专题14 导数的概念与运算 -2024年新高考数学艺术生突破90分精讲

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题14 导数的概念与运算
【考点预测】
知识点一：导数的概念和几何性质
1、概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
知识点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即．
2、几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
3、物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
知识点二：导数的运算
1、求导的基本公式
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
【方法技巧与总结】
1、在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2、过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
【典型例题】
例1．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，，
∴曲线在处的切线斜率为，
∴曲线在处的切线方程为，且.
故选：C．
例2．（2024·高二·全国·竞赛）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）．
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】∵，设为所求的点，
则
得，，则点P到直线的最小距离为．
故选:A.
例3．（2024·高三·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，
则，得.
因为，
所以当时，，
即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.
故选：C
例4．（2024·山东济南·一模）与抛物线和圆都相切的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】设直线与抛物线相切的切点坐标为，由，求导得，
因此抛物线在点处的切线方程为，即，
依题意，此切线与圆相切，于是，解得或，所以所求切线条数为3.
故选：D
例5．（2024·福建漳州·一模）若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．3B．C．0D．1
【答案】C
【解析】因为，则，
由题意可得：，解得，所以.
故选：C.
例6．（2024·高三·广东·阶段练习）已知函数在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【解析】，
因为函数在点处的切线与直线垂直，
所以，即，则不可能同时为负数，
当或时，，
当时，，
当时，，
当且仅当时，取等号，
综上所述，的最大值为.
故选：A.
例7．（2024·湖北·一模）已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】因为为偶函数，所以，两边求导，可得.
又在处的切线方程为：，
所以.
所以.
故选：A
例8．（2024·河南开封·二模）已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
故选：D
例9．（2024·高三·全国·阶段练习）若函数在点处的切线的斜率为1，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知，所以，
，得，所以，
当且仅当时等号成立．
故选:C．
例10．（2024·江西上饶·一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的导函数为B．在上单调递减
C．的最小值为D．的图象在处的切线方程为
【答案】C
【解析】A：，因此本选项不正确；
B：由上可知：，
当时，，函数单调递增，因此本选项不正确；
C：由上可知：，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数的最小值为，因此本选项正确；
D：由上可知，因为，
所以的图象在处的切线方程为，因此本选项不正确，
故选：C
例11．（2024·高三·山东济宁·开学考试）函数在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以切线方程为，
即.
故选：C
例12．（2024·高三·河南·专题练习）已知函数的图象经过点，则函数在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】将点的坐标代入，得，解得，故，
由，所以点处切线的斜率为，
故所求的切线方程为，即．
故选：B．
例13．（2024·吉林白山·二模）已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若，求实数的取值范围.
【解析】（1） ，
因此，而，
故所求切线方程为，即；
（2）依题意，，故对任意恒成立.
令，则，
令，解得.
故当时，单调递增；
当时，单调递减，
则当时，取到极大值，也是最大值2.
故实数的取值范围为.
例14．（2024·高三·全国·专题练习）设曲线在点处的切线与x轴的交点的横坐标为，求的值．
【解析】由，求导得，则，
因此曲线在点处的切线方程为，令，得，即，
所以.
例15．（2024·高二·江苏南通·期末）已知函数．
(1)求函数的极值点；
(2)记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点．
【解析】（1），
令，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以函数的极值点为；
（2）由（1）可知：，而，
所以切线的方程为，
由，或，
当时，，此时，与有公共点，
当时，设，
当时，单调递减，
当时，单调递增，所以，
即，当且仅当时取等号，
所以由，即，此时与有公共点，
综上所述：与有唯一公共点.
例16．（2024·四川·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则 ．
【答案】2
【解析】设切点坐标为，对函数求导得，
则切线斜率，得，
所以，且，
则，即．
故答案为：2.
例17．（2024·四川·模拟预测）写出与函数在处有公共切线的一个函数 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题，，，答案不唯一，满足，即可.
取，则，显然满足，.
故答案为：（答案不唯一）.
例18．（2024·四川广安·二模）已知，则曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【解析】由求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
故答案为：
例19．（2024·四川遂宁·二模）已知，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】，则，又，
故切线方程为，即.
故答案为：.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高三·全国·专题练习）函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，则（ ）
A．21B．24C．30D．36
【答案】A
【解析】由，得，
所以在点处的切线方程为，
即，令，得，
所以，又，
故是首项为16，公比为的等比数列.
所以.
故选：A
2．（2024·高三·河南·专题练习）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以所求切线的斜率为，又，
所以所求的切线方程为，即．
故选：C．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若曲线存在与y轴垂直的切线，则a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
因为曲线存在与y轴垂直的切线，所以方程有实根，
即方程有实根．
设，则，当时，单调递增，
当时，单调递减，故，
又当趋向于负无穷大时，也趋向于负无穷大，当趋向于正无穷大时，趋向于0，
所以，
则a的最大值为，
故选：C．
二、多选题
4．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．函数在区间上的最大值为1
C．函数在点处的切线方程为
D．若关于的方程在区间上有两解，则
【答案】AC
【解析】因为，，
所以，
令，即；令，即，
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，故A正确；
因为，，
所以函数在区间上的最大值为4，故B错误；
因为，，
所以函数在点处的切线方程为，
即，故C正确；
因为，函数大致图象如图，
要使方程在区间上有两解，
则，故D错误.
