艺术生高考数学专题讲义：考点43 双曲线

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点43 双曲线，共8页。试卷主要包含了双曲线的概念，双曲线的标准方程和几何性质，双曲线与椭圆的区别，过双曲线C，已知M是双曲线C，设F是双曲线C等内容，欢迎下载使用。

1．双曲线的概念
把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．
用集合语言表示为：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
说明：定义中，到两定点的距离之差的绝对值小于两定点间距离非常重要．令平面内一点到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为2a(a为常数)，则只有当2a<|F1F2|且2a≠0时，点的轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，则点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则点的轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
说明：在双曲线的标准方程中，决定焦点位置的因素是x2或y2的系数．若x2系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
3．双曲线与椭圆的区别
(1) 定义表达式不同：在椭圆中|PF1|＋|PF2|＝2a，而在双曲线中||PF1|－|PF2||＝2a；
(2) 离心率范围不同：椭圆的离心率e∈(0，1)，而双曲线的离心率e∈(1，＋∞)；
(3) a，b，c的关系不同：在椭圆中a2＝b2＋c2，a＞c；而在双曲线中c2＝a2＋b2， c＞a．
典例剖析
题型一 双曲线的定义和标准方程
例1 设双曲线C的两个焦点为(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．
答案 x2－y2＝1
解析 由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，且c＝eq \r(2)，a＝1，则b2＝c2－a2＝1，
所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.
变式训练 与椭圆C：eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1共焦点且过点(1，eq \r(3))的双曲线的标准方程为________．
答案 eq \f(y2,2)－eq \f(x2,2)＝1
解析 椭圆eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0，2)，
设双曲线的标准方程为eq \f(y2,m)－eq \f(x2,n)＝1(m>0，n>0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3,m)－\f(1,n)＝1,m＋n＝4))，解得m＝n＝2.
∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,2)－eq \f(x2,2)＝1.
解题要点 求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法．在求解时，注意巧设方程，可以减少讨论以及计算的难度，一般来说：
(1)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t (t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1 (mn>0)，也可设为Ax2＋By2＝1 (AB<0)，这种形式在解题时更简便．
题型二 双曲线的离心率
例2 已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为2，则a＝________．
答案 1
解析 由题，c＝2a. ∴c2＝4a2，又c2＝a2＋3，∴4a2＝a2＋3，a2＝1，
∵a>0，∴ a＝1．
变式训练 若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．
答案 eq \r(5)
解析 由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝5，∴e＝eq \r(5).
解题要点 1.注意双曲线中a，b，c的关系，在双曲线中c2＝a2＋b2， c＞a．
2. 注意离心率公式及其变式运用，e＝eq \f(c,a)eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\f(b2,a2))，
e＝eq \r(\f(c2,c2－b2))＝ eq \r(\f(1,1－\f(b2,c2))) .
题型三 双曲线的渐近线
例3 设双曲线C经过点(2，2)，且与eq \f(y2,4)－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．
答案 eq \f(x2,3)－eq \f(y2,12)＝1 y＝±2x
解析 设双曲线C的方程为eq \f(y2,4)－x2＝λ，将点(2，2)代入上式，得λ＝－3，
∴C的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,12)＝1，其渐近线方程为y＝±2x.
变式训练 已知双曲线C：eq \f(x2,n)－eq \f(y2,4－n)＝1的离心率为eq \r(3)，则C的渐近线方程为________．
答案 y＝±eq \r(2)x
解析 由双曲线的方程eq \f(x2,n)－eq \f(y2,4－n)＝1知，双曲线的焦点在x轴上，∴eq \f(n＋4－n,n)＝(eq \r(3))2＝3，
∴n＝eq \f(4,3)，∴a2＝eq \f(4,3)，b2＝4－eq \f(4,3)＝eq \f(8,3)，从而双曲线的渐近线方程是y＝±eq \r(2)x.
解题要点 1.已知双曲线方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，求渐近线时可直接将1换为0，解方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0求出渐近线．
2.双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得eq \f(b,a)的值，于是e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2，因此可求出离心率e的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即eq \f(b,a)＝eq \r(e2－1).但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解.
当堂练习
1．（2015广东理）已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(5,4)，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为________．
答案 eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
解析 因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
2．（2015安徽文）下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是________．
①x2－eq \f(y2,4)＝1 ②eq \f(x2,4)－y2＝1 ③x2－eq \f(y2,2)＝1 ④eq \f(x2,2)－y2＝1
答案 ①
解析 由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选①.
3. （2015福建理）若双曲线E：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于________．
答案 9
解析 由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9.
4．（2015山东文）过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
答案 2＋eq \r(3)
解析 把x＝2a代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2) ＝1；得y＝±eq \r(3)b.
