．
故选：C．
【点拨】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．
【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ．
【答案】2019
【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．
解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴-3m2+3m+2022
=-3（m2-m）+2022
=-3+2022
=2019．
故答案为：2019．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值．
【考点二】二次函数➼➼➻求二次函数的解析式
【例2】（2022秋·九年级课时练习）求分别满足下列条件的二次函数解析式：
（1）二次函数图像经过三点．
（2）二次函数图像的顶点坐标是，并经过点．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设二次函数的解析式为，将点代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）设二次函数的解析式为，将点代入求得的值即可求解．
（1）解：设二次函数的解析式为，将代入得，
，解得，
二次函数的解析式为；
（2）设二次函数的解析式为，将点代入得，
，
解得，
二次函数的解析式为．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握 二次函数解析式的方法是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022春·九年级课时练习）已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求这个二次函数的解析式．
【答案】y＝5x2﹣10x+3
【分析】已知二次函数的顶点坐标为（1，﹣2），设抛物线的顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣2，将点（2，3）代入求a即可．
解：设此二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∵其图象经过点（2，3），
∴a（2﹣1）2﹣2＝3，
∴a＝5，
∴y＝5（x﹣1）2﹣2，即y＝5x2﹣10x+3．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
【变式2】（2021春·九年级课时练习）已知抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）；（2）（1，4）
解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），B（－1，0），
∴抛物线的解析式为；，即，
（2）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
（1）根据抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式．
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．
【考点三】二次函数➼➼➻二次函数的图象与性质
【例3】（2022·广东广州·统考中考真题）已知直线：经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线的解析式；
（2）若点P（，）在直线上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下
①求的取值范围；
②设抛物线G与直线的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单长度后得到的点Q' 也在G上时，求G在≤≤的图象的最高点的坐标．
【答案】（1）直线解析式：；（2）①m＜10，且m≠0；②最高点坐标为（-2，9）或（2，5）
【分析】（1）根据待定系数法求出解析式即可；
（2）①设G的顶点式，根据点P在直线上得出G的关系式，根据题意得出点（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，进而得出点P必须位于直线的上方，可求m的取值范围，然后结合点P不能在轴上得出答案；
②先根据点Q，点的对称，得QQ'=1，可表示点Q和的坐标，再将点的坐标的代入关系式，求出a，再将点（0，-3）代入可求出m的值，然后分两种情况结合取值范围，求出函数最大值时，最高点的坐标即可．
（1）解：∵直线经过点（0，7）和点（1，6），
∴，解得 ，
∴直线解析式为：；
（2）解：①设G：（），
∵点P（，）在直线上，
∴；
∴G：（）
∵（0，-3）不在直线上，
∴（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，
而以P为顶点的抛物线G开口向下，且经过（0，-3），
∴点P必须位于直线的上方，
则，，
另一方面，点P不能在轴上，
∴，
∴所求取值范围为：，且 ；
②如图，QQ'关于直线对称，且QQ'=1，

∴点Q横坐标为，
而点Q在上，∴Q（，），Q'（，）；
∵Q'（，）在G：上，
∴， ，
∴ G：，或．
∵抛物线G过点（0，-3），
∴，
即，
， ；
当时，抛物线G为，对称轴为直线，
对应区间为-2≤≤-1，整个区间在对称轴的右侧，
此时，函数值随着的增大而减小，如图，

∴当取区间左端点时，达最大值9，最高点坐标为（-2，9）；
当时，对应区间为≤≤，最高点为顶点P（2，5），如图，

∴G在指定区间图象最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）．
【点拨】本题考查了二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式，求二次函数的极值等．解题的关键是掌握当时，顶点在直线与轴的交点（0，7），此时抛物线不可能过点（0，-3），因此，可能会被忽视．
【举一反三】
【变式1】（2018·四川成都·统考中考真题）关于二次函数，下列说法正确的是（    ）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3
【答案】D
解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【变式2】（2022·山东枣庄·统考中考真题）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图像上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 ．（填序号，多选、少选、错选都不得分）
  
【答案】①②③
【分析】由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可以判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可以判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0），可判断⑤．
解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3，④错误．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
【考点四】二次函数➼➼➻二次函数的图象与各项系数之间的关系
【例4】（2022·湖北随州·统考中考真题）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方数无实数根，则．正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则 图象与y轴的交点为正半轴，则c＞0，由此可知abc＜0，故①错误，由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1，代入，中得：，计算出函数图象与x轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：，将交点坐标代入得化简得：，将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，、变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，结合以上结论可判断正确的项．
解：由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确，
∵图象与y轴的交点为正半轴，
∴c＞0，则abc＜0，故①错误，
由图象可知当x=1时，函数取最大值，
将x=1，代入，中得：，
由图象可知函数与x轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3,0），
设函数解析式为：，
将交点坐标代入得：，
故化简得：，
将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确，
变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确，
则②③④正确，
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（    ）

A． B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为 D．
【答案】D
【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．
解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意；
B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意；
C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意；
D、根据可知，当时，，故该选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与轴交点得到是解决问题的关键．
【变式2】（2022·江苏徐州·校考二模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的序号为 ．

