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专题14 导数的概念与运算-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义
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专题14 导数的概念与运算
【题型归纳目录】
题型一:导数的定义
题型二:求函数的导数
题型三:导数的几何意义
1、在点P处切线
2、过点P的切线
3、公切线
4、已知切线求参数问题
5、切线的条数问题
6、切线平行、垂直、重合问题
7、最值问题
【考点预测】
知识点一:导数的概念和几何性质
1、概念
函数在处瞬时变化率是,我们称它为函数在处的导数,记作或.
知识点诠释:
①增量可以是正数,也可以是负,但是不可以等于0.的意义:与0之间距离要多近有多近,即可以小于给定的任意小的正数;
②当时,在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数,即存在一个常数与无限接近;
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率,即.
2、几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率.
3、物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度,即;在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度,即.
知识点二:导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数
导函数
(为常数)
2、导数的四则运算法则
(1)函数和差求导法则:;
(2)函数积的求导法则:;
(3)函数商的求导法则:,则.
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数,的导数间关系为:
【方法技巧与总结】
1、在点的切线方程
切线方程的计算:函数在点处的切线方程为,抓住关键.
2、过点的切线方程
设切点为,则斜率,过切点的切线方程为:,
又因为切线方程过点,所以然后解出的值.(有几个值,就有几条切线)
注意:在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.
【典例例题】
题型一:导数的定义
【方法技巧与总结】
对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同,然后根据导数定义直接写出.
例1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的图象如图所示,函数的导数为,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由图象可知,
即.
故选:D
例2.(2023·全国·高三专题练习)设函数满足,则( )
A. B.1 C. D.2
【答案】A
【解析】因为,
,
,
所以,
故选:A
例3.(2023·全国·高三专题练习)设f(x)是可导函数,且,则( )
A.2 B. C.-1 D.-2
【答案】B
【解析】由题设,.
故选:B
变式1.(2023·全国·高三专题练习)一个质点作直线运动,其位移s(单位:米)与时间t(单位:秒)满足关系式,,则当时,该质点的瞬时速度为( )
A.米/秒 B.3米/秒 C.4米/秒 D.5米/秒
【答案】B
【解析】,当时,,故当时,该质点的瞬时速度为3米/秒.
故选:B.
变式2.(2023·全国·高三专题练习)某物体沿水平方向运动,其前进距离(米)与时间(秒)的关系为,则该物体在运动前2秒的平均速度为( )
A.18米/秒 B.13米/秒 C.9米/秒 D.米/秒
【答案】C
【解析】∵,
∴该物体在运动前2秒的平均速度为(米/秒).
故选:C.
变式3.(2023·全国·高三专题练习)设是可导函数,且,则( )
A. B. C.0 D.
【答案】B
【解析】∵,
∴.
故选:B.
题型二:求函数的导数
【方法技巧与总结】
对所给函数求导,其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则,直接转化为基本函数求导问题.
例4.(2023·全国·高三专题练习)已知,且,则实数a的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵,
∴,
,
,
.
故选:D.
例5.(2023·全国·高三专题练习)求下列函数的导数:
(1);
(2);
(3);
(4).
【解析】(1)因为,所以;
(2)因为,所以;
(3)因为,所以;
(4)因为所以
例6.(2023·全国·高三专题练习)下列函数的导函数
(1);
(2);
(3);
(4).
【解析】(1)因为,所以;
(2)因为,所以;
(3)因为,所以;
(4)因为,所以.
变式4.(2023·浙江·高三专题练习)请用函数求导法则求出下列函数的导数.
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
【解析】(1)因为,则;
(2)因为,则;
(3)因为,则;
(4)因为,则
;
(5)因为,故.
题型三:导数的几何意义
【方法技巧与总结】
函数在点处的导数,就是曲线在点处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.(1)已知在点处的切线方程为.(2)若求曲线过点的切线方程,应先设切点坐标为,由过点,求得的值,从而求得切线方程.另外,要注意切点既在曲线上又在切线上.
1、在点P处切线
例7.(2023秋·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习)函数的图象在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,所以.因为,,所以所求切线方程为,即.
故选:B
例8.(2023·陕西安康·统考一模)函数的图象在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,则,而,故函数在处的切线方程为,则.
