专题16 极值与最值-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题16 极值与最值
【题型归纳目录】
题型一：求函数的极值与极值点
题型二：根据极值、极值点求参数
题型三：求函数的最值
题型四：根据最值求参数
题型五：函数单调性、极值、最值得综合应用
题型六：不等式恒成立与存在性问题
【考点预测】
知识点一：极值与最值
1、函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.
2、函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【方法技巧与总结】
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
【典例例题】
题型一：求函数的极值与极值点
【方法技巧与总结】
1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ）

A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
【答案】C
【解析】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，
又a 因为，，且当时，；当c 当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．
由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．
故选：C．
例2．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（       ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【解析】由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，
在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有个.
故选：A.
例3．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为R，导函数的图象如图所示，则函数（    ）

A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
【答案】C
【解析】设的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为，
当或或时，，
当或时，，
所以函数在，和上递增，
在和上递减，
所以函数的极小值点为，极大值点为，
所以函数有两个极大值点、两个极小值点.
故选：C．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】如图所示，设导函数的图象与轴的交点分别为，
根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，
可得为函数的极大值点，为函数的极小值点，
所以函数极值点的个数为4个.
故选：C.

变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为(a，b)，导函数在(a，b)上的图象如图所示，则函数在(a，b)上的极大值点的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由函数极值的定义和导函数的图象可知，在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点．
其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，
故极大值点有2个．
故选：B
变式3．（2023·全国·高三专题练习）设函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)求的极大值点与极小值点；
(3)求在区间上的最大值与最小值．
【解析】（1）由题意得：，则，
又，
在处的切线方程为，即；
（2）令，解得：或，
则变化情况如下表：














极小值

极大值

的极小值点为，极大值点为；
（3）由（2）知：在上单调递减，在上单调递增；
又，，，
，.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在与时，都取得极值．
(1)求，的值；
(2)若，求的单调增区间和极值．
【解析】（1），由条件可知和，即，解得：，， 所以，检验：













单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
经检验与时，都取得极值，满足条件，所以，；
（2），解得：，所以













单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
有表可知，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，函数的极大值是，函数的极小值是.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）设的导数满足，其中常数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，求函数的极值.
【解析】（1）.令，得，①
令，得，②
解方程组①②得.
因此，
，又，
故曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由（1）知，
从而有，
令，则或，  
∵当时，，
当时，，
当时，，    
在时取极小值，
在时取极大值
题型二：根据极值、极值点求参数
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知没有极值，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】；
在上没有极值，，即，
解得：，即实数的取值范围为.
故选：C.
例5．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处有极值10，则（    ）
A．6 B． C．或15 D．6或
【答案】B
【解析】 ，
又 时 有极值10
，解得 或
当 时，
此时 在 处无极值，不符合题意
经检验， 时满足题意

故选：B
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的极小值为，则（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】，则在和上单调递减，在上单调递增，所以，则，则．
故选：C
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（    ）
A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
【答案】C
【解析】由得，
根据题意得，解得．
故选：C
变式7．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，得，
当时，在上恒成立，所以在上递增，函数无极值，
所以，
令，则x＝±，
∵函数在（，）上，函数递减，在（，+∞）上，函数递增
∴x时，函数取得极小值
∵函数在区间（0，1）内有极小值，
∴01，
∴b∈（0，1）
故选：B．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）若函数=有大于零的极值点，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】原命题等价于有大于零的零点，显然在上单调递增，又因为时，，所以，所以
故选：A.
变式9．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上存在唯一极值点，则实数a的取值范围为（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知：，若函数在上存在唯一极值点，
则，即，解得.
故选：B.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对原函数求导得，，
因为函数有两个极值点，
所以有两个不等实根，即有两个不等实根，
亦即有两个不等实根.
令，则
可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又因为当时，，当时，，
所以，解得，
即a的范围是.
故选：B
题型三：求函数的最值
例7．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为，
所以，
令，得，
当时，，当时，，
所以当时，取得极小值，
又，
所以在区间上的最小值为，
故答案为：
例8．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．
【答案】0
【解析】函数的定义域为．
当时，，此时函数在上为减函数，
当时，，
则，所以在上单调递增，
在上是连续函数，
当时，单调递减，当时，单调递增．
当时取得最小值为．
故答案为：0．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则在上的最大值是__________．
【答案】
【解析】由题意可知，，
，．
当时，，
函数在区间上单调递增，则．
故答案为：
变式11．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为_________.
【答案】
【解析】当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是的一个极值点．
(1)求b的值；
(2)当时，求函数的最大值．
【解析】（1），
∵是的一个极值点，∴
解得．经检验，满足题意．
（2）由（1）知：，则．
令，解得或
x




