艺术生高考数学专题讲义：考点42 椭圆

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点42 椭圆，共10页。试卷主要包含了椭圆的概念，椭圆的标准方程和几何性质，点P和椭圆的关系，椭圆中的弦长公式，椭圆中点弦有关的结论，设F1，F2分别是椭圆C，已知椭圆E等内容，欢迎下载使用。

1．椭圆的概念
把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
椭圆定义用集合语言表示如下：
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
在椭圆定义中，特别强调到两定点的距离之和要大于|F1F2|．当到两定点的距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当到两定点的距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
说明：当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax2＋By2＝1的形式，其中A，B是不相等的正常数，或设成eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m2≠n2)的形式．
3．点P(x0，y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)<1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)>1.
3．椭圆的焦点三角形有关结论
椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形，与之有关的常用结论有：
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a；
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs θ；(其中，θ＝∠F1PF2)
(3)当P为短轴端点时，θ最大．
(4)S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝eq \f(sin θ,1＋cs θ)·b2＝b2tan eq \f(θ,2)＝c·|y0|.
当y0＝±b，即P为短轴端点时，S△PF1F2有最大值为bc.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
4．椭圆中的弦长公式
(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长eq \f(2b2,a)，最长为2a.
5．椭圆中点弦有关的结论
AB为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．
(1)斜率：k＝－eq \f(b2x0,a2y0).
(2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－eq \f(b2,a2).
典例剖析
题型一 椭圆的定义和标准方程
例1 (1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是________．
(2) 设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则△PF1F2的周长为________．
答案 (1) eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 (2) 16
解析 (1)由题意知c＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2) △PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋6＝16.
变式训练 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(eq \r(6)，1)，
P2(－eq \r(3)，－eq \r(2))，则椭圆的方程为________．
答案 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1
解析 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．
∵椭圆经过P1，P2两点，∴P1，P2点坐标适合椭圆方程，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6m＋n＝1， ①,3m＋2n＝1， ②))
①②两式联立，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))∴所求椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1.
解题要点 1.求解椭圆标准方程一般用待定系数法，如果能确定焦点位置，则设标准方程为
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，若焦点位置不明确，可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
2.若P是椭圆上一点，则由椭圆定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a，从而△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c．
题型二 二次方程表示椭圆的条件
例2 “2答案 必要不充分条件
解析 若eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示椭圆．则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))
∴2故“2变式训练 若方程eq \f(x2,5－k)＋eq \f(y2,k－3)＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
答案 (3，4)∪(4，5)
解析 由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5－k>0,k－3>0,5－k≠k－3))，解得3解题要点 关于x,y的二次方程表示Ax2＋By2＝1表示椭圆，则需系数满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＞0, B＞0, A≠B))．
题型三 椭圆的几何性质
例3 已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
答案 eq \r(3)－1
解析 设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A，则|AF1|＝c，|AF2|＝eq \r(3)c，有2a＝(1＋eq \r(3))c，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,1＋\r(3))＝eq \r(3)－1.
变式训练 椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4＋k)＝1的离心率为eq \f(4,5)，则k的值为________．
答案 －eq \f(19,25)或21
解析 若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝eq \r(5－k)，
由eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，即eq \f(\r(5－k),3)＝eq \f(4,5)，得k＝－eq \f(19,25)；
若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝eq \r(k－5)，
由eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，即eq \f(\r(k－5),\r(4＋k))＝eq \f(4,5)，解得k＝21.
解题要点 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方法：
(1)求出a，c代入公式e＝eq \f(c,a)；
(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
需要注意的是，若焦点位置未指明在x轴还是y轴，则应进行讨论．
题型四 直线与椭圆的位置关系
例4 过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
答案 eq \f(5,3)
解析 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1,y＝2x－2))，解得交点A(0，－2)，B(eq \f(5,3)，eq \f(4,3))，
∴S△OAB＝eq \f(1,2)·|OF|·|yA－yB|＝eq \f(1,2)×1×|－2－eq \f(4,3)|＝eq \f(5,3).
变式训练 已知椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为________．
答案 －eq \f(1,2)
解析 设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),36)＋\f(y\\al(2,1),9)＝1，,\f(x\\al(2,2),36)＋\f(y\\al(2,2),9)＝1，))两式相减，
得eq \f(x1＋x2x1－x2,36)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,9)＝0，
∴eq \f(2x1－x2,9)＝－eq \f(4y1－y2,9)，∴k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2).
说明：本题也可以直接利用结论：k＝－eq \f(b2x0,a2y0)＝－eq \f(9×4,36×2)＝－eq \f(1,2).
解题要点 直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般可以直接联立方程，“设而不求”，把方程组转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解．同时，还应记住一些常用结论：(1)中点弦斜率：k＝－eq \f(b2x0,a2y0).；(2)最短的焦点弦为通径长eq \f(2b2,a)，最长为2a.
(3)弦长公式|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
当堂练习
1．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为eq \f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4eq \r(3)，则C的方程为________．
答案 eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
解析 由e＝eq \f(\r(3),3)，得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)①.又△AF1B的周长为4eq \r(3)，由椭圆定义，得4a＝4eq \r(3)，得a＝eq \r(3)，代入①得c＝1，
∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
2．(2015新课标Ⅰ文)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为eq \f(1,2)，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|等于________．
答案 6
解析 因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，y2＝8x的焦点为(2,0)，所以c＝2，a＝4，故椭圆方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1，将x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3，所以|AB|＝6.