故选:C
例9.(2023秋·甘肃武威·高三统考阶段练习)曲线在处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为,所以,
所以曲线在处的切线的斜率为,
又因为当时,,
所以曲线在处的切线方程为,即.
故选:A.
2、过点P的切线
变式5.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)已知曲线.则曲线过点P(1,3)的切线方程为.( )
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】设切点为,
则,
所以,
所以切线方程为,
因为切线过点(1,3),
所以,即,
即,
解得或,
所以切线方程为或,
故选:AB
变式6.(2023·全国·高三专题练习)已知直线l为函数的切线,且经过原点,则直线l的方程为__________.
【答案】
【解析】设切点坐标为,
所以直线l的斜率为,
所以直线l的方程为
又直线l过点,
所以,
整理得,解得,
所以,
直线l的斜率,
所以直线l的方程为,
故答案为:.
变式7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= x3-3x,则过点(1,-2)的切线方程为__________.
【答案】和
【解析】由函数,则,
当点为切点时,则,即切线的斜率,
所以切线的方程为,
当点不是切点时,设切点,则,
即,
解得或(舍去),所以
所以切线的方程为,即.
故答案为:和.
变式8.(2023·全国·高三专题练习)过点的直线l与曲线相切,则直线l的斜率为___________.
【答案】3或
【解析】因为,所以,,
当为切点时,,
当不为切点时,设切点为,,
所以,
所以切线方程为:,
过点,所以
即,即,解得或(舍),
所以切点为,所以,
综上所述:直线l的斜率为3或,
故答案为:3或
变式9.(2023·全国·高三专题练习)过点与曲线相切的直线方程为______________.
【答案】.
【解析】设切点坐标为,
由得,
切线方程为,
切线过点,
,即,
,
即所求切线方程为.
故答案为:.
3、公切线
变式10.(2023秋·广东韶关·高三校考阶段练习)已知函数在点处的切线为l,若l与函数相切,切点为,则__________.
【答案】9
【解析】由题意得,则,切线方程为,即,
则,则,.
故答案为:9.
变式11.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,,若直线函数,的图象均相切,则的值为________.
【答案】
【解析】设直线与函数的图像相切的切点为,
由可得,即切点为,
则,所以切线方程为;
联立,可得,
由题意可得,解得.
故答案为:
变式12.(2023·全国·高三专题练习)已知函数(为常数),直线 与函数 的图像都相切,且 与函数的图像的切点的横坐标为1,则的值为_______.
【答案】
【解析】因为所以再由判别式为零得
变式13.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,,若经过点存在一条直线与图象和图象都相切,则( )
A.0 B. C.3 D.或3
【答案】D
【解析】因为,
所以,
则,
所以
所以函数在处的切线方程为,
由得,
由,解得或,
故选:D
变式14.(2023·全国·高三专题练习)若直线与函数,的图象分别相切于点,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由,,
得,,
则,,即.
曲线在点处的切线方程为,
曲线在点处的切线方程为,所以,可得,整理得,
故选:B.
4、已知切线求参数问题
变式15.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在点处的切线方程为,则_______.
【答案】
【解析】函数的导数为,
所以,即函数在点处的切线斜率为,
由切线方程为,可得,解得,,
由切点,可得,解得,
则,
故答案为:.
变式16.(2023·全国·高三专题练习)已知直线与曲线相切,则___________.
【答案】
【解析】由,所以
设切点为,则,,
消去得,
∵函数在上单调递增,且,∴,此时.
故答案为:
变式17.(2023·全国·高三专题练习)已知直线是曲线的一条切线,则b=___.
【答案】2
【解析】函数的定义域为,
,
令,则,
所以切点为,
代入,得,
所以.
故答案为:2.
变式18.(2023·全国·高三专题练习)已知曲线在点处的切线方程为,则( )
A., B.,
C., D.,
【答案】C
【解析】,,
∴,∴.将代入得,∴.
故选:C.
变式19.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在点处的切线方程为,则( )
A.1 B.2 C.4 D.5
【答案】D
【解析】由,则,所以
解得:,,所以
.故选:D.
变式20.(2023秋·山西·高三校联考阶段练习)若函数的图象在点处的切线方程为,则( )
A.1 B.0 C.-1 D.e
【答案】B
【解析】因为,所以,故
又,所以.