1

2


+
0
-
0
+



递增

递减

递增

∵，
∴函数的最大值为
题型四：根据最值求参数
例10．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数存在最大值0，则的值为（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以当时，恒成立，故函数单调递增，不存在最大值；
当时，令，得出，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，解得：.
故选：B.
例11．（2023·全国·高三专题练习）当时，函数取得最大值，则（    ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
例12．（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为4，则的值为（    ）
A．7 B． C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵，∴
∴ 导数在时，，单调递减；
导数在时，，单调递增；
∵ ，，
∴在处取得最大值为，即，
故选：D.
变式13．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得或，
可以判断在处取得极小值，在处取得极大值.
令，得或，令，得或，
由题意知函数在开区间内的最大、最小值只能在和处取得，

结合函数的图象可得：，解得，
故的取值范围是.
故选：A
题型五：函数单调性、极值、最值得综合应用
例13．（2023·黑龙江大庆·校联考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（    ）

A．在上是增函数 B．当时，取得最小值
C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数
【答案】D
【解析】根据图象知：
当，时，函数单调递减；
当，时，函数单调递增.
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；
故当时，取得极小值，选项C不正确；
当时，不是取得最小值，选项B不正确；
故选：D.
例14．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像在点处的切线恰好经过点．
(1)求；
(2)已知函数在其定义域内单调递增，求的取值范围．
【解析】（1）由题可知 ，则 ，
又，所以函数的图像在点处的切线方程为，
即，
因为点在切线上，所以，解得；
（2）由已知可得 在上恒成立，
所以，即，当且仅当 时等号成立，
所以的取值范围为；
综上，a=-1，的取值范围为.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，是的一个极值点．
(1)求实数a的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【解析】（1）∵在处有极值，∴，
∵，∴，
∴，经检验，当时，是的极值点，
∴．
（2）由（1）知，∴，，
令，得，，
当x变化时，的变化情况如下表：
x
－3

0

2

4


－
0
＋
0
－


55

1

5

－15
从上表可知:
在区间上的最大值是55，最小值是-15．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处有极值.
（1）求的值；
（2）求函数在上的最大值与最小值.
【解析】（1）由题可知，，的定义域为，
，
由于在处有极值，
则，即，
解得：，，
（2）由（1）可知，其定义域是，
，
令，而，解得，
由，得；由，得，
则在区间上，，，的变化情况表如下：



1

2



0




单调递减

单调递增

可得，
，，
由于，则，
所以，
函数在区间上的最大值为，最小值为.
题型六：不等式恒成立与存在性问题
【方法技巧与总结】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若，，求的最大值．
【解析】（1），
当时，当恒成立，在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）依题意得对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，
令，则在上单调递增，
，
当时，，即；当时，，即，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，故的最大值为．
例17．（2023·全国·高三专题练习）若函数，满足恒成立，则的最大值为（    ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】因为，满足恒成立，
所以，
令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
所以的最大值为，
故选：C.
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在上的最大值是．
，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在上的最小值是，
若，，恒成立，则，即，
所以，所以实数k的取值范围是．
故选:D．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的，且，都有成立，则实数m的最小值是（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由，且，可得，
则等价于，
即，所以，故，
令，则，
因为，所以在上为单调递减函数，
又由，解得，所以，
所以实数的最小值为.
故选：D.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设直线与函数，的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】设函数，求导数得
因为，故当时，，函数在上为单调减函数，
当时，，函数在上为单调增函数
所以x为的极小值点.故当|MN|达到最小时t的值为．
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A．是的极小值点 B．是的极小值点
C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零
【答案】D
【解析】由图像知，当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减，
是的极大值点，3是的极小值点，故ABC错误；
又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，故D正确.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中存在极值点的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对选项A，，故没有极值点；
对选项B，，则极值点为，故正确；
对选项C，，故没有极值点；
对选项D，，故没有极值点；
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）函数的极值点的个数是（    ）
A． B． C． D．无数个
【答案】A
【解析】由题，，故无极值点
故选：A
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是（    ）
A．函数在上递增 B．函数无极小值
C．函数只有一个极大值 D．函数在上最大值为3
【答案】C
【解析】因为定义域为，
所以，
所以当或时，当时，
所以在上单调递减，在和上单调递增，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
即，，
又，，故函数在上最大值为；
故选：C
6．（2023·全国·高三专题练习）当时，函数取得最小值，则（    ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】，
当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值．
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，a为实数，，则在上的最大值是（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】，
，
，
，
，
，
令，则或，
当或时，，即函数在和上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
所以在处取得极大值，在处取得极小值，又，，
故函数在区间上的最大值为，
故选：A．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若在上恒成立，则在上恒成立等价于
在上恒成立，令，则，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，故，
故.
故选：B.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（    ）
A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在单调递增 D．最小值为1
【答案】BC
【解析】定义域为R，，
令得：或1，
当时，，当时，，
如下表：


