专题22.38 二次函数（全章分层练习）（培优练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

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专题22.38 二次函数（全章分层练习）（培优练）
一、单选题
1．如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（    ）

A．4 B．2＋2 C．2 D．
3．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则的最小值是（   ）

A．6 B． C． D．
5．抛物线y=2（x-1）2+c过（-2，y1），（0，y2）， （，y3）三点，则大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
6．已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
7．将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或
8．如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线与图形恰有两个公共点时，则b的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
9．如图，在正方形中，，点P从点A出发沿路径向终点C运动，连接，作的垂直平分线与正方形的边交于M，N两点，设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（    ）

A． B． C． D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①abc＜0；②3a+b＞﹣c；③2c＜3b；④（k+1）（ak+a+b）≤a+b，其中正确的是（　　）

A．①③④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
二、填空题
11．已知点是抛物线上一动点．
（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是 ；
（2）当点M到直线的距离不大于时，b的取值范围是，则的值为 ．
12．已知二次函数，当时，函数有最大值，则 ．
13．已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为 ．

14．已知二次函数图象与轴交于点，点在二次函数的图象上，且轴，以为斜边向上作等腰直角三角形，当等腰直角三角形的边与轴有两个公共点时的取值范围是 ．
15．若二次函数（a，m，b均为常数，）的图像与轴两个交点的坐标是和，则方程的解是 ．
16．已知二次函数与x轴有两个交点，把当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线有三个不同的公共点，则m的值为 ．
17．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米．
18．如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是 ．

三、解答题
19．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．




20．若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．
①若点N在线段上，且，求点M的坐标；
②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．




21．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形（要求），直接写出相应的点Q的坐标．




22．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.
（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.




23．为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．
①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．




24．已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．





参考答案
1．B
【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案．
解：根据题意，则，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，
令时，，
∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．
2．A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题．
解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．

∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（0，-3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DP+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
3．D
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
解：，
该抛物线顶点坐标是，，
将其沿轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，，
，
，
，
，
点，在第四象限；
故选：．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
4．D
【分析】连接，过点P作PD⊥BC于D，过点Q作QH⊥BC于H．根据，可得的最小值为的长，即可解决问题．
解：如图，连接，过点P作PD⊥BC于D，过点Q作QH⊥BC于H．

由，令，则，
解得，
，
令，解得，
，
，
，
，
，
，
当为与轴交点时最小，最小值为的长，
Q（0，2）,，
，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
则的最小值是．
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
5．D
【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，求出（，y3） 直线x=1的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．
解：∵y=2（x-1）2+c，2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；（，y3）关于直线x=1的对称点是（，y3），
∵-2<<0<1
∴y1＞y3＞y2，
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答．
6．A
【分析】先求出抛物线的解析式，再列出不等式，求出其解集或，从而可得当x=1时，，有成立，最后求出a的取值范围．
解：∵抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，
∴抛物线P与抛物线关于原点对称，
设点（x，y）在抛物线P’上，则点（-x，-y）一定在抛物线P上，
∴
∴抛物线的解析式为，
∵当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，
即
令，
∴，
解得：或，
设，
∵开口向下，且与x轴的两个交点为（0，0），（4a，0），
即当时，要恒成立，此时，
∴当x=1时，即可，
得：，
解得：，
又∵
∴
故选A
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
7．A
【分析】由二次函数解析式，可求与x轴的两个交点A、B，直线表示的图像可看做是直线的图像平移b个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线经过B点时，恰与所给图像有三个交点，故将B点坐标代入即可求解；当平移直线经过C点时，恰与所给图像有三个交点，即直线与函数关于x轴对称的函数图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解．
解：由知，当时，即

解得：

作函数的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：


平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，即当时，只有一个交点
当的函数图像由的图像关于x轴对称得到
当时对应的解析式为
即，整理得：