故选:B
变式21.(2023秋·贵州遵义·高三统考阶段练习)若函数在处切线方程为,则实数( )
A. B. C.2 D.0
【答案】B
【解析】,则,解得:,
所以,,
所以切点坐标为,将其代入中,
故,解得:.
故选:B
变式22.(2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习)函数在处的切线与直线平行,则实数( )
A. B.1 C. D.
【答案】B
【解析】函数的导函数为 ,
函数在处的切线的导数即为切线的斜率为,
且切线与直线平行,
则有 ,可得 .
故选:B
5、切线的条数问题
变式23.(2023·全国·高三专题练习)若曲线有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是________________.
【答案】
【解析】∵,∴,
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为:,
∵切线过原点,∴,
整理得:,
∵切线有两条,∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为:
变式24.(2023秋·河北·高三校联考阶段练习)若过点可以作曲线的两条切线,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作出函数的图象,由图象可知点在函数图象上方时,过此点可以作曲线的两条切线,
所以,
故选:B.
变式25.(2023·全国·高三专题练习)若过点作曲线的切线,则这样的切线共有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
【答案】C
【解析】设切点为,由,所以,所以,
所以切线方程为,即,因为切线过点,
所以,
解得或,
所以过点作曲线的切线可以作2条,
故选:C
6、切线平行、垂直、重合问题
变式26.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数,若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设,
,
设,则,即……①
又,即
……②
由①②可得,
.
故选:B.
变式27.(2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习)函数在处的切线与直线平行,则实数( )
A. B.1 C. D.
【答案】B
【解析】函数的导函数为 ,
函数在处的切线的导数即为切线的斜率为,
且切线与直线平行,
则有 ,可得 .
故选:B
变式28.(2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习)若曲线的一条切线与直线垂直,则切线的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设切点为,,
切线与直线垂直,
切线的斜率为,
又,所以,,解得,
,即切点,
由点斜式可得,切线方程为:,即.
故选:.
变式29.(2023秋·青海·高三青海师大附中校考阶段练习)已知曲线y=存在两条互相平行的切线,请写出一个满足条件的函数:_______.
【答案】(答案不唯一)
【解析】两条切线互相平行应先满足在切点处的导数值相等,
例如,,,,
此时,,
函数在处的切线方程为:;
函数在处的切线方程为:;合乎题意,
故答案为:(答案不唯一)
变式30.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若曲线在处的切线与直线平行,则______.
【答案】
【解析】因为函数,
所以,
又因为曲线在处的切线与直线平行,
所以,
解得,
故答案为:
7、最值问题
变式31.(2023·全国·高三专题练习)已知点P是曲线上任意的一点,则点P到直线的距离的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令,则,即,
所以,
故选:D.
变式32.(2023·全国·高三专题练习)若点在曲线上运动,点在直线上运动,两点距离的最小值为_______
【答案】
【解析】设与直线平行且与曲线相切于点时,
此时两点距离的最小值为点到直线的距离,
因为,所以,即得,
,所以点到直线的距离为,
所以两点距离的最小值为.
故答案为:
变式33.(2023·全国·高三专题练习)若点P是曲线上一动点,则点P到直线的最小距离为________.
【答案】
【解析】设,,
设直线与曲线相切,切点为,且直线与直线平行,
则有,得,,即
如图所示:
此时到直线的距离最小,.
故答案为:
【过关测试】
一、单选题
1.(2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)曲线在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】,所以,又,
所以切线方程为,即.
故选:A.
2.(2023·全国·高三专题练习)函数的图像在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对函数求导,得,
所以,即函数的图像在点处的切线斜率为2,
所以函数的图像在点处的切线方程为,即.
故选:A
3.(2023·全国·高三专题练习)在曲线的所有切线中,与直线平行的共有( ).
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】C
【解析】由,
令,得或,
当时,曲线在点处的切线与直线重合,
故在曲线的所有切线中,与直线平行的共有3条.
故选:C.
4.(2023·全国·高三专题练习)函数存在与直线平行的切线,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数存在与直线平行的切线,即在上有解,
而,所以,因为,所以,所以.
所以的取值范围是.
当直线就是的切线时,设切点坐标,
可得,解得.
所以实数的取值范围是:.
故选:B.
5.(2023·全国·高三专题练习)设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线斜率为( )
A.3 B.2 C.1 D.
【答案】C
【解析】因为为奇函数,
所以,
所以,
所以,
所以,解得,
所以,,
所以,
所以曲线在点处的切线斜率为1.
