专题18 三角函数概念与诱导公式-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义
展开专题18 三角函数概念与诱导公式
【考点预测】
知识点一：三角函数基本概念
1、角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2、弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
（2）角度制和弧度制的互化：，，．
（3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
3、任意角的三角函数
（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
三角函数 | 定义域 | 第一象限符号 | 第二象限符号 | 第三象限符号 | 第四象限符号 |
＋ | ＋ | － | － | ||
＋ | － | － | ＋ | ||
＋ | － | ＋ | － |
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4、三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．
三角函数线 |
有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 |
知识点二：同角三角函数基本关系
1、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：．
（2）商数关系：；
知识点三：三角函数诱导公式
公式 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
角 | ||||||
正弦 | ||||||
余弦 | ||||||
正切 |
|
| ||||
口诀 | 函数名不变，符号看象限 | 函数名改变，符号看象限 | ||||
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【题型归纳目录】
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
题型二：等分角的象限问题
题型三：弧长与扇形面积公式的计算
题型四：三角函数定义题
题型五：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的
题型六：诱导求值与变形
【典例例题】
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
【方法技巧与总结】
（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．
（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．
例1．（2022·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB错误；
又与的终边相同的角可以写成，
所以正确．
故选：．
例2．（2022·全国·高三专题练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
，由图知，
角的取值集合为:
故选：D.
【点睛】
本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.
题型二：等分角的象限问题
【方法技巧与总结】
先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）的象限分布图示．
例3．（2022·浙江·高三专题练习）若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【解析】
解：因为，所以
当时，，其终边在第三象限；
当时，，其终边在第一象限.
综上，的终边在第一、三象限.
故选：A.
例4．（2022·全国·高三专题练习（理））角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】
∵角的终边在第一象限，
∴，，则，，
当时，此时的终边落在第一象限，
当时，此时的终边落在第二象限，
当时，此时的终边落在第三象限，
综上，角的终边不可能落在第四象限，
故选：D.
题型三：弧长与扇形面积公式的计算
【方法技巧与总结】
（1）熟记弧长公式：，扇形面积公式：（弧度制）
（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法
例5．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧及其所对弦围成的图形．若弧田的弦长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧长为_______，弧田的面积为_________．
【答案】 ; .
【解析】
由题意可知：，
所以弧长，弧田的面积，
故答案为：；.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________ cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm2.
【答案】 1 2 1
【解析】，则，
则时，面积最大为，此时圆心角，
所以答案为1；2；1.
题型四：三角函数定义题
【方法技巧与总结】
（1）任意角的正弦、余弦、正切的定义；
例7．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为角的终边过点，由任意三角形的定义知：，
.
故选：D.
例8．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，由三角函数的定义可知，
.
故选：D.
例9．（2022·北京·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设，而.
故选：A
题型五：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的
【方法技巧与总结】
（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．
（2）若无象限条件，一般“弦化切”．
例10．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若，则的值为___________.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
例11．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知，则___________．
【答案】
【解析】．
故答案为：
例12．（2022·广东惠州·一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，且，，
所以，，
所以.
故选：A.
例13．（2022·海南·模拟预测）已知角为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是第二象限角，
所以，，
由，，可得：.
故选：A.
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，原等式化为：，整理得：，
因，则，解得：，
所以.
故选：B
例15．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，，，
，所以.
故选：C
题型六：诱导求值与变形
【方法技巧与总结】
（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．
（2）通过等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
（3）等可利用诱导公式把的三角函数化
例16．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得：
，
故选：D．
例17．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
故选：B.
例18．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
故选：C．
例19．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知，则（ ）
A．2 B．—2 C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，
，
∴.
故选：C
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末），，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由得，，
则，
又，，
则，
，
故选：.
2．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A．-2 B． C．3 D．9
【答案】B
【解析】角的终边经过点，则，
即，解得，
．
故选：B．
3．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为角的终边过点，
所以，
因此.
故选：C.
4．（2023·湖北武汉·高三统考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.
故选：D
5．（2023·湖北·高三统考期末）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，则，
由可得，
即有，即，，解得，
故选：C
6．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
,
故选：A.
7．（2023·北京昌平·高三统考期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
所以，
所以.
故选：D
8．（2023·四川广安·统考一模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
故选：D.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）在范围内，与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为，，
所以与角终边相同的角是和，
故选：AC．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知角是第一象限角，则角可能在以下哪个象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】ABC
【解析】因为角是第一象限角，所以，，所以，， 当，时，，，位于第一象限，当，时，，，位于第二象限，当，时，，，位于第三象限，综上可得位于第一、二、三象限；
故选：ABC
11．（2023·山东济宁·高一校考期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由已知，
得
对于A：，A正确；
对于B：，B错误；
对于C：，C正确；
对于D：，D正确.
故选：ACD.
12．（2023·山西大同·高一大同一中校考期末）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】因为，
所以，则，
因为，所以，，
所以，故A正确；
所以，
所以，故D正确；
联立，可得，，故B正确；
所以，故C错误.
故选：ABD.
三、填空题
13．（2023·高一课时练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则______．
【答案】
【解析】由直线斜率得，故.
故答案为：
14．（2023·高一课时练习）______．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
15．（2023·吉林松原·高一校考期末）已知关于x的方程的两根为和（），则m的值为___________.
【答案】
【解析】关于x的方程的两根为和，
则，因此，经检验符合题意.
故答案为：
16．（2023·山东临沂·高一山东省临沂第一中学校考期末）已知角为第四象限角，且满足，则_________
【答案】
【解析】由题意得，
所以，
因为，所以可得 ，
所以，
因为是第四象限角，所以，所以.
故答案为：.
四、解答题
17．（2023·广东佛山·高一统考期末）从①，②，③，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面两个小问．
已知，且满足______．
(1)判断是第几象限角；
(2)求值：．
【解析】（1）选择①：因为，
所以，
又因为，所以，进而可得，
由此可知是第二象限角．
选择②：因为，
所以，
又因为，所以，进而可得，
由此可知是第二象限角．
选择③因为，所以，
又因为，所以是第二象限．
（2）选择①：由（1）得，
所以，
又由，，可知，所以，
与联立解得，，
所以.
选择②：由（1）得，
所以，
所以，与联立解得，
所以．
选择③：因为是第二象限角，所以，
又因为，，
所以
18．（2023·全国·高三专题练习）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
(1)若，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
【解析】（1）因为，
所以扇形的面积为；
（2）由题意可知：，即，
所以扇形的面积为，
当时，扇形面积的最大值为，
此时，
19．（2023·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）在平面直角坐标系中，已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点.
(1)求的值；
(2)求旳值.
【解析】（1）由三角函数定义可得:，
所以，.
.
（2）.
20．（2023·湖北·高一校联考期末）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的坐标为，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【解析】（1）∵角的终边与单位圆的交点为
∴
∵
∴
∴.
（2）原式
又∵
∴原式
21．（2023·高一课时练习）已知，求的值．
【解析】由，有，解得，
∴，
由，∴ ，得.
22．（2023·重庆江北·高一字水中学校考期末）（1）化简；
（2）已知关于的方程的两根为和，.求实数以及的值.
【解析】（1）
，
即.
（2）因为关于的方程的两根为和，
所以，，
所以，所以，
因为，所以，且，所以，