综上所述或
故答案是：A．

【点拨】本题主要考查二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件．
8．A
【分析】通过解方程x2−2x−3=0得到A、B的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象y=（x−1）2−4（−1 解：当y=0时，x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3，则A（−1,0），B（3,0），
y=x2−2x−3=（x−1）2−4，则顶点坐标为（1,−4），
把图象y=（x−1）2−4（−1 如图，

当直线y=x+b与y=−x2+2x+3（−1 方程整理得x2−x+b−3=0，，解得，
，
舍去；
当直线y=x+b过A（−1,0）时，−1+b=0，解得b=1，
当直线y=x+b过B（3,0）时，3+b=0，解得b=−3，
所以，当−3 故选：A．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用．
9．A
【分析】分点P在AB和BC上两种情况，分别求出MN和PF长，利用面积公式求解．
解：（1）如图，当0≤x≤4时，点P在AB上，过点N作NE⊥AD于点E，设MN与PD交于点F，

∴NE=DC=AD，
则PD= ，
又∵MN垂直平分PD，
∴PF= ，
∴∠MDF+∠FMD=∠MNE+∠FME=90°，
∴∠MNE=∠PDA，
在△MNE和△PDA中，

∴△APD≌△EMN，
∴PD=MN= ，
∴y= ,
（2）如图，当4＜x≤8时，点P在BC上，

过点N作NE⊥CD于点E，设MN交PD于点F，
则PD= ,
∴PF
用（1）的方法得
MN,
y=，
故
故选择A．
【点拨】本题考查分段函数，解决问题的关键是根据点P的位置确定自变量的取值范围得出函数解析式．
10．A
【分析】根据二次函数图象与性质，逐项判断即可．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
由图象可知，x＝3时y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∴3a+b＜﹣c，故②错误；
∵9a+3b+c＜0，b＝﹣2a，
∴﹣b+3b+c＜0，
∴2c＜3b，故③正确，
∵x＝1时，y＝a+b+c是函数的最大值，
∴a（k+1）2+b（k+1）+c≤a+b+c，
∴a（k+1）2+b（k+1）≤a+b，
∴（k+1）（ak+a+b）≤a+b，
故④正确，
∴正确的有①③④，
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
11． / 0或5/5或0
【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，根据点M到y轴的距离不大于1，得出，根据二次函数的增减性，求出b的取值范围即可；
（2）根据点到直线的距离不大于，得出，即，从而得出，然后根据，求出a的范围，即可得出．
解：（1）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点M到y轴的距离不大于1，
∴，
∴此时点M在对称轴的左侧，
∵，
∴在对称轴的左侧随x的增大而减小，
∴当时，b取最大值，且最大值为，
当时，b取最小值，且最小值为，
∴b的取值范围是；
故答案为：；
（2）∵点到直线的距离不大于，
∴，即，
∴，
令，代入，即，解得：，，
令，代入，即，解得：，，
∴点M应为或上的动点，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为0或5；
故答案为：0或5．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，二次函数，当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
12．
【分析】根据二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴，然后再根据当时，函数有最大值，即可得到关于的方程，然后求解即可．
解：∵二次函数，
∴该函数图像对称轴是直线，
当时，当时，该函数取到最大值，
∵当时，函数有最大值，
∴，
解得：（不合题意，舍去）；
当时，当时，该函数取到最小值，
当时，
当时，，
当时，，
根据二次函数对称的性质可知：当时，函数有最大值，
又∵当时，函数有最大值，
∴，
解得．
故答案为：．
【点拨】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，本题采用了分类讨论的思想方法．解答的关键是明确题意，得到关于的方程．
13．或或
【分析】分两种情况：∠BAC=90°，则由题意得OA=OB，从而得到关于m的方程，解方程即可；∠ACB=90°，则点A、C的纵坐标相同，可得关于m的方程，解方程即可．
解：由题意得：A（m，h），且，
上式中令x=0，得，
∴．
∵点A在直线上，
∴，
即，，
∵点B、点C关于x轴的对称，
则．
①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线，
∴OA=OB，
∵，，
则，
由于m≠0，
解得：或，
所以点A的坐标为或；
②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同，