故选:C.
6.(2023·全国·高三专题练习)曲线在处的切线方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】,则,
当时,,,
所以切线方程为,即.
故选:D.
7.(2023·全国·高三专题练习)已知点P是曲线上任意的一点,则点P到直线的距离的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令,则,即,
所以,
故选:D.
8.(2023·上海·高三专题练习)已知P是曲线上的一动点,曲线C在P点处的切线的倾斜角为,若,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,所以,
因为曲线在M处的切线的倾斜角,
所以对于任意的恒成立,
即对任意恒成立,
即,又,当且仅当,
即时,等号成立,故,
所以a的取值范围是.
故选:D.
二、多选题
9.(2023·全国·高三专题练习)如图,是可导函数,直线 l:是曲线在处的切线,令,其中是的导函数,则( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由图可知,f(3)=1,故A正确;
(3,1)在y=kx+2上,故1=3k+2,故,故B错误;
,则,故C正确;
,,故D正确.
故选:ACD.
10.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,则下列结论正确的是( )
A.曲线的切线斜率可以是1
B.曲线的切线斜率可以是
C.过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D.过点且与曲线相切的直线有且只有2条
【答案】AC
【解析】因为函数,所以
A.令,得 ,所以曲线的切线斜率可以是1,故正确;
B.令无解,所以曲线的切线斜率不可以是,故错误;
C. 因为在曲线上,所以点是切点,则,
所以切线方程为,即,所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条,故正确;
D.设切点,则切线方程为,因为点在切线上,所以,解得,所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条,故错误;
故选:AC
11.(2023·全国·高三专题练习)(多选)设点P是曲线上的任意一点,P点处的切线的倾斜角为,则角的取值范围包含( )
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】,,
依题意:,,
∵倾斜角的取值范围是,∴,
故选:CD.
12.(2023秋·安徽·高三校联考阶段练习)过点的直线与函数的图象相切于点,则的值可以是( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】因为,所以,
由题意得直线的斜率,
即,解得或
故选:AD.
三、填空题
13.(2023·全国·模拟预测)函数的图象在点处的切线方程是______.
【答案】
【解析】 ,
,则,
又,切点为,
函数的图象在点处的切线方程是 即.
故答案为:.
14.(2023·全国·高三专题练习)若直线是曲线的一条切线,则实数__________.
【答案】
【解析】因为,所以,令,得,
所以切点为,代入,得.
故答案为:.
15.(2023·全国·高三专题练习)函数的图象在处切线的倾斜角为______.
【答案】
【解析】由求导得:,则,
所以函数的图象在处切线斜率为-1,倾斜角为.
故答案为:
16.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,函数(且)的图象过定点,若曲线在处的切线经过点,则实数的值为______.
【答案】
【解析】函数(且)的图象恒过点,
因为,
则在处的切线的斜率为,又,
所以切线方程为,因为切线经过点,
所以,解得.
故答案为:
17.(2023·全国·高三专题练习)若函数存在平行于轴的切线,则实数取值范围是______.
【答案】
【解析】函数定义域为,导函数为,
使得存在垂直于轴的切线,即有正解,可得有解,
因为,所以,当且仅当“,即”时等号成立,
所以实数的取值范围是
故答案为:
四、解答题
18.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)求的导数;
(2)求曲线在处切线的方程.
【解析】(1)函数定义域为,.
(2)由(1)知,,而,于是得函数的图象在点处的切线方程是,即.
19.(2023·全国·高三专题练习)求下列函数的导数
(1);
(2)
(3);
(4)
【解析】(1);
(2);
(3);
(4).
20.(2023·全国·高三专题练习)已知两曲线和都经过点,且在点P处有公切线.
(1)求a,b,c的值;
(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积;
【解析】(1)两函数和的导数分别为:
和,
由题意,
解得;
(2)由(1)知公切线方程为,
即,
令得,令得,
所以所求面积为;
21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若在点处切线的倾斜角为,求的值;
【解析】由,
得,
因为在点处切线的倾斜角为,
所以,
即,
解得.
22.(2023·全国·高三专题练习)设函数,若直线与函数的图象都相切,且与函数的图象相切于点,求的值;
【解析】,
则切线:.
因为与图象相切,所以,
即有唯一解.
