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    专题14 导数的概念与运算-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义
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    专题14 导数的概念与运算-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义

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    专题14 导数的概念与运算
    【题型归纳目录】
    题型一:导数的定义
    题型二:求函数的导数
    题型三:导数的几何意义
    1、在点P处切线
    2、过点P的切线
    3、公切线
    4、已知切线求参数问题
    5、切线的条数问题
    6、切线平行、垂直、重合问题
    7、最值问题
    【考点预测】
    知识点一:导数的概念和几何性质
    1、概念
    函数在处瞬时变化率是,我们称它为函数在处的导数,记作或.
    知识点诠释:
    ①增量可以是正数,也可以是负,但是不可以等于0.的意义:与0之间距离要多近有多近,即可以小于给定的任意小的正数;
    ②当时,在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数,即存在一个常数与无限接近;
    ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时
    刻的瞬间变化率,即.
    2、几何意义
    函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率.
    3、物理意义
    函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度,即;在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度,即.
    知识点二:导数的运算
    1、求导的基本公式
    基本初等函数
    导函数
    (为常数)















    2、导数的四则运算法则
    (1)函数和差求导法则:;
    (2)函数积的求导法则:;
    (3)函数商的求导法则:,则.
    3、复合函数求导数
    复合函数的导数和函数,的导数间关系为:
    【方法技巧与总结】
    1、在点的切线方程
    切线方程的计算:函数在点处的切线方程为,抓住关键.
    2、过点的切线方程
    设切点为,则斜率,过切点的切线方程为:,
    又因为切线方程过点,所以然后解出的值.(有几个值,就有几条切线)
    注意:在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.
    【典例例题】
    题型一:导数的定义
    【方法技巧与总结】
    对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同,然后根据导数定义直接写出.
    例1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的图象如图所示,函数的导数为,则(    )

    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】由图象可知,
    即.
    故选:D
    例2.(2023·全国·高三专题练习)设函数满足,则(    )
    A. B.1 C. D.2
    【答案】A
    【解析】因为,


    所以,
    故选:A
    例3.(2023·全国·高三专题练习)设f(x)是可导函数,且,则(    )
    A.2 B. C.-1 D.-2
    【答案】B
    【解析】由题设,.
    故选:B
    变式1.(2023·全国·高三专题练习)一个质点作直线运动,其位移s(单位:米)与时间t(单位:秒)满足关系式,,则当时,该质点的瞬时速度为(    )
    A.米/秒 B.3米/秒 C.4米/秒 D.5米/秒
    【答案】B
    【解析】,当时,,故当时,该质点的瞬时速度为3米/秒.
    故选:B.
    变式2.(2023·全国·高三专题练习)某物体沿水平方向运动,其前进距离(米)与时间(秒)的关系为,则该物体在运动前2秒的平均速度为(    )
    A.18米/秒 B.13米/秒 C.9米/秒 D.米/秒
    【答案】C
    【解析】∵,
    ∴该物体在运动前2秒的平均速度为(米/秒).
    故选:C.
    变式3.(2023·全国·高三专题练习)设是可导函数,且,则(    )
    A. B. C.0 D.
    【答案】B
    【解析】∵,
    ∴.
    故选:B.
    题型二:求函数的导数
    【方法技巧与总结】
    对所给函数求导,其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则,直接转化为基本函数求导问题.
    例4.(2023·全国·高三专题练习)已知,且,则实数a的值为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】∵,
    ∴,



    故选:D.
    例5.(2023·全国·高三专题练习)求下列函数的导数:
    (1);
    (2);
    (3);
    (4).
    【解析】(1)因为,所以;
    (2)因为,所以;
    (3)因为,所以;
    (4)因为所以
    例6.(2023·全国·高三专题练习)下列函数的导函数
    (1);
    (2);
    (3);
    (4).
    【解析】(1)因为,所以;
    (2)因为,所以;
    (3)因为,所以;
    (4)因为,所以.
    变式4.(2023·浙江·高三专题练习)请用函数求导法则求出下列函数的导数.
    (1);
    (2);
    (3);
    (4);
    (5).
    【解析】(1)因为,则;
    (2)因为,则;
    (3)因为,则;
    (4)因为,则