即，
∴，m=0（舍去），
所以点A的坐标为；
综上所述，点A的坐标为或或．
【点拨】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象，直角三角形的性质等知识，注意分类讨论，避免遗漏．
14．
【分析】过点B作BD⊥AC于D．根据二次函数的解析式和对称性求出OA和AC的长度，再根据等腰三角形的性质和等角对等边求出BD的长度，最后通过数形结合思想确定OA 解：如下图所示，过点B作BD⊥AC于D．

∵二次函数的解析式为，
∴当x=0时，y=-4a，二次函数的对称轴是直线．
∴．
∴OA=4a．
∵点在二次函数的图象上，且轴，
∴点A与点C关于直线x=1对称．
∴．
∴AC=2．
∵△ABC是等腰直角三角形，AC为斜边，BD⊥AC，
∴∠BAD=45°，∠BDA=90°，AD=CD=．
∴∠ABD=45°．
∴∠BAD=∠ABD．
∴BD=AD=1．
∵等腰直角三角形的边与轴有两个公共点，
∴OA ∴4a<1．
∴．
∵a>0，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查二次函数的对称性，等腰三角形的性质，等角对等边，正确应用数形结合思想是解题关键．
15．，
【分析】根据抛物线y=a（x+m）2+b与x轴的两交点为（-2，0），（1，0），得出方程a（x+m）2+b=0的解，然后根据方程a（x+m）2+b=0的解与a（x+m+2）2+b=0的解的关系得出答案即可．
解：∵抛物线y=a（x+m）2+b与x轴的两交点为（-2，0），（1，0），
∴方程a（x+m）2+b=0的解为x1=-2，x2=1，
∴方程a（x+m+2）2+b=0中，x+2=-2或x+2=1，
∴方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1．
故答案为：x1=-4，x2=-1．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点坐标与对应的一元二次方程的关系是解题的关键．
16．1或
【分析】先运用根的判别式求得k的取值范围，进而确定k的值，得到抛物线的解析式，再根据折叠得到新图像的解析式，可求出函数图象与x轴的交点坐标，画出函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①过交点（-1，0），根据待定系数法可得m的值；②不过点（一1，0），与相切时，根据判别式解答即可．
解：∵函数与x轴有两个交点，
∴，解得，
当k取最小整数时，，
∴抛物线为，
将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象的解析式为（或）  ：

①因为为的，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有3个交点时它一定过，把代入得所以，
②与相切时，图象有三个交点，
，，解得．
故答案为：1或．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、待定系数法求函数解析式等知识点，掌握分类讨论和直线与抛物线相切时判别式等于零是解答本题的关键．
17．10
【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为10．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
18．
【分析】先根据图形可知AE+CD=AB+AC=2，进而求得AB=AC=1、BC=以及图象最低点的函数值即为AE+CD的最小值；再运用勾股定理求得CD、AE，然后根据AE+CD得到+可知其表示点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和，然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式，进而求得x的值．
解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2
∴AB=AC=1，BC=，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值
由题意可得：CD=,AE=
∴AE+CD=+，即点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和
∴当这三点共线时，AE+CD最小
设该直线的解析式为y=kx+b
解得
∴
当y=0时，x=．
故填．
【点拨】本题主要考查了二次函数与方程的意义，从几何图形和函数图象中挖掘隐含条件成为解答本题的关键．
19．（1）；（2）（1，-2）；（3）（-1，0）或（，-2）或（，2）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q；
（3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可．
（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，
∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3）
如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），  
由轴对称的性质可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，
设直线AE的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为，
当时，，
∴点Q的坐标为（1，-2）；

（3）解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E，

∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），  
∴PE=MF，BE=PF，
设点P的坐标为（1，m），
∴，
∴，，
∴点M的坐标为（1-m，m-2），
∵点M在抛物线上，
∴，  
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（-1，0）；
同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；
如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），
同理可证△PEB≌△BFM（AAS），
∴，
∴点M的坐标为（3-m，-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（，-2）；

如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，
同理可以求得点M的坐标为（，2）；
综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）．