当时,方程无解;
当时,由,解得
综上:
【题型归纳目录】
题型一:导数的定义
题型二:求函数的导数
题型三:导数的几何意义
1、在点P处切线
2、过点P的切线
3、公切线
4、已知切线求参数问题
5、切线的条数问题
6、切线平行、垂直、重合问题
7、最值问题
【考点预测】
知识点一:导数的概念和几何性质
1、概念
函数在处瞬时变化率是,我们称它为函数在处的导数,记作或.
知识点诠释:
①增量可以是正数,也可以是负,但是不可以等于0.的意义:与0之间距离要多近有多近,即可以小于给定的任意小的正数;
②当时,在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数,即存在一个常数与无限接近;
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率,即.
2、几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率.
3、物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度,即;在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度,即.
知识点二:导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数
导函数
(为常数)
2、导数的四则运算法则
(1)函数和差求导法则:;
(2)函数积的求导法则:;
(3)函数商的求导法则:,则.
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数,的导数间关系为:
【方法技巧与总结】
1、在点的切线方程
切线方程的计算:函数在点处的切线方程为,抓住关键.
2、过点的切线方程
设切点为,则斜率,过切点的切线方程为:,
又因为切线方程过点,所以然后解出的值.(有几个值,就有几条切线)
注意:在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.
【典例例题】
题型一:导数的定义
【方法技巧与总结】
对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同,然后根据导数定义直接写出.
例1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的图象如图所示,函数的导数为,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由图象可知,
即.
故选:D
例2.(2023·全国·高三专题练习)设函数满足,则( )
A. B.1 C. D.2
【答案】A
【解析】因为,
,
,
所以,
故选:A
例3.(2023·全国·高三专题练习)设f(x)是可导函数,且,则( )
A.2 B. C.-1 D.-2
【答案】B
【解析】由题设,.
故选:B
变式1.(2023·全国·高三专题练习)一个质点作直线运动,其位移s(单位:米)与时间t(单位:秒)满足关系式,,则当时,该质点的瞬时速度为( )
A.米/秒 B.3米/秒 C.4米/秒 D.5米/秒
【答案】B
【解析】,当时,,故当时,该质点的瞬时速度为3米/秒.
故选:B.
变式2.(2023·全国·高三专题练习)某物体沿水平方向运动,其前进距离(米)与时间(秒)的关系为,则该物体在运动前2秒的平均速度为( )
A.18米/秒 B.13米/秒 C.9米/秒 D.米/秒
【答案】C
【解析】∵,
∴该物体在运动前2秒的平均速度为(米/秒).
故选:C.
变式3.(2023·全国·高三专题练习)设是可导函数,且,则( )
A. B. C.0 D.
【答案】B
【解析】∵,
∴.
故选:B.
题型二:求函数的导数
【方法技巧与总结】
对所给函数求导,其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则,直接转化为基本函数求导问题.
例4.(2023·全国·高三专题练习)已知,且,则实数a的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵,
∴,
,
,
.
故选:D.
例5.(2023·全国·高三专题练习)求下列函数的导数:
(1);
(2);
(3);
(4).
【解析】(1)因为,所以;
(2)因为,所以;
(3)因为,所以;
(4)因为所以
例6.(2023·全国·高三专题练习)下列函数的导函数
(1);
(2);
(3);
(4).
【解析】(1)因为,所以;
(2)因为,所以;
(3)因为,所以;
(4)因为,所以.
变式4.(2023·浙江·高三专题练习)请用函数求导法则求出下列函数的导数.
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
【解析】(1)因为,则;
(2)因为,则;
(3)因为,则;
(4)因为,则
;
(5)因为,故.
题型三:导数的几何意义
【方法技巧与总结】
函数在点处的导数,就是曲线在点处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.(1)已知在点处的切线方程为.(2)若求曲线过点的切线方程,应先设切点坐标为,由过点,求得的值,从而求得切线方程.另外,要注意切点既在曲线上又在切线上.
1、在点P处切线
例7.(2023秋·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习)函数的图象在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,所以.因为,,所以所求切线方程为,即.
故选:B
例8.(2023·陕西安康·统考一模)函数的图象在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,则,而,故函数在处的切线方程为,则.
故选:C
例9.(2023秋·甘肃武威·高三统考阶段练习)曲线在处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为,所以,
所以曲线在处的切线的斜率为,
又因为当时,,
所以曲线在处的切线方程为,即.