    (5)因为,故.
    题型三:导数的几何意义
    【方法技巧与总结】
    函数在点处的导数,就是曲线在点处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.(1)已知在点处的切线方程为.(2)若求曲线过点的切线方程,应先设切点坐标为,由过点,求得的值,从而求得切线方程.另外,要注意切点既在曲线上又在切线上.
    1、在点P处切线
    例7.(2023秋·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习)函数的图象在点处的切线方程为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】因为,所以.因为,,所以所求切线方程为,即.
    故选:B
    例8.(2023·陕西安康·统考一模)函数的图象在点处的切线方程为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】,则,而,故函数在处的切线方程为,则.
    故选:C
    例9.(2023秋·甘肃武威·高三统考阶段练习)曲线在处的切线方程为(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】因为,所以,
    所以曲线在处的切线的斜率为,
    又因为当时,,
    所以曲线在处的切线方程为,即.
    故选:A.
    2、过点P的切线
    变式5.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)已知曲线.则曲线过点P(1,3)的切线方程为.(    )
    A. B. C. D.
    【答案】AB
    【解析】设切点为,
    则,
    所以,
    所以切线方程为,
    因为切线过点(1,3),
    所以,即,
    即,
    解得或,
    所以切线方程为或,
    故选:AB
    变式6.(2023·全国·高三专题练习)已知直线l为函数的切线,且经过原点,则直线l的方程为__________.
    【答案】
    【解析】设切点坐标为,
    所以直线l的斜率为,
    所以直线l的方程为
    又直线l过点,
    所以,
    整理得,解得,
    所以,
    直线l的斜率,
    所以直线l的方程为,
    故答案为:.
    变式7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= x3-3x,则过点(1,-2)的切线方程为__________.
    【答案】和
    【解析】由函数,则,
    当点为切点时,则,即切线的斜率,
    所以切线的方程为,
    当点不是切点时,设切点,则,
    即,
    解得或(舍去),所以
    所以切线的方程为,即.
    故答案为:和.
    变式8.(2023·全国·高三专题练习)过点的直线l与曲线相切,则直线l的斜率为___________.
    【答案】3或
    【解析】因为,所以,,
    当为切点时,,
    当不为切点时,设切点为,,
    所以,
    所以切线方程为:,
    过点,所以
    即,即,解得或(舍),
    所以切点为,所以,
    综上所述:直线l的斜率为3或,
    故答案为:3或
    变式9.(2023·全国·高三专题练习)过点与曲线相切的直线方程为______________.
    【答案】.
    【解析】设切点坐标为,
    由得,
    切线方程为,
    切线过点,
    ,即,