不妨取P(2a，－eq \r(3)b)．又∵双曲线右焦点F2的坐标为(c,0)，
∴kF2P＝eq \f(\r(3)b,c－2a).由题意，得eq \f(\r(3)b,c－2a)＝eq \f(b,a).
∴(2＋eq \r(3))a＝c.∴双曲线C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝2＋eq \r(3).
5．（2015北京文）已知(2,0)是双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________.
答案 eq \r(3)
解析 由题意：c＝2，a＝1，由c2＝a2＋b2.得b2＝4－1＝3，所以b＝eq \r(3).
课后作业
填空题
1． （2015天津文）已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为________．
答案 x2－eq \f(y2,3)＝1
2．（2015湖南文）若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．
答案 eq \f(5,3)
解析 由条件知y＝－eq \f(b,a)x过点(3，－4)，∴eq \f(3b,a)＝4，
即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，∴25a2＝9c2，∴e＝eq \f(5,3).
3．（2015新课标II理）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为________．
答案 eq \r(2)
解析 如图，设双曲线E的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝eq \r(3)a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acs 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，可得a2＝b2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(2).
4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于eq \f(3,2)，则C的方程是________．
答案 eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
解析 由曲线C的右焦点为F(3,0)，知c＝3.由离心率e＝eq \f(3,2)，知eq \f(c,a)＝eq \f(3,2)，则a＝2，
故b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.
5．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为________．
答案 y＝±eq \f(1,2)x
解析 ∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(5,4).∴a2＝4b2，eq \f(b,a)＝eq \f(1,2).∴渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(1,2)x.
6．（2015新课标Ⅰ理）已知M(x0，y0)是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))<0，则y0的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))
解析 由双曲线方程可求出F1，F2的坐标，再求出向量eq \(MF1,\s\up6(→))，eq \(MF2,\s\up6(→))，然后利用向量的数量积公式求解．
由题意知a＝eq \r(2)，b＝1，c＝eq \r(3)，∴F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，
∴eq \(MF1,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)－x0，－y0)，eq \(MF2,\s\up6(→))＝(eq \r(3)－x0，－y0)．
∵eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))<0，∴(－eq \r(3)－x0)(eq \r(3)－x0)＋yeq \\al(2,0)<0，
即xeq \\al(2,0)－3＋yeq \\al(2,0)<0.
∵点M(x0，y0)在双曲线上，∴eq \f(x\\al(2,0),2)－yeq \\al(2,0)＝1，即xeq \\al(2,0)＝2＋2yeq \\al(2,0)，
∴2＋2yeq \\al(2,0)－3＋yeq \\al(2,0)<0，∴－eq \f(\r(3),3)7．（2015重庆文）设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________．
答案 ±1
解析 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的右焦点F(c,0)，左、右顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，易求Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，则kA2C＝eq \f(\f(b2,a),a－c)，kA1B＝eq \f(\f(b2,a),a＋c)，又A1B与A2C垂直，
则有kA1B·kA2C＝－1，即eq \f(\f(b2,a),a＋c)·eq \f(\f(b2,a),a－c)＝－1，
∴eq \f(\f(b4,a2),c2－a2)＝1，∴a2＝b2，即a＝b，∴渐近线斜率k＝±eq \f(b,a)＝±1.
8．（2015新课标II文）已知双曲线过点(4，eq \r(3))，且渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，则该双曲线的标准方程为________．
答案 eq \f(x2,4)－y2＝1
解析 由双曲线渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，可设该双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，eq \r(3))，所以eq \f(42,4)－(eq \r(3))2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
9． （2015天津文）双曲线eq \f(x2,2)－y2＝1的焦距是______，渐近线方程是________________．
答案 2eq \r(3) y＝±eq \f(\r(2),2)x
解析 由双曲线方程得a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，∴焦距为2eq \r(3)，渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x.
10．（2015湖南理）设F是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．
答案 eq \r(5)
解析 不妨设F(c,0)，则由条件知P(－c，±2b)，代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1得eq \f(c2,a2)＝5，∴e＝eq \r(5).
11．（2015新课标Ⅰ文）已知F是双曲线C：x2－eq \f(y2,8)＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6eq \r(6))．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
答案 12eq \r(6)
解析 设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，
∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,6\r(6))＝1.与x2－eq \f(y2,8)＝1联立，解得P点坐标为(－2,2eq \r(6))，此时S＝＝12eq \r(6).
二、解答题
12．已知椭圆D：eq \f(x2,50)＋eq \f(y2,25)＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐进线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解析 椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，∴双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.
∴eq \f(|5a|,\r(b2＋a2))＝3，得a＝3，b＝4，
∴双曲线G的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1.
13．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．
解析 切点为P(3，－1)的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x－y＝10.
∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，
∴两渐近线方程为3x±y＝0.
设所求双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵点P(3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，
∴所求的双曲线方程为eq \f(x2,\f(80,9))－eq \f(y2,80)＝1.标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)