故选:A.
2、过点P的切线
变式5.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)已知曲线.则曲线过点P(1,3)的切线方程为.( )
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】设切点为,
则,
所以,
所以切线方程为,
因为切线过点(1,3),
所以,即,
即,
解得或,
所以切线方程为或,
故选:AB
变式6.(2023·全国·高三专题练习)已知直线l为函数的切线,且经过原点,则直线l的方程为__________.
【答案】
【解析】设切点坐标为,
所以直线l的斜率为,
所以直线l的方程为
又直线l过点,
所以,
整理得,解得,
所以,
直线l的斜率,
所以直线l的方程为,
故答案为:.
变式7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= x3-3x,则过点(1,-2)的切线方程为__________.
【答案】和
【解析】由函数,则,
当点为切点时,则,即切线的斜率,
所以切线的方程为,
当点不是切点时,设切点,则,
即,
解得或(舍去),所以
所以切线的方程为,即.
故答案为:和.
变式8.(2023·全国·高三专题练习)过点的直线l与曲线相切,则直线l的斜率为___________.
【答案】3或
【解析】因为,所以,,
当为切点时,,
当不为切点时,设切点为,,
所以,
所以切线方程为:,
过点,所以
即,即,解得或(舍),
所以切点为,所以,
综上所述:直线l的斜率为3或,
故答案为:3或
变式9.(2023·全国·高三专题练习)过点与曲线相切的直线方程为______________.
【答案】.
【解析】设切点坐标为,
由得,
切线方程为,
切线过点,
,即,
,
即所求切线方程为.
故答案为:.
3、公切线
变式10.(2023秋·广东韶关·高三校考阶段练习)已知函数在点处的切线为l,若l与函数相切,切点为,则__________.
【答案】9
【解析】由题意得,则,切线方程为,即,
则,则,.
故答案为:9.
变式11.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,,若直线函数,的图象均相切,则的值为________.
【答案】
【解析】设直线与函数的图像相切的切点为,
由可得,即切点为,
则,所以切线方程为;
联立,可得,
由题意可得,解得.
故答案为:
变式12.(2023·全国·高三专题练习)已知函数(为常数),直线 与函数 的图像都相切,且 与函数的图像的切点的横坐标为1,则的值为_______.
【答案】
【解析】因为所以再由判别式为零得
变式13.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,,若经过点存在一条直线与图象和图象都相切,则( )
A.0 B. C.3 D.或3
【答案】D
【解析】因为,
所以,
则,
所以
所以函数在处的切线方程为,
由得,
由,解得或,
故选:D
变式14.(2023·全国·高三专题练习)若直线与函数,的图象分别相切于点,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由,,
得,,
则,,即.
曲线在点处的切线方程为,
曲线在点处的切线方程为,所以,可得,整理得,
故选:B.
4、已知切线求参数问题
变式15.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在点处的切线方程为,则_______.
【答案】
【解析】函数的导数为,
所以,即函数在点处的切线斜率为,
由切线方程为,可得,解得,,
由切点,可得,解得,
则,
故答案为:.
变式16.(2023·全国·高三专题练习)已知直线与曲线相切,则___________.
【答案】
【解析】由,所以
设切点为,则,,
消去得,
∵函数在上单调递增,且,∴,此时.
故答案为:
变式17.(2023·全国·高三专题练习)已知直线是曲线的一条切线,则b=___.
【答案】2
【解析】函数的定义域为,
,
令,则,
所以切点为,
代入,得,
所以.
故答案为:2.
变式18.(2023·全国·高三专题练习)已知曲线在点处的切线方程为,则( )
A., B.,
C., D.,
【答案】C
【解析】,,
∴,∴.将代入得,∴.
故选:C.
变式19.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在点处的切线方程为,则( )
A.1 B.2 C.4 D.5
【答案】D
【解析】由,则,所以
解得:,,所以
.故选:D.
变式20.(2023秋·山西·高三校联考阶段练习)若函数的图象在点处的切线方程为,则( )
A.1 B.0 C.-1 D.e
【答案】B
【解析】因为,所以,故
又,所以.
故选:B
变式21.(2023秋·贵州遵义·高三统考阶段练习)若函数在处切线方程为,则实数( )
A. B. C.2 D.0
【答案】B
【解析】,则,解得:,
所以,,
所以切点坐标为,将其代入中,
故,解得:.