【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
20．（1）；（2）①；②
【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为
根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解．
（1）解：二次函数的图象经过点，
．
又抛物线经过点，对称轴为直线，
解得∶
抛物线的表达式为．
（2）解∶①设直线的表达式为．
点A，B的坐标为，，
∴， 解得： ，
直线的表达式为．
根据题意得：点C与点关于对称轴直线对称，
．
设点N的坐标为．
轴，
．
∴
．

，
解，得．
点M的坐标；
②连接与交与点E．
设点M的坐标为，则点N的坐标为
四边形是正方形，
，，．
∵MN⊥x轴，
轴．
E的坐标为．
．
．
∴P的坐标．
点P在抛物线上，
．
解，得，．
点P在第四象限，
舍去．
即．
点M坐标为．

【点拨】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．
21．（1）；（2）S的最大值为4；（3）或或．
【分析】（1）先假设出函数解析式，利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）设出M点的坐标，利用，即可进行解答；
（3）由，则，是平行四边形的边，根据平行四边形的对边相等，列出方程求解即可．
（1）解：设此抛物线的函数解析式为：，
将，，三点代入函数解析式得：
，
解得，
所以此函数解析式为：；
（2）解：连接 ，

∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，
∴M点的坐标为，
∴


，
∵，
当时，S有最大值为：．
（3）解：设，
根据平行四边形的性质知，且，则，为平行四边形的边，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
又∵直线的解析式为，
则，
由，得，
整理得：
所以或
解得或或（不符合题意，舍去），
∵，
∴不可能是对角线
∴由此可得：或或．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算等，有一定的综合性，熟练的利用二次函数的性质与平行四边形的性质解题是关键．
22．（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或.
分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
详解：（1）依题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为.
∵对称轴为，且抛物线经过，
∴把、分别代入直线，
得，解之得：，
∴直线的解析式为.

（2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得，
∴.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.
（注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）.
（3）设，又，，
∴，，，
①若点为直角顶点，则，即：解得：，
②若点为直角顶点，则，即：解得：，
③若点为直角顶点，则，即：解得：
，.
综上所述的坐标为或或或.
点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
23．（1）；（2）①种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；②或．
【分析】（1）根据函数图像分两种情况，时y为常数，时y为一次函数，设出函数解析式，将两端点值代入求出解析式，将两种情况汇总即可；
（2）先求出x的范围；
①分两段建立w与x的函数关系，即可求出各自的w的最小值，最后比较，即可求出答案案；
②分两段利用，建立不等式求解，即可求出答案．
解：（1）由图像可知，当甲种花卉种植面积m2时，费用y保持不变，为30（元/m2），
所以此区间的函数关系式为：，
当甲种花卉种植面积m2时，函数图像为直线，
设函数关系式为：，
∵当x=40时，y=30，当x=100时，y=15，代入函数关系式得：
，
解得：，
∴
∴当时，y与x的函数关系式应为：
；
（2）∵甲种花卉种植面积不少于30m2，

∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
，

即，
①当时，
由（1）知，，
∵乙种花卉种植费用为15元/m2．
，
∴当x=90时，，
，
∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；
②当时，
由①知，，
∵种植总费用不超过6000元，，
，

即满足条件的x的范围为，
当时，
由①知，，
∵种植总费用不超过6000元，
，
（不符合题意，舍去）或，
即满足条件的x的范围为
综上，满足条件的x的范围为或.
【点拨】本题考查一次函数的实际应用，解题关键是根据函数图像获取自变量的取值范围，仔细分情况讨论，掌握二次函数在自变量取值范围内求最小值的方法．
24．（1）；（2）①1；②点C的坐标是
【分析】（1）将两点分别代入，得,解方程组即可;
（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.
解：（1）将两点分别代入，得
解得．
所以抛物线的解析式是．
（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．

②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得
解得
∴直线的解析式为，
设，
∴，
所以．
所以．
将点代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（与点P重合，舍去）．
当时，．
所以点C的坐标是．
【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．