【答案】①②⑤
【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的图象与性质对每个选项依次进行判断即可．
解：抛物线开口向下，
，
对称轴，、异号，故，
与轴交点在正半轴，故，
，故①正确；
当时，，故②正确；
抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为3，则与轴的另一个交点为，
当时，，故③错误；
，
，
，故④错误；
，，
，
，
，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键在于能结合图象灵活运用二次函数的性质进行求解判断．
【考点五】二次函数➼➼➻二次函数图象的变换
【例5】（2021·贵州遵义·统考中考真题）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把代入抛物线的解析式，解方程求解即可；
（2）联立两个函数的解析式，消去 得：再利用根与系数的关系与可得关于的方程，解方程可得答案；
（3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当 ＜＜ 结合函数图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.
解：（1）把代入中，


抛物线的解析式为：
（2）联立一次函数与抛物线的解析式得：


整理得：



∵x1+x2=4-3k，x1•x2=-3，
∴x12+x22=（4-3k）2+6=10，
解得：
∴
（3）∵函数的对称轴为直线x=2，
当m＜2时，当x=m时，y有最大值，=-（m-2）2+3，
解得m=±，∴m=-，
当m≥2时，当x=2时，y有最大值，
∴=3，
∴m=，
综上所述，m的值为-或．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键.
【举一反三】
【变式1】（2023·全国·九年级假期作业）假设将抛物线向右平移3个单位得到抛物线，那么抛物线C与一定关于某条直线对称，这条直线是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先把配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点向右平移3个单位的对应点的坐标为，然后通过确定两顶点关于直线对称得到两抛物线关于此直线对称．
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵点向右平移3个单位得到对应点的坐标为，
∴抛物线的解析式为，
∵点与点关于直线对称，
∴抛物线C与一定关于直线对称．
故选：C．
【点拨】此题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【变式2】（2015秋·浙江金华·九年级阶段练习）（1）将抛物线y1=2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2= ；
（2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x=t平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t= ．

【答案】 2x2﹣8x+8； 1或3或
解：（1）∵抛物线y1=2x2向右平移2个单位，
∴抛物线y2的函数解析式为y=2（x-2）2
（2）∴抛物线y2的对称轴为直线x=2，
∵直线x=t与直线y=x、抛物线y2交于点A、B，
∴点A的坐标为（t，t），点B的坐标为（t，2t2-8t+8），
∴AB=|2t2-8t+8-t|=|2t2-9t+8|，
AP=|t-2|，
∵△APB是以点A或B为直角顶点的三角形，
∴|2t2-9t+8|=|t-2|，
∴2t2-9t+8=t-2①或2t2-9t+8=-（t-2）②，
整理①得，t2-5t+5=0，
解得整理②得，t2-4t+3=0，
解得t1=1，t2=3，
综上所述，满足条件的t值为：1或3或．
故答案为y=2（x-2）2 ； 3、1 ,,
【考点六】二次函数➼➼➻二次函数与一元二次方程
【例6】（2022春·九年级课时练习）如图，直线与x轴交于点B．抛物线与该直线交于A、B两点，交y轴于点D（0，4），顶点为C．
（1）求抛物线的函数解析式，并求出点A的坐标．
（2）求二次函数图像与x轴的交点E的坐标，并结合图像，直接写出当时，x的取值范围．

【答案】（1）点A的坐标（－1，），y2＝－；（2）x≤－2或x=4
【分析】（1）根据直线与x轴交于点B，可以求得y=0时对应的x的值，从而可以得到点B的坐标，再根据抛物线过点D和点B，即可求得该抛物线的解析式，然后与直线联立方程组，即可求得点A的坐标；
（2）根据（1）求得的抛物线解析式，可以求得二次函数图像与x轴的交点E的坐标，然后结合图像，可以写出当时，x的取值范围．
解：（1）由直线＝－与x轴交于点B，可得点B的坐标为（4，0）．
把点B（4，0）与点D（0，4）代入＝－得

解得，
∴＝－，
∵点A为直线与抛物线的交点，
∴解方程－＝－
得x=－1，
∴点A的坐标（－1，）；
（2）当=0时，－=0，
解得，
∴点E的坐标为（-2，0），
结合图像，当时，x的取值范围是x≤－2或x=4．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022秋·广东阳江·九年级统考期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）