故选:B
变式22.(2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习)函数在处的切线与直线平行,则实数( )
A. B.1 C. D.
【答案】B
【解析】函数的导函数为 ,
函数在处的切线的导数即为切线的斜率为,
且切线与直线平行,
则有 ,可得 .
故选:B
5、切线的条数问题
变式23.(2023·全国·高三专题练习)若曲线有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是________________.
【答案】
【解析】∵,∴,
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为:,
∵切线过原点,∴,
整理得:,
∵切线有两条,∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为:
变式24.(2023秋·河北·高三校联考阶段练习)若过点可以作曲线的两条切线,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作出函数的图象,由图象可知点在函数图象上方时,过此点可以作曲线的两条切线,
所以,
故选:B.
变式25.(2023·全国·高三专题练习)若过点作曲线的切线,则这样的切线共有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
【答案】C
【解析】设切点为,由,所以,所以,
所以切线方程为,即,因为切线过点,
所以,
解得或,
所以过点作曲线的切线可以作2条,
故选:C
6、切线平行、垂直、重合问题
变式26.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数,若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设,
,
设,则,即……①
又,即
……②
由①②可得,
.
故选:B.
变式27.(2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习)函数在处的切线与直线平行,则实数( )
A. B.1 C. D.
【答案】B
【解析】函数的导函数为 ,
函数在处的切线的导数即为切线的斜率为,
且切线与直线平行,
则有 ,可得 .
故选:B
变式28.(2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习)若曲线的一条切线与直线垂直,则切线的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设切点为,,
切线与直线垂直,
切线的斜率为,
又,所以,,解得,
,即切点,
由点斜式可得,切线方程为:,即.
故选:.
变式29.(2023秋·青海·高三青海师大附中校考阶段练习)已知曲线y=存在两条互相平行的切线,请写出一个满足条件的函数:_______.
【答案】(答案不唯一)
【解析】两条切线互相平行应先满足在切点处的导数值相等,
例如,,,,
此时,,
函数在处的切线方程为:;
函数在处的切线方程为:;合乎题意,
故答案为:(答案不唯一)
变式30.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若曲线在处的切线与直线平行,则______.
【答案】
【解析】因为函数,
所以,
又因为曲线在处的切线与直线平行,
所以,
解得,
故答案为:
7、最值问题
变式31.(2023·全国·高三专题练习)已知点P是曲线上任意的一点,则点P到直线的距离的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令,则,即,
所以,
故选:D.
变式32.(2023·全国·高三专题练习)若点在曲线上运动,点在直线上运动,两点距离的最小值为_______
【答案】
【解析】设与直线平行且与曲线相切于点时,
此时两点距离的最小值为点到直线的距离,
因为,所以,即得,
,所以点到直线的距离为,
所以两点距离的最小值为.
故答案为:
变式33.(2023·全国·高三专题练习)若点P是曲线上一动点,则点P到直线的最小距离为________.
【答案】
【解析】设,,
设直线与曲线相切,切点为,且直线与直线平行,
则有,得,,即
如图所示:
此时到直线的距离最小,.
故答案为:
【过关测试】
一、单选题
1.(2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)曲线在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】,所以,又,
所以切线方程为,即.
故选:A.
2.(2023·全国·高三专题练习)函数的图像在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对函数求导,得,
所以,即函数的图像在点处的切线斜率为2,
所以函数的图像在点处的切线方程为,即.
故选:A
3.(2023·全国·高三专题练习)在曲线的所有切线中,与直线平行的共有( ).
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】C
【解析】由,
令,得或,
当时,曲线在点处的切线与直线重合,
故在曲线的所有切线中,与直线平行的共有3条.
故选:C.
4.(2023·全国·高三专题练习)函数存在与直线平行的切线,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数存在与直线平行的切线,即在上有解,
而,所以,因为,所以,所以.
所以的取值范围是.
当直线就是的切线时,设切点坐标,
可得,解得.
所以实数的取值范围是:.
故选:B.
5.(2023·全国·高三专题练习)设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线斜率为( )
A.3 B.2 C.1 D.
【答案】C
【解析】因为为奇函数,
所以,
所以,
所以,
所以,解得,
所以,,
所以,
所以曲线在点处的切线斜率为1.
