专题13 函数与方程-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题13 函数与方程

【题型归纳目录】

题型一：求函数的零点或零点所在区间

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

题型四：分段函数的零点问题

题型五：等高线问题

题型六：二分法

【考点预测】

一、函数的零点

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.

三、零点存在性定理

如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.

四、二分法

 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.

五、用二分法求函数零点近似值的步骤

（1）确定区间，验证，给定精度.

（2）求区间的中点.

（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）

 （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.

 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【方法技巧与总结】

函数的零点相关技巧:

①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.

②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.

【典例例题】

题型一：求函数的零点或零点所在区间

【方法技巧与总结】

求函数零点的方法：

（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

例1．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的零点是（    ）

A． B． C． D．9

例2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的零点为2，则函数的零点是（    ）

A．0， B．0， C．0，2 D．2，

例3．（2023·全国·高三专题练习）若是函数的一个零点，则的另一个零点为（    ）

A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）

变式1．（2023·全国·高三专题练习）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（       ）

A． B． C． D．

变式2．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点在区间上，则（    ）

A． B． C． D．

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围

【方法技巧与总结】

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.

例4．（2023·全国·高三专题练习）函数．若在内恰有一个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，恰有2个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例6．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的方程有两个不相等的实根、，且满足，则实数t的取值范围是（    ）

A．（2，5） B．

C． D．

变式4．（2023·全国·高三专题练习）若函数的零点所在的区间为，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

变式5．（2023·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（    ）

A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪

变式6．（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

【方法技巧与总结】

 方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.

例7．（2023·全国·高三专题练习）若偶函数满足，在时，，则关于x的方程在上根的个数是___．

例8．（2023·全国·高三专题练习）函数 的零点个数为_________．

例9．（2023·全国·高三专题练习）设依次表示函数的零点，则的大小关系为______．

变式7．（2023·重庆璧山·高三校联考阶段练习）已知函数，则函数的零点个数为（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

变式8．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

变式9．（2023·全国·高三专题练习）函数定义在上的奇函数满足在，则在上的零点至少有（    ）个

A．6 B．7

C．12 D．13

变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则方程的解的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

题型四：分段函数的零点问题

【方法技巧与总结】

已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

例10．（2023·河北·高三统考阶段练习）已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例11．（2023·全国·高三专题练习）若函数有且只有2个零点，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

例12．（2023·全国·高三专题练习）若函数存在2个零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

题型五：等高线问题

例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则的取值范围是（    ）

A．（） B．（1，4） C．（，4） D．（4，6）

例14．（2023·内蒙古乌兰察布·统考一模）函数f(x)=|x2﹣2x|，x1､x2､x3､x4满足：f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=m，x1<x2<x3<x4且x2﹣x1=x3﹣x2=x4﹣x3，则m=（    ）

A． B． C．1 D．

例15．（2023·四川内江·高一统考期末）设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

题型六：二分法

例16．（2023·全国·高三专题练习）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：

那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（    ）

A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44

例17．（2023·全国·高三专题练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

例18．（2023·全国·高三专题练习）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：

那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（    ）

A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

变式11．（2023·全国·高三专题练习）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

变式12．（2023·全国·高三专题练习）用二分法求如图所示的函数的零点时，不可能求出的零点是（    ）

A． B．

C． D．

变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．

【过关测试】

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为（    ）

A．－ B．0 C． D．0或－

2．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中正确的有(   )

A．若，则不存在实数，使得

B．若，则存在且只存在一个实数，使得

C．若，则可能存在实数，使得

D．若，则可能不存在实数，使得

3．（2023·全国·高三专题练习）已知且，则的零点个数为（    ）

A． B． C． D．不能确定

4．（2023·全国·高三专题练习）关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

5．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在区间是（    ）

A． B．

C． D．

6．（2023·全国·高三专题练习）已知实数是方程的一个解，是方程的一个解，则可以是（    ）

A． B． C． D．

7．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像与函数的图像的交点个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．0

8．（2023·全国·高三专题练习）函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（    ）

A． B． C． D．

11．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、多选题

12．（2023·全国·高三专题练习）函数在下列哪个区间内必有零点（    ）

A． B．

C． D．

13．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若关于的方程有四个实数解，且，则的值可能是（    ）

A．0 B．1 C．99 D．100

14．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两个根一个大于2，一个小于2，则下列选项中满足要求的实数m的值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

15．（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

16．（2023·全国·高三专题练习）下列函数有两个零点的有（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

17．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点个数为________．

18．（2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________．

19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围为_________．

20．（2023·全国·高三专题练习）若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______.