故选：AC.
5．（2024·高三·云南曲靖·阶段练习）已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则下列说法正确的是（ ）．
A．，B．在上单调递增
C．是的一条对称轴D．是曲线的一条切线
【答案】AD
【解析】设，，则．
因为，,
所以，，，
所以，即，即．
又因为，且为下降零点，
所以，，
即，，
故取．故．所以A选项正确；
当，，显然不是单调增区间，所以B选项错误；
将代入方程得，显然不是对称轴，
所以C选项错误；
令得或，
取点得其中一条切线为，所以D选项正确．
故选:AD．
6．（2024·广东·二模）已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A．的斜率的最小值为B．的斜率的最小值为
C．的方程为D．的方程为
【答案】BCD
【解析】因为，所以的斜率的最小值为.
因为，所以的方程为.
因为，所以的方程为，即.
故选：BCD.
7．（2024·高三·江苏镇江·期中）已知函数的导函数为，两个极值点为，，则（ ）
A．有三个不同的零点
B．
C．
D．直线是曲线的切线
【答案】BD
【解析】由函数，可得，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，当时，函数极小值，极小值为，
当时，函数极大值，极大值为，
且两个极值点之和为，所以B正确；
又由当时，，且函数连续不间断，所以函数在上有且仅有一个零点，所以A不正确；
由，所以C错误；
当时，可得，
所以曲线在点处的切线方程为，所以D正确.
故选：BD.
8．（2024·高三·福建福州·期中）已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】，，则，当且仅当即等号成立，
根据导数的几何意义知，切线的斜率，因为切线与直线l平行，所以l的斜率，
选项A中直线的斜率为，符合题意；
选项B中直线的斜率为，不符合题意；
选项C中直线的斜率为，符合题意；
选项D中直线的斜率为，符合题意；
故选：ACD.
9．（2024·高二·山东淄博·阶段练习）已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．的单调递减区间为
C．在处的切线方程为D．的单调递增区间为
【答案】BC
【解析】对于AC，，由，得，
所以切线的斜率，所以在处的切线方程为，所以A错误，C正确，
对于BD，函数的定义域为，，
由，得，解得，
由，得，解得，
所以在上递增，在上递减，所以B正确，D错误，
故选：BC
10．（2024·高三·广东珠海·开学考试）已知函数，则（ ）
A．为其定义域上的增函数B．为偶函数
C．的图象与直线相切D．有唯一的零点
【答案】AD
【解析】由题意，
在中，定义域为，
，
∴为上的增函数，A正确；
，
∴为奇函数，B错误；
∵当时，解得：，
此时，
∴斜率为0的切线为，不可能为直线，
∴C错误；
为上的增函数，，
∴有唯一的零点，D正确.
故选：AD.
11．（2024·高三·福建厦门·阶段练习）已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】的定义域为，
，即直线的斜率，
设与垂直的直线的斜率为，则，所以，.
对于A，直线的斜率为，故A正确；
对于B，直线的斜率为，故B错误；
对于C，直线的斜率为，故C正确；
对于D，直线的斜率为，故D错误.
故选：AC.
12．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ）

A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
【答案】AC
【解析】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确；
选项B，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，
说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误；
选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在内，
血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确；
选项D，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为
和，显然不相同，即选项D不正确．
故选：AC.
三、填空题
13．（2024·湖南衡阳·二模）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】因为，则，
所以切点为，且，
则，
由直线的点斜式可得，化简可得，
所以切线方程为.
故答案为：
14．（2024·陕西西安·模拟预测）若直线与曲线相切，则切点的横坐标为 ．
【答案】1
【解析】因为，所以，
设函数，则，
所以在定义域上单调递增，
因为，所以方程的解为，则所求切点的横坐标为．
故答案为：
15．（2024·高三·云南楚雄·期末）若直线与曲线相切，则切点的横坐标为 .
【答案】
【解析】由求导得，直线斜率为，
代入导函数有：，解得.
故答案为：
四、解答题
16．（2024·山东烟台·一模）已如曲线在处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）由于的斜率为，所以，
又,故，解得，
（2）由（1）知，所以，
故当时，单调递增，
当时，单调递减，
故当时，取最小值，
要使恒成立，故，解得，
故的取值范围为
17．（2024·高三·全国·专题练习）若P是曲线y＝x2－ln x上任一点，求点P到直线x－y－4＝0的最小距离及此时点P的坐标．
【解析】要使点P到直线x－y－4＝0的距离最小，只需点P为曲线与直线x－y－4＝0平行的切线切点，即点P为斜率为1的切线的切点．设P(x0，y0)，y0＝－ln x0，x0＞0，
y′|x＝x0＝2x0－＝1，解得x0＝1或x0＝－ (舍去)，
点P(1，1)到直线x－y－4＝0的距离为＝2，
所以点P到直线x－y－4＝0的最小距离为2，此时点P(1，1).
【考查意图】转化为求曲线的切线问题(最小距离).
基本初等函数
导函数
（为常数）