    即所求切线方程为.
    故答案为:.
    3、公切线
    变式10.(2023秋·广东韶关·高三校考阶段练习)已知函数在点处的切线为l,若l与函数相切,切点为,则__________.
    【答案】9
    【解析】由题意得,则,切线方程为,即,
    则,则,.
    故答案为:9.
    变式11.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,,若直线函数,的图象均相切,则的值为________.
    【答案】
    【解析】设直线与函数的图像相切的切点为,
    由可得,即切点为,
    则,所以切线方程为;
    联立,可得,
    由题意可得,解得.
    故答案为:
    变式12.(2023·全国·高三专题练习)已知函数(为常数),直线 与函数 的图像都相切,且 与函数的图像的切点的横坐标为1,则的值为_______.
    【答案】
    【解析】因为所以再由判别式为零得
    变式13.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,,若经过点存在一条直线与图象和图象都相切,则(    )
    A.0 B. C.3 D.或3
    【答案】D
    【解析】因为,
    所以,
    则,
    所以
    所以函数在处的切线方程为,
    由得,
    由,解得或,
    故选:D
    变式14.(2023·全国·高三专题练习)若直线与函数,的图象分别相切于点,,则(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】由,,
    得,,
    则,,即.
    曲线在点处的切线方程为,
    曲线在点处的切线方程为,所以,可得,整理得,
    故选:B.
    4、已知切线求参数问题
    变式15.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在点处的切线方程为,则_______.
    【答案】
    【解析】函数的导数为,
    所以,即函数在点处的切线斜率为,
    由切线方程为,可得,解得,,
    由切点,可得,解得,
    则,
    故答案为:.
    变式16.(2023·全国·高三专题练习)已知直线与曲线相切,则___________.
    【答案】
    【解析】由,所以
    设切点为,则,,
    消去得,
    ∵函数在上单调递增,且,∴,此时.
    故答案为:
    变式17.(2023·全国·高三专题练习)已知直线是曲线的一条切线,则b=___.
    【答案】2
    【解析】函数的定义域为,

    令,则,
    所以切点为,
    代入,得,
    所以.
    故答案为:2.
    变式18.(2023·全国·高三专题练习)已知曲线在点处的切线方程为,则(    )
    A., B.,
    C., D.,
    【答案】C
    【解析】,,
    ∴,∴.将代入得,∴.
    故选:C.
    变式19.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在点处的切线方程为,则(    )
    A.1 B.2 C.4 D.5
    【答案】D
    【解析】由,则,所以
    解得:,,所以
    .故选:D.
    变式20.(2023秋·山西·高三校联考阶段练习)若函数的图象在点处的切线方程为,则(    )
    A.1 B.0 C.-1 D.e
    【答案】B
    【解析】因为,所以,故
    又,所以.
    故选:B
    变式21.(2023秋·贵州遵义·高三统考阶段练习)若函数在处切线方程为,则实数(    )
    A. B. C.2 D.0
    【答案】B
    【解析】,则,解得:,
    所以,,
    所以切点坐标为,将其代入中,
    故,解得:.
    故选:B
    变式22.(2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习)函数在处的切线与直线平行,则实数(    )
    A. B.1 C. D.
    【答案】B
    【解析】函数的导函数为 ,
    函数在处的切线的导数即为切线的斜率为,
    且切线与直线平行,
    则有 ,可得 .
    故选:B
    5、切线的条数问题
    变式23.(2023·全国·高三专题练习)若曲线有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是________________.
    【答案】
    【解析】∵,∴,
    设切点为,则,切线斜率,
    切线方程为:,
    ∵切线过原点,∴,
    整理得:,
    ∵切线有两条,∴,解得或,
    ∴的取值范围是,
    故答案为:
    变式24.(2023秋·河北·高三校联考阶段练习)若过点可以作曲线的两条切线,则(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】作出函数的图象,由图象可知点在函数图象上方时,过此点可以作曲线的两条切线,
    所以,
    故选:B.

    变式25.(2023·全国·高三专题练习)若过点作曲线的切线,则这样的切线共有(    )
    A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
    【答案】C
    【解析】设切点为,由,所以,所以,
    所以切线方程为,即,因为切线过点,
    所以,
    解得或,
    所以过点作曲线的切线可以作2条,
    故选:C
    6、切线平行、垂直、重合问题
    变式26.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数,若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合,则(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】设,