3. 椭圆Γ：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝eq \r(3)(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于__________．
答案 eq \r(3)－1
解析 ∵直线y＝eq \r(3)(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为60°，
∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，
∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M.
∵|MF1|＝c，|MF1|＋|MF2|＝2a，∴|MF2|＝2a－c.
∵|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2.∴c2＋(2a－c)2＝4c2，即c2＋2ac－2a2＝0.
∴e2＋2e－2＝0，解得e＝eq \r(3)－1.
4．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________．
答案 eq \f(1,4)
解析 将原方程变形为x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1，由题意知a2＝eq \f(1,m)，b2＝1，
∴a＝eq \r(\f(1,m))，b＝1.∴eq \r(\f(1,m))＝2，∴m＝eq \f(1,4).
5．已知△ABC中，A、B的坐标分别为(2,0)和(－2,0)，若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是________．
答案 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1(y≠0)
解析 点C到两个定点A、B的距离之和为6,6>4，故所求点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其中2a＝6,2c＝4，则b2＝5.所以顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1，
又A、B、C三点不共线，即y≠0.
课后作业
填空题
1． (2015广东文)已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m等于________．
答案 3
解析 由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.
2．过点A(3，－2)且与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为________．
答案 eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1
解析 由题意得c2＝9－4＝5，又已知椭圆的焦点在x轴上，
故所求椭圆方程可设为eq \f(x2,λ＋5)＋eq \f(y2,λ)＝1(λ＞0)，代入点A的坐标得eq \f(9,λ＋5)＋eq \f(4,λ)＝1，
解得λ＝10或λ＝－2(舍去)．故所求椭圆的方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1.
3．设e是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,k)＝1的离心率，且e∈(eq \f(1,2)，1)，则实数k的取值范围是________．
答案 (0,3)∪(eq \f(16,3)，＋∞)
解析 当k>4时，c＝eq \r(k－4)，由条件知eq \f(1,4)eq \f(16,3)；
当04．椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的焦距等于2，则m的值为________．
答案 5或3
解析 当m＞4时，m－4＝1，m＝5；当m＜4时，4－m＝1，m＝3.
5．若椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,b2)＝1过点(－2，eq \r(3))，则其焦距为________．
答案 4eq \r(3)
解析 ∵椭圆过(－2，eq \r(3))，则有eq \f(4,16)＋eq \f(3,b2)＝1，b2＝4，c2＝16－4＝12，c＝2eq \r(3)，2c＝4eq \r(3).
6．已知斜率为－eq \f(1,2)的直线l交椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)于A，B两点，若点P(2,1)是AB的中点，则C的离心率等于________．
答案 eq \f(\r(3),2)
解析 kAB＝－eq \f(1,2)，kOP＝eq \f(1,2)，由kAB·kOP＝－eq \f(b2,a2)，得eq \f(1,2)×(－eq \f(1,2))＝－eq \f(b2,a2).∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4).
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).
7．设F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F1F2的中点，则OM为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2.
所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.
由于∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|.
由勾股定理，得
|F1F2|＝eq \r(|PF1|2－|PF2|2)＝eq \r(3)|PF2|.
由椭圆定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|⇒a＝eq \f(3|PF2|,2)，2c＝|F1F2|＝eq \r(3)|PF2|⇒c＝eq \f(\r(3)|PF2|,2).
所以椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3)|PF2|,2)·eq \f(2,3|PF2|)＝eq \f(\r(3),3).
8．(2015福建文)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))
解析 左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.
设M(0，b)，则eq \f(4b,5)≥eq \f(4,5)，∴1≤b＜2.
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \r(\f(4－b2,4))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))).
9．椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的弦被点(eq \f(1,2)，eq \f(1,2))平分，则这条弦所在的直线方程是________．
答案 2x＋4y－3＝0
解析 设该弦与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由点(eq \f(1,2)，eq \f(1,2))平分弦AB可得x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，再将点A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程后作差可得kAB＝－eq \f(1,2)，然后根据点斜式方程可求得直线AB的方程为2x＋4y－3＝0.
10．已知△ABC的顶点B、C在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．
答案 4eq \r(3)
解析 如图，
设椭圆的另外一个焦点为F，
则△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4a＝4eq \r(3).
11．设F1、F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点距离为________．
答案 4
解析 ∵|OM|＝3，∴|PF2|＝6，又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝4.
二、解答题
12． (2015安徽文)设椭圆E的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为eq \f(\r(5),10).
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.
解析 (1)解 由题设条件知，点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a，\f(1,3)b))，又kOM＝eq \f(\r(5),10)，从而eq \f(b,2a)＝eq \f(\r(5),10).
进而a＝eq \r(5)b，c＝eq \r(a2－b2)＝2b，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(5),5).
(2)证明 由N是AC的中点知，点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，－\f(b,2)))，可得eq \(NM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,6)，\f(5b,6)))，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)，
从而有eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＝－eq \f(1,6)a2＋eq \f(5,6)b2＝eq \f(1,6)(5b2－a2)．
由(1)的计算结果可知a2＝5b2，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＝0，故MN⊥AB.
13．(2015北京文节选)已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
解析 (1)椭圆C的标准方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1，所以a＝eq \r(3)，b＝1，c＝eq \r(2).
所以椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3).
(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，－y1)，
直线AE的方程为y－1＝(1－y1)(x－2)，
令x＝3，得M(3,2－y1)，所以直线BM的斜率kBM＝eq \f(2－y1＋y1,3－1)＝1.标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1
(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1
(a>b>0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2