A．x1＝﹣4，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝﹣1
C．x1＝﹣4，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝2
【答案】A
【分析】关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标．
解：根据图象知，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的一个交点是（2，0），对称轴是直线x＝−1．
设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．
则，
解得，x＝－4 ，
即该抛物线与x轴的另一个交点是（－4，0）．
所以关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根为x1＝−4，x2＝2．
故选：A．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）间的转换．
【变式2】（2022秋·重庆渝中·九年级重庆市求精中学校校考阶段练习）将抛物线y=x2+4x+3绕原点旋转180°后，再分别向下、向右平移3个单位，此时该抛物线的解析式为 ．
【答案】y=-（x-5）2-2
【分析】先求出抛物线的顶点式解析式，先根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移的性质求得平移后抛物线的顶点坐标；最后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．
解：y=x2+4x+3=（x+2）2-1．此时，该抛物线顶点坐标是（-2，-1）．
将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（2，1）．再分别向下、向右平移3个单位后的顶点坐标是（2+3，1-3）即（5，-2）．
所以此时抛物线的解析式为：y=-（x-5）2-2．
故答案是：y=-（x-5）2-2．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
【考点七】二次函数➼➼➻二次函数与不等式
【例7】（2022·辽宁锦州·统考中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）；（2）40元或20元；（3）当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则
，
解得：，，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
，
整理得：；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．
【举一反三】
【变式1】（2021春·江苏·九年级专题练习）已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】D
【分析】根据抛物线的解析式可以确定抛物线的顶点和增减性，再根据已知条件确定a的符号和关于a的不等式，从而得到a的值．
解：∵抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0），
∴抛物线的顶点为（5，9），
∵当7＜m＜8时，总有n＜1，
∴a不可能大于0，
则a＜0，
∴x＜5时，y随x的增大而增大，x＞5时，y随x的增大而减小，
∵当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，且x＝3与x＝7对称，
∴m＝3时，n≥1，m＝7时，n≤1，
∴,
∴4a+9＝1，
∴a＝﹣2，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、增减性及其与图象的关系是解题关键．
【变式2】（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为 ．

【答案】或
【分析】先求出A、B、C、D的坐标，再将点代入抛物线的解析式，得出m的值，确定的坐标，再根据点的坐标分情况画图求解，即可求出点关于直线的对称点坐标．
解：∵抛物线交轴于、两点，交轴于点，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵是抛物线上的点，
∴，
解得，
∴当时，，
当时，，
①当时，此时点与点重合，
如图1，设点关于直线对称点为，连接，
∵点与点关于直线对称，
∴是的垂直平分线，
∴，且，
∴，
∴；
②当时，
∴轴，
∴
如图2，设点关于直线的对称点为M，连接，
∵点关于直线的对称点为M，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴M在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
综上可得：点关于直线的对称点的坐标为或．

故答案为：或
【点拨】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数图像上的点的坐标特征和轴对称的性质是解题的关键．
【考点八】二次函数➼➼➻实际问题与二次函数
【例8】（2022·江苏无锡·统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

【答案】（1）x的值为2m；（2）当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2
【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=（24-BD）=8-x，
依题意得：3x（8-x）=36，
解得：x1=2，x2=6（不合题意，舍去），
此时x的值为2m；
；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x（8-x）=-3（x-4）2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
∴0＜x＜，
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
∴当x=时，S有最大值，最大值为，
即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
【点拨】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022秋·九年级单元测试）某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中，水池的正中心有一支高度为 的喷水管，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，最高处距喷水管水平距离为．
（1）求在如图所示的平面直角坐标系中的抛物线水柱的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）求这个的喷水管的水柱落水处离水池中心的距离是多少？

【答案】（1）；（2）米
【分析】（1）利用解析式经过顶点坐标以及图象上（0,1），求出抛物线的解析式，进而即可求解抛物线水柱的解析式；
（2）求出解析式与x轴交点坐标，即可得出答案．
（1）解：根据抛物线经过，
设，
又∵抛物线经过，
将代入得，
，
解得，
∴抛物线水柱的解析式为；
（2）根据题意，当时，解得，（不合题意，舍去），
答：水柱落水处离水池中心的距离为米．
【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出抛物线解析式是解题关键．
【变式2】（2023·广东广州·执信中学校考一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且经过点（﹣1，0），则下列结论：①abc＜0：②2a﹣b＝0；③a＜﹣；④若方程ax2+bx+c﹣2＝0的两个根为x1和x2，则（x1+1）（x₂﹣3）＜0，正确的有 ．

【答案】①③④
【分析】由图象可知，a＜0，c＞0，-=1＞0，b＞0，因此abc＜0，故①正确；-b=2a，2a-b=4a≠0，故②错误；当x=-1时，a-b+c=0，3a+c=0，c=-3a＞2，a＜-，故③正确；由对称轴直线x=1，抛物线与x轴左侧交点（-1，0），可知抛物线与x轴另一个交点（3，0），由图象可知，y=2时，x1＞-1，x2＜3，所以x1+1＞0，x2-3＜0，因此（x1+1）（x2-3）＜0．
解：由图象可知，a＜0，c＞0，
-=1＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵-b=2a，
∴2a-b=4a≠0，故②错误；
x=-1时，a-b+c=0，
即3a+c=0，
c=-3a＞2，
∴a＜-，故③正确；
由对称轴直线x=1，抛物线与x轴左侧交点（-1，0），可知抛物线与x轴另一个交点（3，0），
由图象可知，y=2时，x1＞-1，x2＜3，
∴x1+1＞0，x2-3＜0，
∴（x1+1）（x2-3）＜0．故④正确．
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．