    设,则,即……①
    又,即
    ……②
    由①②可得,
    .
    故选:B.
    变式27.(2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习)函数在处的切线与直线平行,则实数(    )
    A. B.1 C. D.
    【答案】B
    【解析】函数的导函数为 ,
    函数在处的切线的导数即为切线的斜率为,
    且切线与直线平行,
    则有 ,可得 .
    故选:B
    变式28.(2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习)若曲线的一条切线与直线垂直,则切线的方程为(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】设切点为,,
    切线与直线垂直,
    切线的斜率为,
    又,所以,,解得,
    ,即切点,
    由点斜式可得,切线方程为:,即.
    故选:.
    变式29.(2023秋·青海·高三青海师大附中校考阶段练习)已知曲线y=存在两条互相平行的切线,请写出一个满足条件的函数:_______.
    【答案】(答案不唯一)
    【解析】两条切线互相平行应先满足在切点处的导数值相等,
    例如,,,,
    此时,,
    函数在处的切线方程为:;
    函数在处的切线方程为:;合乎题意,
    故答案为:(答案不唯一)
    变式30.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若曲线在处的切线与直线平行,则______.
    【答案】
    【解析】因为函数,
    所以,
    又因为曲线在处的切线与直线平行,
    所以,
    解得,
    故答案为:
    7、最值问题
    变式31.(2023·全国·高三专题练习)已知点P是曲线上任意的一点,则点P到直线的距离的最小值是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】令,则,即,
    所以,
    故选:D.
    变式32.(2023·全国·高三专题练习)若点在曲线上运动,点在直线上运动,两点距离的最小值为_______
    【答案】
    【解析】设与直线平行且与曲线相切于点时,
    此时两点距离的最小值为点到直线的距离,

    因为,所以,即得,
    ,所以点到直线的距离为,
    所以两点距离的最小值为.
    故答案为:
    变式33.(2023·全国·高三专题练习)若点P是曲线上一动点,则点P到直线的最小距离为________.
    【答案】
    【解析】设,,
    设直线与曲线相切,切点为,且直线与直线平行,
    则有,得,,即
    如图所示:

    此时到直线的距离最小,.
    故答案为:
    【过关测试】
    一、单选题
    1.(2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)曲线在点处的切线方程为(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】,所以,又,
    所以切线方程为,即.
    故选:A.
    2.(2023·全国·高三专题练习)函数的图像在点处的切线方程为(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】对函数求导,得,
    所以,即函数的图像在点处的切线斜率为2,
    所以函数的图像在点处的切线方程为,即.
    故选:A
    3.(2023·全国·高三专题练习)在曲线的所有切线中,与直线平行的共有(    ).
    A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
    【答案】C
    【解析】由,
    令,得或,
    当时,曲线在点处的切线与直线重合,
    故在曲线的所有切线中,与直线平行的共有3条.
    故选:C.
    4.(2023·全国·高三专题练习)函数存在与直线平行的切线,则实数的取值范围是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】函数存在与直线平行的切线,即在上有解,
    而,所以,因为,所以,所以.
    所以的取值范围是.
    当直线就是的切线时,设切点坐标,
    可得,解得.
    所以实数的取值范围是:.
    故选:B.
    5.(2023·全国·高三专题练习)设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线斜率为(    )
    A.3 B.2 C.1 D.
    【答案】C
    【解析】因为为奇函数,
    所以,
    所以,
    所以,
    所以,解得,
    所以,,
    所以,
    所以曲线在点处的切线斜率为1.
    故选:C.
    6.(2023·全国·高三专题练习)曲线在处的切线方程是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】,则,
    当时,,,
    所以切线方程为,即.
    故选:D.
    7.(2023·全国·高三专题练习)已知点P是曲线上任意的一点,则点P到直线的距离的最小值是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】令,则,即,
    所以,
    故选:D.
    8.(2023·上海·高三专题练习)已知P是曲线上的一动点,曲线C在P点处的切线的倾斜角为,若,则实数a的取值范围是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】因为,所以,
    因为曲线在M处的切线的倾斜角,
    所以对于任意的恒成立,
    即对任意恒成立,
    即,又,当且仅当,
    即时,等号成立,故,
    所以a的取值范围是.
    故选:D.
    二、多选题
    9.(2023·全国·高三专题练习)如图,是可导函数,直线 l:是曲线在处的切线,令,其中是的导函数,则(    )