0

1


-
0
+
0
-

递减
极小值1
递增
极大值
递减
从而判断出函数有两个极值点，在上单调递增，
BC正确，
由于恒成立，所以函数无零点，A错误，
当时，，故函数无最小值，D错误；.
故选：BC
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ）
A．在上单调递增
B．是的极大值点
C．有三个零点
D．在上最大值是
【答案】BCD
【解析】因为
所以，
令，解得或，
与随的变化情况如下表：




2



0

0



极大值

极小值

因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误；
是的极大值点，故正确；
因为，，，，
由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确；
当的定义域为时，
在，上单调递减，在，上单调递增，
又， ，
所以在，上的最大值是4，故正确．
故选：．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．
C．时，取得最大值 D．时，取得最小值
【答案】AB
【解析】由图象可知：当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
对于A，，，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；
对于D，由单调性知，D错误.
故选：AB.
12．（2023·全国·高三专题练习）【多选题】已知函数，则（    ）
A．时，的图象位于轴下方
B．有且仅有一个极值点
C．有且仅有两个极值点
D．在区间上有最大值
【答案】AB
【解析】由题，函数 满足 ，故函数的定义域为
由 当 时 ，
所以则的图象都在轴的下方，所以A正确；
又，
再令 则 ，故
故单调递增，
当时，
由，
故存在唯一的，使得，
此时当,，单调递减，
当，单调递增.
又当时，，
故此时恒成立，即单调递减，
综上函数只有极值点且为极小值点，所以B正确，C不正确；
又
所以函数在先减后增，没有最大值，所以D不正确.
故选：AB.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______.
【答案】1
【解析】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
14．（2023·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．
【答案】3
【解析】函数在上无极值即导函数在上无根．
在上恒有 ①；
而，
当时，①式解为或；显然时，①式不成立；
当时，①式解为或；显然时，①式不成立；
当m－1＝2时，①式解为x＝2，m＝3．
故答案为：3．
15．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取得极值，则____________．
【答案】
【解析】，
因为函数在处取得极值，
所以，，解得，
此时，，
故当时，，单调递减；
当和时，，单调递增；
所以，函数在处取得极小值，满足题意，
所以，
所以
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取极值，则__________．
【答案】
【解析】，又在处取极值，，；
当时，，，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
在处取极值，满足题意；.
故答案为：.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处有极值．
(1)求，的值；
(2)求函数在区间上的最大值．
【解析】(1)因为函数在处有极值，且，
所以，解得.
(2)由（1）得：，
 ，
令，得，
令，得或，
故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值是或，
而，
故函数的最大值是2．
18．（2023·上海·高三专题练习）设，函数.
(1)若函数为奇函数，求实数a的值；
(2)若函数在处取得极小值，求实数a的值.
【解析】（1）由已知，得，
，，∵为奇函数，
∴，，即，∴；
（2），
当x变化时，的变化情况如下表：
x

a




+
0
-
0
+


极大值

极小值

∴，∴.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处取得极值，求的单调区间及其最大值与最小值．
【解析】（1）当时，定义域为，，，，故在点处的切线方程为：，即；
（2）由题意得：，，故，此时，经检验，符合要求，，令时，，，令得：或，令得：，的单调递增区间为，，单调递减区间为；又当时，恒成立，当时，恒成立，故，，即最大值为，最小值为.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的值及在上的解析式；
(2)若在区间上有极值，求的取值范围.
【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，取得，即，所以，所以时.设，则，所以，又，所以，所以.
（2）由可知在处取得极值，所以或，解得或，即，所以的取值范围是.