艺术生高考数学专题讲义：考点12 导数的概念及其运算

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点12 导数的概念及其运算，共7页。试卷主要包含了导数的概念，导数的几何意义，函数f的导函数，基本初等函数的导数公式等内容，欢迎下载使用。

1．导数的概念
在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝eq \(lim,\s\d6(x1→x0)) eq \f(fx1－fx0,x1－x0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
2．导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．函数f(x)的导函数
如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：
f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．
4．基本初等函数的导数公式
(1) C′＝0 (C为常数)；
(2) (xα)′＝αxα－1(α为实数)；
(3) (sin x )′＝cs_x；
(4) (cs x)′＝－sin_x；
(5) (ax)′＝axln_a(a>0，a≠1)；
(6) (ex )′＝ex；
(7) (lgax)′＝eq \f(1,xln a)(a>0，且a≠1)；
(8) (ln x)′＝eq \f(1,x).
5.导数的运算法则
(1) [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f(x),g(x))))′＝eq \f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0)．
典例剖析
题型一 导数的运算
例1 求下列函数的导数
(1)y＝ex·ln x；
(2)y＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；
(3)y＝eq \f(ln x,x2＋1)．
解析 (1)y′＝(ex·ln x)′＝exln x＋ex·eq \f(1,x)
＝ex(ln x＋eq \f(1,x))．
(2)∵y＝x3＋1＋eq \f(1,x2)，∴y′＝3x2－eq \f(2,x3).
(3)y′＝eq \f(ln x′x2＋1－ln xx2＋1′,x2＋12)
＝eq \f(\f(1,x)x2＋1－2xln x,x2＋12)＝eq \f(x2＋1－2x2ln x,xx2＋12).
变式训练 求下列函数的导数
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；
(2)y＝x2sin x；
解析 (1)∵y＝(3x2－4x)(2x＋1)
＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，
∴y′＝18x2－10x－4.
(2)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cs x.
解题要点 求函数的导数一般有如下法则：
(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导．
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，可以避免使用商的求导法则，减少运算量．
题型二 曲线的切线问题
例2 曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________________．
答案 5x＋y＋2＝0
解析 易知点(0，－2)在曲线上，
又因为y′|x＝0＝－5e0＝－5，
所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
变式训练 若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
答案 (－ln 2，2)
解析 设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，
∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，
∴y0＝eln 2＝2，∴点P的坐标为(－ln 2，2)．
例3 若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋eq \f(15,4)x－9都相切，则a等于___________．
答案 －1或－eq \f(25,64)
解析 因为y＝x3，所以y′＝3x2，
设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，xeq \\al(3,0))，
则在该点处的切线斜率为k＝3xeq \\al(2,0)，
所以切线方程为y－xeq \\al(3,0)＝3xeq \\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq \\al(2,0)x－2xeq \\al(3,0).
又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝eq \f(3,2).
当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋eq \f(15,4)x－9相切，可得a＝－eq \f(25,64)，
当x0＝eq \f(3,2)时，由y＝eq \f(27,4)x－eq \f(27,4)与y＝ax2＋eq \f(15,4)x－9相切，可得a＝－1.
变式训练 已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0,16)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是________．
答案 9
解析 ∵点A(0,16)不在曲线y＝f(x)上，
∴先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线上有y0＝xeq \\al(3,0)－3x0，①
求导数得到切线的斜率k＝f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－3，
又切线l过A、M两点，所以k＝eq \f(y0－16,x0)，则3xeq \\al(2,0)－3＝eq \f(y0－16,x0)，②
联立①②可解得x0＝－2，y0＝－2，
从而实数a的值为a＝k＝eq \f(－2－16,－2)＝9.
解题要点 解决切线问题的理论依据是：导数的几何意义是切点处切线的斜率.解题时需弄清所给点是否为切点，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．常见题型有三种：
(1)已知切点为A(x0，f(x0))，求切线方程，则先求出斜率k＝f′(x0)，从而切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；
(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝eq \f(fx1－fx0,x1－x0)求解．
当堂练习
1．已知函数f(x)＝eq \f(1,x)csx，则f′(x)＝________．
答案 －eq \f(csx＋xsinx,x2)
解析 f′(x)＝－eq \f(1,x2)csx－eq \f(sinx,x)＝－eq \f(csx＋xsinx,x2).