    A. B. C. D.
    【答案】ACD
    【解析】由图可知,f(3)=1,故A正确;
    (3,1)在y=kx+2上,故1=3k+2,故,故B错误;
    ,则,故C正确;
    ,,故D正确.
    故选:ACD.
    10.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,则下列结论正确的是(   )
    A.曲线的切线斜率可以是1
    B.曲线的切线斜率可以是
    C.过点且与曲线相切的直线有且只有1条
    D.过点且与曲线相切的直线有且只有2条
    【答案】AC
    【解析】因为函数,所以
    A.令,得 ,所以曲线的切线斜率可以是1,故正确;
    B.令无解,所以曲线的切线斜率不可以是,故错误;
    C. 因为在曲线上,所以点是切点,则,
    所以切线方程为,即,所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条,故正确;
    D.设切点,则切线方程为,因为点在切线上,所以,解得,所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条,故错误;
    故选:AC
    11.(2023·全国·高三专题练习)(多选)设点P是曲线上的任意一点,P点处的切线的倾斜角为,则角的取值范围包含(   )
    A.             B.             C.             D.
    【答案】CD
    【解析】,,
    依题意:,,
    ∵倾斜角的取值范围是,∴,
    故选:CD.
    12.(2023秋·安徽·高三校联考阶段练习)过点的直线与函数的图象相切于点,则的值可以是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】AD
    【解析】因为,所以,
    由题意得直线的斜率,
    即,解得或
    故选:AD.
    三、填空题
    13.(2023·全国·模拟预测)函数的图象在点处的切线方程是______.
    【答案】
    【解析】 ,
    ,则,
    又,切点为,
    函数的图象在点处的切线方程是 即.
    故答案为:.
    14.(2023·全国·高三专题练习)若直线是曲线的一条切线,则实数__________.
    【答案】
    【解析】因为,所以,令,得,
    所以切点为,代入,得.
    故答案为:.
    15.(2023·全国·高三专题练习)函数的图象在处切线的倾斜角为______.
    【答案】
    【解析】由求导得:,则,
    所以函数的图象在处切线斜率为-1,倾斜角为.
    故答案为:
    16.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,函数(且)的图象过定点,若曲线在处的切线经过点,则实数的值为______.
    【答案】
    【解析】函数(且)的图象恒过点,
    因为,
    则在处的切线的斜率为,又,
    所以切线方程为,因为切线经过点,
    所以,解得.
    故答案为:
    17.(2023·全国·高三专题练习)若函数存在平行于轴的切线,则实数取值范围是______.
    【答案】
    【解析】函数定义域为,导函数为,
    使得存在垂直于轴的切线,即有正解,可得有解,
    因为,所以,当且仅当“,即”时等号成立,
    所以实数的取值范围是
    故答案为:
    四、解答题
    18.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
    (1)求的导数;
    (2)求曲线在处切线的方程.
    【解析】(1)函数定义域为,.
    (2)由(1)知,,而,于是得函数的图象在点处的切线方程是,即.
    19.(2023·全国·高三专题练习)求下列函数的导数
    (1);
    (2)
    (3);
    (4)
    【解析】(1);
    (2);
    (3);
    (4).
    20.(2023·全国·高三专题练习)已知两曲线和都经过点,且在点P处有公切线.
    (1)求a,b,c的值;
    (2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积;
    【解析】(1)两函数和的导数分别为:
    和,
    由题意,
    解得;
    (2)由(1)知公切线方程为,
    即,
    令得,令得,
    所以所求面积为;
    21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若在点处切线的倾斜角为,求的值;
    【解析】由,
    得,
    因为在点处切线的倾斜角为,
    所以,
    即,
    解得.
    22.(2023·全国·高三专题练习)设函数,若直线与函数的图象都相切,且与函数的图象相切于点,求的值;
    【解析】,
    则切线:.
    因为与图象相切,所以,
    即有唯一解.
    当时,方程无解;
    当时,由,解得
    综上:



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