故选:C.
6.(2023·全国·高三专题练习)曲线在处的切线方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】,则,
当时,,,
所以切线方程为,即.
故选:D.
7.(2023·全国·高三专题练习)已知点P是曲线上任意的一点,则点P到直线的距离的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令,则,即,
所以,
故选:D.
8.(2023·上海·高三专题练习)已知P是曲线上的一动点,曲线C在P点处的切线的倾斜角为,若,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,所以,
因为曲线在M处的切线的倾斜角,
所以对于任意的恒成立,
即对任意恒成立,
即,又,当且仅当,
即时,等号成立,故,
所以a的取值范围是.
故选:D.
二、多选题
9.(2023·全国·高三专题练习)如图,是可导函数,直线 l:是曲线在处的切线,令,其中是的导函数,则( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由图可知,f(3)=1,故A正确;
(3,1)在y=kx+2上,故1=3k+2,故,故B错误;
,则,故C正确;
,,故D正确.
故选:ACD.
10.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,则下列结论正确的是( )
A.曲线的切线斜率可以是1
B.曲线的切线斜率可以是
C.过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D.过点且与曲线相切的直线有且只有2条
【答案】AC
【解析】因为函数,所以
A.令,得 ,所以曲线的切线斜率可以是1,故正确;
B.令无解,所以曲线的切线斜率不可以是,故错误;
C. 因为在曲线上,所以点是切点,则,
所以切线方程为,即,所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条,故正确;
D.设切点,则切线方程为,因为点在切线上,所以,解得,所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条,故错误;
故选:AC
11.(2023·全国·高三专题练习)(多选)设点P是曲线上的任意一点,P点处的切线的倾斜角为,则角的取值范围包含( )
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】,,
依题意:,,
∵倾斜角的取值范围是,∴,
故选:CD.
12.(2023秋·安徽·高三校联考阶段练习)过点的直线与函数的图象相切于点,则的值可以是( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】因为,所以,
由题意得直线的斜率,
即,解得或
故选:AD.
三、填空题
13.(2023·全国·模拟预测)函数的图象在点处的切线方程是______.
【答案】
【解析】 ,
,则,
又,切点为,
函数的图象在点处的切线方程是 即.
故答案为:.
14.(2023·全国·高三专题练习)若直线是曲线的一条切线,则实数__________.
【答案】
【解析】因为,所以,令,得,
所以切点为,代入,得.
故答案为:.
15.(2023·全国·高三专题练习)函数的图象在处切线的倾斜角为______.
【答案】
【解析】由求导得:,则,
所以函数的图象在处切线斜率为-1,倾斜角为.
故答案为:
16.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,函数(且)的图象过定点,若曲线在处的切线经过点,则实数的值为______.
【答案】
【解析】函数(且)的图象恒过点,
因为,
则在处的切线的斜率为,又,
所以切线方程为,因为切线经过点,
所以,解得.
故答案为:
17.(2023·全国·高三专题练习)若函数存在平行于轴的切线,则实数取值范围是______.
【答案】
【解析】函数定义域为,导函数为,
使得存在垂直于轴的切线,即有正解,可得有解,
因为,所以,当且仅当“,即”时等号成立,
所以实数的取值范围是
故答案为:
四、解答题
18.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)求的导数;
(2)求曲线在处切线的方程.
【解析】(1)函数定义域为,.
(2)由(1)知,,而,于是得函数的图象在点处的切线方程是,即.
19.(2023·全国·高三专题练习)求下列函数的导数
(1);
(2)
(3);
(4)
【解析】(1);
(2);
(3);
(4).
20.(2023·全国·高三专题练习)已知两曲线和都经过点,且在点P处有公切线.
(1)求a,b,c的值;
(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积;
【解析】(1)两函数和的导数分别为:
和,
由题意,
解得;
(2)由(1)知公切线方程为,
即,
令得,令得,
所以所求面积为;
21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若在点处切线的倾斜角为,求的值;
【解析】由,
得,
因为在点处切线的倾斜角为,
所以,
即,
解得.
22.(2023·全国·高三专题练习)设函数,若直线与函数的图象都相切,且与函数的图象相切于点,求的值;
【解析】,
则切线:.
因为与图象相切,所以,
即有唯一解.
当时,方程无解;
当时,由,解得
综上:
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