2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为________．
答案 4x－y－3＝0
解析 设切点为P(x0，y0)，则斜率k＝4xeq \\al(3,0)＝4，
∴x0＝1，故切点为P(1,1)，所求切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
3. 若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则________．(填序号)
① a＝1，b＝1 ② a＝－1，b＝1 ③a＝1，b＝－1 ④ a＝－1，b＝－1
答案 ①
解析 ∵y′＝2x＋a，
∴曲线y＝x2＋ax＋b在(0，b)处的切线方程斜率为a，切线方程为y－b＝ax，即ax－y＋b＝0.
∴a＝1，b＝1.
4．已知函数f(x)＝xsin(x＋eq \f(π,2))，则f′(eq \f(π,2))＝________．
答案 －eq \f(π,2)
解析 ∵f(x)＝xsin(x＋eq \f(π,2))＝xcsx，
∴f′(x)＝csx－xsinx，
∴f′(eq \f(π,2))＝cseq \f(π,2)－eq \f(π,2)sineq \f(π,2)＝－eq \f(π,2).
5．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝________．
答案 －6
解析 由题意知y′|x＝－1＝(4x3＋2ax)|x＝－1＝－4－2a＝8，则a＝－6．
课后作业
填空题
1．曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为________．
答案 2
解析 ∵y′＝1＋ln x，∴y′|x＝e＝1＋ln e＝2，∴－eq \f(1,a)×2＝－1，∴a＝2.
2．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数f′(x)＝________．
答案 3(x2－a2)
解析 f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．
3．若曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为________．
答案 (1,1)或(－1，－1)
解析 y′＝3x2，∴3x2＝3.∴x＝±1.
当x＝1时，y＝1，当x＝－1时，y＝－1.
4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是________．
答案 2x－y－1＝0
解析 对y＝x2求导得y′＝2x.设切点坐标为(x0，xeq \\al(2,0))，则切线斜率为k＝2x0.
由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
5．若f(x)＝xex，则f′(1)＝________．
答案 2e
解析 f′(x) ＝ex＋xex，f′(1)＝2e
6．曲线y＝eq \f(x,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为________．
答案 y＝2x＋1
解析 因为y′＝eq \f(2,x＋22)，所以，在点(－1，－1)处的切线斜率k＝y′|x＝－1＝eq \f(2,－1＋22)＝2，所以，切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
7．曲线y＝x2＋1在Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,4)))处的切线的倾斜角为________．
答案 45°
解析 ∵y′＝2x，∴y′|x＝eq \f(1,2)＝1.
∴切线的倾斜角为45°.
8．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积为________．
答案 eq \f(1,3)
解析 ∵y′＝e－2x·(－2)，∴k＝y′|x＝0＝－2;切线方程为y－2＝－2x，即y＝－2x＋2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,y＝－2x＋2))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(2,3)，))S＝eq \f(1,2)×1×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).
9．若抛物线y＝x2－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．
答案 4
解析 ∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5.
又P(－2,6＋c)，∴eq \f(6＋c,－2)＝－5.∴c＝4.
10． (2015新课标Ⅰ文)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
答案 1
解析 f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2.
(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)．
将(2,7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)，解得a＝1.
11．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝eq \f(1,x)(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
答案 (1,1)
解析 y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝eq \f(1,x)(x>0)的导数为y′＝－eq \f(1,x2) (x>0)，曲线y＝eq \f(1,x) (x>0)在点P处的切线斜率k2＝－eq \f(1,m2) (m>0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．
二、解答题
12．求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(cs x,sin x)；
(2)y＝3xex－2x＋e.
解析 (1)y′＝eq \f(－sin2x－cs2x,sin2x)＝－eq \f(1,sin2x).
(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xexln 3＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
13．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
解析 (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＋6＝13(x－2).
即y＝13x－32.
(2)设切点坐标为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1，y0＝xeq \\al(3,0)＋x0－16，
∴直线l的方程为y＝(3xeq \\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq \\al(3,0)＋x0－16.
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3xeq \\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq \\al(3,0)＋x0－16，
整理得，xeq \\al(3,0)＝－8，
∴x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
得切点坐标(－2，－26)，
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．